江蘇省無錫市江陰市2022～2023學(xué)年九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含答案】

江蘇省無錫市江陰市2022～2023學(xué)年九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題2分，滿分20分）1．cos60°的值是（）A． B． C． D．2．式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≧23．下列方程為一元二次方程的是（）A．x2﹣3＝x（x+4） B． C．x2﹣10x＝5 D．4x+6xy＝334．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：5．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)．下列四個(gè)角中，一定與∠ACD互余的角是（）A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD6．有下列說法：①直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；②等弧所對(duì)的弦相等；③圓中90°的角所對(duì)的弦是直徑；④相等的圓心角對(duì)的弧相等．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．已知一點(diǎn)和圓的最短距離為5，最長(zhǎng)距離為9，則該圓的半徑是（）A．2 B．4 C．7 D．2或78．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD為⊙O的直徑，AB＝，則AD的值為（）A．2 B． C．3 D．39．如圖，為了測(cè)量山坡護(hù)坡石壩的坡度（坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度），把一根長(zhǎng)5m的竹竿AC斜靠在石壩旁，量出桿長(zhǎng)1m處的D點(diǎn)離地面的高度DE＝0.6m，又量得桿底與壩腳的距離AB＝3m，則石壩的坡度為（）A． B．3 C． D．410．如圖，在△ABC中，高AD與中線CE相交于點(diǎn)F，AD＝CE＝6，F(xiàn)D＝1，則AB的值為（）A．2 B．6 C．10 D．4二、填空題（共8小題，每小題2分，滿分16分）11．方程x（x+3）＝0的解是．12．如果，那么＝．13．在比例尺為1：8000的城區(qū)地圖上，人民路的長(zhǎng)度約為40cm，它的實(shí)際長(zhǎng)度約為km．14．在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為1.8m的竹竿的影長(zhǎng)為3m，同時(shí)測(cè)得一根旗桿的影長(zhǎng)為25m，那么這根旗桿的高度為m．15．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，則邊AC的長(zhǎng)為．16．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BOC＝100°，則∠A的度數(shù)為．17．如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的虛線網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D為格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)），AB、CD相交于點(diǎn)P，則PC的長(zhǎng)為．18．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長(zhǎng)度的最小值為．三、解答題（共10小題，滿分84分）19．計(jì)算：（1）|1﹣|﹣2cos45°+（﹣）﹣2（2）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）．20．用適當(dāng)方法解下列方程：（1）（x+4）2＝5（x+4）（2）x2﹣4x+1＝021．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+2（m+1）＝0．（1）m為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若該方程有兩根為x1，x2，且x12+x2＝3，求m的值．22．如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中進(jìn)行下列操作：（1）在圖中確定該圓弧所在圓的圓心D點(diǎn)的位置，并寫出點(diǎn)D點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）連接AD、CD，求⊙D的半徑及弧的長(zhǎng)．（3）有一點(diǎn)E（6，0），判斷點(diǎn)E與⊙D的位置關(guān)系．23．圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時(shí)，箱蓋ADE落在AD′E′的位置（如圖2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求點(diǎn)D′到BC的距離；（2）求E、E′兩點(diǎn)的距離．24．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是圓上兩點(diǎn)，且OD∥AC，OD與BC交于點(diǎn)E．（1）求證：E為BC的中點(diǎn)；（2）若BC＝8，DE＝3，求AB的長(zhǎng)度．25．山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請(qǐng)回答：（1）每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？26．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，A是的中點(diǎn)，AE⊥AC于A，與⊙O及CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、E，且．（1）求證：△ADC∽△EBA；（2）如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．27．如圖1，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm．點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以2cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求t為何值時(shí)，PQ平行于△ABC的一邊；（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)，求t為何值時(shí)，△PBQ的面積為cm2．28．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB＝16，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，BC：AB＝3：4，點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），且∠CEF＝∠ACB．（1）求AC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）證明：△AEF∽△DCE；（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．cos60°的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解．解：cos60°＝．故選：A．2．式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≧2【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)即可得出x的取值范圍．解：∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴2﹣x≥0，∴x≤2．故選：C．3．下列方程為一元二次方程的是（）A．x2﹣3＝x（x+4） B． C．x2﹣10x＝5 D．4x+6xy＝33【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．解：x2﹣3＝x（x+4）整理得：4x+3＝0，不是一元二次方程；x2﹣＝3是分式方程，x2﹣10x＝5是一元二次方程，4x+6xy＝33含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程．故選：C．4．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC與△DEF的相似比為：：2，∴△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為：：2．故選：C．5．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)．下列四個(gè)角中，一定與∠ACD互余的角是（）A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD【分析】由圓周角定理得出∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD＝∠BAD，得出∠ACD+∠BAD＝90°，即可得出答案．解：連接BC，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠ACD+∠BAD＝90°，故選：D．6．有下列說法：①直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；②等弧所對(duì)的弦相等；③圓中90°的角所對(duì)的弦是直徑；④相等的圓心角對(duì)的弧相等．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答．解：①正確；②在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧，等弧所對(duì)的弦相等；故②正確；③圓中，90°圓周角所對(duì)的弦是直徑；故③錯(cuò)誤；④在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；故④錯(cuò)誤；因此正確的結(jié)論是①②；故選：B．7．已知一點(diǎn)和圓的最短距離為5，最長(zhǎng)距離為9，則該圓的半徑是（）A．2 B．4 C．7 D．2或7【分析】先考慮該點(diǎn)在圓外和圓內(nèi)兩種情況，然后根據(jù)條件作答．解：如圖，分點(diǎn)在圓內(nèi)與圓外兩種情況．①當(dāng)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)時(shí)，此時(shí)PA＝5，PB＝9，AB＝14，因此半徑為7；②當(dāng)點(diǎn)P在⊙O外時(shí)，如圖此時(shí)PA＝5，PB＝9，直線PB過圓心O，直徑AB＝9﹣5＝4，因此半徑為2．故選：D．8．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD為⊙O的直徑，AB＝，則AD的值為（）A．2 B． C．3 D．3【分析】先根據(jù)∠BAC＝120°，AB＝AC求出∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理得出∠ADB的度數(shù)，由于BD是⊙O的直徑，故∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，AB＝，利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出AD的值．解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ACB＝30°，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∵AB＝，∴AD＝＝＝3，故選：C．9．如圖，為了測(cè)量山坡護(hù)坡石壩的坡度（坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度），把一根長(zhǎng)5m的竹竿AC斜靠在石壩旁，量出桿長(zhǎng)1m處的D點(diǎn)離地面的高度DE＝0.6m，又量得桿底與壩腳的距離AB＝3m，則石壩的坡度為（）A． B．3 C． D．4【分析】先過C作CF⊥AB于F，根據(jù)DE∥CF，可得＝，進(jìn)而得出CF＝3，根據(jù)勾股定理可得AF的長(zhǎng)，根據(jù)CF和BF的長(zhǎng)可得石壩的坡度．解：如圖，過C作CF⊥AB于F，則DE∥CF，∴＝，即＝，解得CF＝3，∴Rt△ACF中，AF＝＝4，又∵AB＝3，∴BF＝4﹣3＝1，∴石壩的坡度為＝＝3，故選：B．10．如圖，在△ABC中，高AD與中線CE相交于點(diǎn)F，AD＝CE＝6，F(xiàn)D＝1，則AB的值為（）A．2 B．6 C．10 D．4【分析】如圖作EH⊥BC于H．首先證明∠ECH＝30°，再求出EH，BH即可解決問題．解：如圖作EH⊥BC于H．∵EH⊥BC，AD⊥BC，∴EH∥AD，∵AE＝EB，∴BH＝DH，∴EH＝AD＝3，∵EC＝AD，∴EH＝EC，∴∠ECH＝30°，∴CD＝＝，∵DF∥EH，∴＝，∴＝，∴CH＝3，∴DH＝BH＝2，在Rt△BEH中，BE＝＝＝，∴AB＝2BE＝2，故選：A．二．填空題（共8小題）11．方程x（x+3）＝0的解是0或﹣3．【分析】推出方程x＝0，x+3＝0，求出方程的解即可．解：x（x+3）＝0，∴x＝0，x+3＝0，∴方程的解是x1＝0，x2＝﹣3．故0或﹣3．12．如果，那么＝．【分析】將原式變形為，從而求得的值．解：根據(jù)，∴＝﹣1＝．故答案為13．在比例尺為1：8000的城區(qū)地圖上，人民路的長(zhǎng)度約為40cm，它的實(shí)際長(zhǎng)度約為3.2km．【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，依題意列出比例式，即可求得實(shí)際距離．解：設(shè)它的實(shí)際長(zhǎng)度為x厘米，則：1：8000＝40：x，解得x＝．厘米＝3.2km．故3.2．14．在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為1.8m的竹竿的影長(zhǎng)為3m，同時(shí)測(cè)得一根旗桿的影長(zhǎng)為25m，那么這根旗桿的高度為15m．【分析】根據(jù)同時(shí)同地物高與影長(zhǎng)成正比列式計(jì)算即可得解．解：設(shè)旗桿高度為x米，由題意得，＝，解得x＝15．故15．15．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，則邊AC的長(zhǎng)為4．【分析】通過證明△ADC∽△ACB，可得AC2＝AB×AD＝16，即可求AC的長(zhǎng)．解：∵AD＝2，BD＝6，∴AB＝AD+DB＝8，∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AB×AD＝16∴AC＝4，故4．16．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BOC＝100°，則∠A的度數(shù)為50°．【分析】由⊙O是△ABC的外接圓，∠BOC＝100°，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，即可求得∠A的度數(shù)．解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠BOC＝100°，∴∠A＝∠BOC＝×100°＝50°．故50°．17．如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的虛線網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D為格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)），AB、CD相交于點(diǎn)P，則PC的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)勾股定理求出CD，結(jié)合圖形求出CE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理列出比例式，計(jì)算即可．解：由勾股定理得，CD＝＝，由圖形可知，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴EC＝CD＝，BE＝，∵AC∥BE，∴△APC∽△BPE，∴＝＝，即＝，解得，PC＝，故．18．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長(zhǎng)度的最小值為﹣1．【分析】連結(jié)AE，如圖1，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB＝AC＝2，再根據(jù)圓周角定理，由AD為直徑得到∠AED＝90°，接著由∠AEB＝90°得到點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙O上，于是當(dāng)點(diǎn)O、E、C共線時(shí)，CE最小，如圖2，在Rt△AOC中利用勾股定理計(jì)算出OC＝，從而得到CE的最小值為﹣1．解：連結(jié)AE，如圖1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，∴AB＝AC＝2，∵AD為直徑，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙O上，∵⊙O的半徑為1，連接OE，OC，∴OE＝AB＝1在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝＝，由于OC＝，OE＝1是定值，點(diǎn)E在線段OC上時(shí)，CE最小，如圖2，∴CE＝OC﹣OE＝﹣1，即線段CE長(zhǎng)度的最小值為﹣1．故答案為﹣1．三．解答題（共10小題）19．計(jì)算：（1）|1﹣|﹣2cos45°+（﹣）﹣2（2）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）．【分析】（1）考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，尤其要注意|1﹣|和（﹣）﹣2的計(jì)算．（2）先算乘法，再合并同類項(xiàng)，代入求出即可．解：（1）原式＝﹣1﹣2×+9＝8；（2）原式＝2a﹣a2+a2﹣1＝2a﹣1．20．用適當(dāng)方法解下列方程：（1）（x+4）2＝5（x+4）（2）x2﹣4x+1＝0【分析】（1）利用因式分解法解答本題；（2）利用配方法解答本題．解：（1）（x+4）2＝5（x+4）移項(xiàng)得：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0分解因式得：（x+4）[（x+4）﹣5]＝0，可得x+4＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1；（2）x2﹣4x+1＝0移項(xiàng)得：x2﹣4x＝﹣1，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，開方得：x﹣2＝±，則x1＝2+，x2＝2﹣．21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+2（m+1）＝0．（1）m為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若該方程有兩根為x1，x2，且x12+x2＝3，求m的值．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△＞0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；（2）根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝1，x12﹣x1+2（m+1）＝0，再結(jié)合x12+x2＝3，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+2（m+1）＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝（﹣1）2﹣4×1×2（m+1）＞0，∴m＜﹣．（2）∵x1，x2為一元二次方程x2﹣x+2（m+1）＝0的兩根，∴x1+x2＝1，x12﹣x1+2（m+1）＝0．∵x12+x2＝x12﹣x1+（x1+x2）＝3，即﹣2（m+1）+1＝3，∴m＝﹣2．22．如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中進(jìn)行下列操作：（1）在圖中確定該圓弧所在圓的圓心D點(diǎn)的位置，并寫出點(diǎn)D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．（2）連接AD、CD，求⊙D的半徑及弧的長(zhǎng)．（3）有一點(diǎn)E（6，0），判斷點(diǎn)E與⊙D的位置關(guān)系．【分析】（1）找到AB，BC的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心坐標(biāo)；（2）利用勾股定理可求得圓的半徑；易得△AOD≌△DEC，那么∠OAD＝∠CDE，即可得到圓心角的度數(shù)為90°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得；（3）求出DE的長(zhǎng)與半徑比較可得．解：（1）如圖，D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），故（2，0）；（2）AD＝＝2；作CE⊥x軸，垂足為E．∵△AOD≌△DEC，∴∠OAD＝∠CDE，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE+∠ADO＝90°，∴扇形DAC的圓心角為90度，∴的長(zhǎng)為＝π；（3）點(diǎn)E到圓心D的距離為4，∴點(diǎn)E在⊙D內(nèi)部．23．圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時(shí)，箱蓋ADE落在AD′E′的位置（如圖2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求點(diǎn)D′到BC的距離；（2）求E、E′兩點(diǎn)的距離．【分析】（1）過點(diǎn)D′作D′H⊥BC，垂足為點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性質(zhì)可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通過解直角三角形可求出D′F的長(zhǎng)，結(jié)合FH＝DC＝DE+CE及D′H＝D′F+FH可求出點(diǎn)D′到BC的距離；（2）連接AE，AE′，EE′，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，進(jìn)而可得出△AEE′是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的長(zhǎng)度，結(jié)合EE′＝AE可得出E、E′兩點(diǎn)的距離．解：（1）過點(diǎn)D′作D′H⊥BC，垂足為點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，如圖3所示．由題意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′?sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（45+70）厘米．答：點(diǎn)D′到BC的距離為（45+70）厘米．（2）連接AE，AE′，EE′，如圖4所示．由題意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等邊三角形，∴EE′＝AE．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，∴AE＝＝30厘米，∴EE′＝30厘米．答：E、E′兩點(diǎn)的距離是30厘米．24．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是圓上兩點(diǎn)，且OD∥AC，OD與BC交于點(diǎn)E．（1）求證：E為BC的中點(diǎn)；（2）若BC＝8，DE＝3，求AB的長(zhǎng)度．【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出∠C＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠OEB＝90°，即OD⊥BC，根據(jù)垂徑定理即可證得結(jié)論；（2）設(shè)圓的半徑為x，則OB＝OD＝x，OE＝x﹣3，根據(jù)勾股定理求出答案．解：（1）∵AB是半圓O的直徑，∴∠C＝90°，∵OD∥AC，∴∠OEB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BE＝CE，∴E為BC的中點(diǎn)；（2）設(shè)圓的半徑為x，則OB＝OD＝x，OE＝x﹣3，∵BE＝BC＝4，在Rt△BOE中，OB2＝BE2+OE2，∴x2＝42+（x﹣3）2，解得x＝，∴AB＝2x＝．25．山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請(qǐng)回答：（1）每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？【分析】（1）設(shè)每千克核桃降價(jià)x元，利用銷售量×每件利潤＝2240元列出方程求解即可；（2）為了讓利于顧客因此應(yīng)下降6元，求出此時(shí)的銷售單價(jià)即可確定幾折．（1）解：設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)x元．…1分根據(jù)題意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240．…4分化簡(jiǎn)，得x2﹣10x+24＝0解得x1＝4，x2＝6．…6分答：每千克核桃應(yīng)降價(jià)4元或6元．…7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降價(jià)4元或6元．因?yàn)橐M可能讓利于顧客，所以每千克核桃應(yīng)降價(jià)6元．此時(shí)，售價(jià)為：60﹣6＝54（元），設(shè)按原售價(jià)的m折出售，則有：60×＝54，解得m＝9答：該店應(yīng)按原售價(jià)的九折出售．26．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，A是的中點(diǎn)，AE⊥AC于A，與⊙O及CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、E，且．（1）求證：△ADC∽△EBA；（2）如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．【分析】（1）欲證△ADC∽△EBA，只要證明兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等就可以．可以轉(zhuǎn)化為證明且就可以；（2）A是的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則AC＝AB＝8，根據(jù)△CAD∽△ABE得到∠CAD＝∠AEC，求得AE，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義就可以求出結(jié)論．（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE．∵，∴∠DCA＝∠BAE．∴△ADC∽△EBA；（2）解：∵A是的中點(diǎn)，∴∴AB＝AC＝8，∵△ADC∽△EBA，∴∠CAD＝∠AEC，，即，∴AE＝，∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝＝＝．27．如圖1，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm．點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以2cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求t為何值時(shí)，PQ平行于△ABC的一邊；（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)，求t為何值時(shí)，△PBQ的面積為cm2．【分析】（1）由勾股定理可求AC的長(zhǎng)，通過證明△ACD∽△BAC，可得，可求AD的長(zhǎng)；（2）分兩種情況討論，由平行線分線段成比例可求解；（3）如圖1，點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，0＜t≤3，過點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，由銳角三角函數(shù)可求QE的長(zhǎng)，由三角形面積公式可求t的值．解：（1）∵AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝＝8cm，∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB，且∠D＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△BAC，∴，∴，∴DC＝6.4cm，（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BC上，PQ∥AC時(shí)，∵PQ∥AC，∴，∴，∴t＝當(dāng)點(diǎn)Q在AC上，PQ∥BC時(shí)，∵PQ∥AC，∴，∴，∴t＝5，綜上所述，當(dāng)t＝5或時(shí)，PQ平行于△ABC的一邊；（3）如圖1，點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，0＜t≤3，過點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，∴sinB＝，即，解得QE＝t，∴△PBQ的面積＝BP?QE＝（10﹣t）?t＝，整理，