中考數(shù)學壓軸題破解策略專題6《對角互補模型》

專題16《對角互補模型》破解策略全等型之"90°”如圖，ZA0B=ZDCE=90°,OC平分ZAOB,則CD=CE；OD+OE=邁oc；S+S二10C2.NOCDNOCE2證明方法一：如圖，過點c分別作CM丄OA,CN丄OB,垂足分別為M,N.由角平分線的性質可得CM=CN,ZMCN=90°.所以ZMCD=ZNCE,從而△MCD^ANCE(ASA),故CD=CE.易證四邊形MONC為正方形.所以OD+OE=OD+ON+NE=2ON="2OC.1所以S+S=S=ON2=OC2.NOCDNOCE正方形MONC2方法二：如圖，過C作CF丄OC,交OB于點F.易證ZDOC=ZEFC=45°,CO=CF,ZDCO=ZECF.所以△DCO^^ECF(ASA)所以CD=CE,OD=FE,可得OD+OE=OF=*2OC.1所以S+S二S二OC2.NOCDNOCENOCF2【拓展】如圖，當ZDCE的一邊與AO的延長線交于點D時，則:CD=CE；OE—0D=\；2OC；1S-S二一OC2.AOCENOCD2如圖，證明同上.2.全等型之“120”如圖,ZAOB=2ZDCE=120°,OC平分ZAOB,則:(1)CD=CE；(2)OD+OE=OC；(1)CD=CE；(2)OD+OE=OC；S+SAOCDAOCE€OC2證明方法一:所以SAOCD+SB如圖，過點C分別作CM丄OA,CN丄OB,垂足分別為M,N.二2S二叵OC2AOCEAONC4易證△MCD今ANCE(ASA),所以CD=CE,OD+OE=2ON=OC.方法二：如圖，以CO為一邊作ZFC0=60。，交OB于點F,則A0CF為等邊三角形.易證△DCO^^ECF(ASA).所以CD=CE，OD+OE=OF=OC,???S+S=S△OCD△OCE.=邏OC???S+S=S△OCD△OCE.=邏OC2△OCF4【拓展】如圖,當ZDCE的一邊與BO的延長線交于點E時，則:(1)CD=CE；(2)OD—OE=OC；(3)S△OCD—S川OC2△OCE4如圖，證明同上.3、全等型之“任意角如圖，ZA0B=23、全等型之“任意角如圖，ZA0B=2a,ZDCE=180°-2a,OC平分ZAOB，貝y：B(1)CD=CE；(2)0D+0E=20C?cosa；(3)S+S=OC2?sinacosa△ODC△OECO廠CN丄O廠CN丄0B,垂足分別為M,N易證△MCD^ANCE(ASA)CD=CE,OD+OE=2ON=2OC?cosaS+S=2S=OC2?sinacosa△ODC△OEC△ONC方法二：如圖，以CO為一邊作ZFCO=180°—2a，交OB于點F.

易證△DCO^AECF(ASA)CD=CE,0D+0E=0F=20C?cosaS+S=S=OC2?sinacosa△ODC△OEC△OCF【拓展】如圖，當ZDCE的一邊與BO的延長線交于點E時，貝V：(1)CD=CE；(2)OD—OE=2OC?cosa；(3)S—S=OC2?sinacosa△ODC△OEC如圖，證明同上4、相似性之“4、相似性之“90?！比鐖D，ZAOB=ZDCE=9O°ZCOB=a，則CE=CD?tanad\方法一：如圖，過點C分別作CM丄OA,CN丄OB,垂足分別為M、N易證△MCDs^易證△MCDs^NCE,NECECN===tanaMDCDCM即CE=CD?tana方法二：如圖，過點C作CF丄OC,交OB于點F.OEFOEFFECECF易證△DCOs^ECF,.：===tana，即CE=CD?tanaODCDCO方法三：如圖，連接DE.BB易證D、0、E、C四點共圓.°.ZCDE=ZCOE=a，故CE=CD?tana【拓展】如圖，當ZDCE的一邊與A0的延長線交于點D時，則CE=CD?tanaAOEAOE例題講解例1、已知△ABC是00的內接三角形，AB=AC，在ZBAC所對弧BC上任取一點D,連接AD,bd,cd.如圖1,若ZBAC=120°，那么BD+CD與AD之間的數(shù)量關系是什么？如圖2,若ZBAC=a，那么BD+CD與AD之間的數(shù)量關系是什么？A圖1AA圖1A圖2解：（1）BD+CD=丫3AD如圖3,過點A分別向ZBDC的兩邊作垂線，垂足分別為E、F.由題意可得ZADB=ZADC=30°易證△AEB^AAFCBD+CD=2DE=\：3AD⑵BD+CD=2ADsin.2如圖4,作ZEAD=ZBAC,交DB的延長線于點E.CECE則厶EBA^^DCA,所以BE=CD,AE=AD.作AF丄DE于點F,則ZFAD=-.所以BD+CD=DE=2DF=2ADsin-.22例2如圖1,將一個直角三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的對角線BD上滑動，并使其一條直角邊始終經過點A,另一條直角邊與BC相交于點F.⑴求證：PA=PE；⑵如圖2,將⑴中的正方形變?yōu)榫匦?，其余不變，且AD=10,CD=8,求AP：PE的值；⑶如圖3,在⑵的條件下，當P滑動到BD的延長線上時，AP：PE的值是否發(fā)生變化？圖1C圖1C解:⑴如圖4,過點P分別作PM丄AB,PN丄BC,垂足分別為M,N.則PM=PN,ZMPN=90°，由已知條件可得ZAPE=90°，所以ZAPM=ZEPN,所以△APM^△EPN.故AP=PE.⑵如圖5,過點P分別作PM丄AB,PN丄BC,垂足分別為M,N.則PM〃AD,PN〃CD.所以△BPMsABDA,ABNPs^BCd.可得PM=竺=PN，所以竺=型=5.ADBDCDPNCD4APpm5易證△APMs^EPN,所以竺=竺=5.PEPN4

⑶AP：PF⑶AP：PF的值不變.［如圖,進階訓練1.如圖，四邊形ABCD被對角線BD分為等腰RtAABD和RtACBD,其中ZBAD和ZBCD都是直角，另一條對角線AC的長度為2,則四邊形ABCD的面積為.第1題圖第1題圖答案：四邊形ABCD的面積為2.【提示】易證A、B、C、D四點共圓，則ZBCA=ZBDA=ZABD=ZACD,由“全等型之‘90°'”的結論可得S四邊形abc=2AC2=2.第1題圖2第1題圖1⑴如圖1,DF與AC邊相交于點F,求證:在AABC中，AB=AC,ZA=60°,D是BC邊的中點，ZEDF=120°,DE第1題圖2第1題圖1⑴如圖1,DF與AC邊相交于點F,求證:BE+CF=1AB；2⑵如圖2,將圖1中的ZEDF繞點D順時針旋轉一定的角度，使DF與AC邊的延長線交于點F,作DN丄AC于點N,若DN=FN，求證：BE+CF=舅3(BE-CF).答案：略.【提示】⑴過點D作DG〃AC交AB于點G,證△DE^DFC,從而BE+EBE+EABA2AB.第1題答圖1⑵過點D第1題答圖1⑵過點D作DG〃AC交AB于點G，同⑴可得BE—E2AB=DC=2DN，延長AB至點H,使得BH=CF,則DH=DF=DE,從而BE+CF=HE=^2DE=q2X<2DN=2DN,所以BE+CF=朽(BE—CF).在菱形ABCD中，兩條對角線AC,BD相交于點O,ZMON+ZBCD=180°,ZMON繞點0旋轉，射線0M交BC于點E,射線ON交CD于點F,連結EF.TOC\o"1-5"\h\z⑴如圖1,當ZABC=90。時，A0EF的形狀是；⑵如圖2,當ZABC=60。時，請判斷厶OEF的形狀，并說明理由；⑶如圖3,在⑴的條件下，將ZM0N的頂點移動到A0的中點0'處，ZM0'N繞點0'旋轉，仍滿足ZM0'N+ZBCD