工科數(shù)學(xué)分析：5-6 常系數(shù)線性非齊次微分方程

北京理工大學(xué)第一學(xué)期《工科數(shù)學(xué)分析》第六節(jié)常系數(shù)線性非齊次微分方程12

3特殊類型的變系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.一、型設(shè)非齊方程特解為代入原方程綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.特別地解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例1利用歐拉公式“上帝創(chuàng)造的公式”

注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.解對應(yīng)齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為原方程通解為（取虛部）例2解對應(yīng)齊方通解作輔助方程代入輔助方程例3所求非齊方程特解為原方程通解為（取實(shí)部）注意解對應(yīng)齊次線性方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為例4三、小結(jié)(待定系數(shù)法)只含上式一項解法：作輔助方程,求特解,取特解的實(shí)部或虛部,得原非齊方程特解.思考題寫出微分方程的待定特解的形式.思考題解答設(shè)的特解為設(shè)的特解為則所求特解為特征根（重根）解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.一、歐拉方程的方程(其中形如叫歐拉方程.為常數(shù))特點(diǎn)：各項未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的次方數(shù)相同．作變量變換將自變量換為用微分算子表示對自變量求導(dǎo)的運(yùn)算上述結(jié)果可以寫為將上式代入歐拉方程，則化為以為自變量的常系數(shù)線性微分方程.求出這個方程的解后,把換為，即得到原方程的解.一般地，例求歐拉方程的通解．解作變量變換原方程化為即或(1)方程(1)所對應(yīng)的齊次方程為其特征方程特征方程的根為所以齊次方程的通解為設(shè)特解為代入原方程，得所給歐拉方程的通解為二、小結(jié)歐拉方程解法思路變系數(shù)的線性微分方程常系數(shù)的線性微分方程變量代換注意：歐拉方程的形式．一、微分方程組微分方程組

由幾個微分方程聯(lián)立而成的方程組稱為微分方程組．注意：這幾個微分方程聯(lián)立起來共同確定

了幾個具有同一自變量的函數(shù)．常系數(shù)線性微分方程組

微分方程組中的每一個微分方程都是常系數(shù)線性微分方程的微分方程組叫做常系數(shù)線性微分方程組．步驟:１．從方程組中消去一些未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，得到只含有一個未知函數(shù)的高階常系數(shù)線性微分方程．二、常系數(shù)線性微分方程組的解法２．解此高階微分方程,求出滿足該方程的未知函數(shù).３．把已求得的函數(shù)帶入原方程組,一般說來，不必經(jīng)過積分就可求出其余的未知函數(shù)．避免處理兩次積分后出現(xiàn)的任意常數(shù)間的關(guān)系．例1

解微分方程組由(2)式得設(shè)法消去未知函數(shù)，解兩邊求導(dǎo)得，把(3),(4)代入(1)式并化簡,得解之得通解再把(5)代入(3)式,得原方程組的通解為用表示對自變量求導(dǎo)的運(yùn)算例如，用記號可表示為注意:是的多項式可進(jìn)行相加和相乘的運(yùn)算．例2

解微分方程組解類似解代數(shù)方程組消去一個未知數(shù),消去(１)(２)(３)(４)(５)即非齊線性方程其特征方程為解得特征根為求得一個特解于是通解為(６)將(６)代入(３)得方程組通解為注意：在求得一個未知函數(shù)的通解以后，再求另一個未知函數(shù)的通解時，一般不再積分．三、小結(jié)２．注意求出其中一個解，再求另一個解時，宜用代數(shù)法，不要用積分法．避免處理兩次積分后出現(xiàn)的任意常數(shù)間的關(guān)系．１．注意微分算子D的使用；作業(yè)P394