數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理論探討課件

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理論探討數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理論探討2前言：教師成為研究者 20世紀(jì)80年代以來，教師教育出現(xiàn)了一種“反思性轉(zhuǎn)向”。以美國(guó)為開端，關(guān)于反思的討論迅速在教師教育界興起。這種討論的結(jié)果就是形成了“教師即研究者”（Elliott，1990）的理念，也就是說，教師不應(yīng)只是別人研究成果的消費(fèi)者，更應(yīng)是研究者。教師即技師（Teacherastechnician）教師即研究者（Teacherasresearcher）2前言：教師成為研究者 20世紀(jì)80年代以來，教師教育出現(xiàn)了3一、教師成為研究者是教師專業(yè)發(fā)展的需要

“教師成為研究者”有利于教師去發(fā)現(xiàn)和解決發(fā)生在自己課室中的教學(xué)問題，或是教育上的問題，進(jìn)而改進(jìn)教學(xué)以及提升教育質(zhì)量。“研究者”與“教師”看問題的視角往往是不一樣的，“教師成為研究者”有利于促進(jìn)教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的理解?！皩W(xué)”是“教”的前提，只有理解了學(xué)生是怎么學(xué)的，教學(xué)才能對(duì)癥下藥。在理解學(xué)生的學(xué)習(xí)方面，教師的經(jīng)驗(yàn)固然重要，但由于學(xué)習(xí)行為是一種復(fù)雜的心理活動(dòng)，因此，單純的經(jīng)驗(yàn)有時(shí)也會(huì)將教學(xué)引入歧途?！敖處煶蔀檠芯空摺庇兄诖龠M(jìn)教師之間、教師與專業(yè)研究人員之間、以及教師與其它行業(yè)之間的合作與交流。教師的經(jīng)驗(yàn)由于帶有太多的個(gè)性，一旦脫離了具體的情境，就難以被別人理解與借鑒，只有通過研究，將經(jīng)驗(yàn)提升為一種帶有共性的東西，才可能跨越時(shí)空和行業(yè)的界線。3一、教師成為研究者是教師專業(yè)發(fā)展的需要“教師成為研究者”4二、教師成為研究者是課程改革的需要

數(shù)學(xué)新課程的實(shí)施，帶來了許多新的東西，如：新的教學(xué)理念，新的教學(xué)方法，新的教學(xué)內(nèi)容，以及傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容的新的處理。隨之而來的則是一些新的問題和老師們的種種困惑：如何看待我國(guó)的雙基教學(xué)？傳統(tǒng)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)是不是不適用啦？什么是數(shù)學(xué)探究？如何評(píng)價(jià)教學(xué)的有效性？等等。為了解除困惑，老師們常常把目光轉(zhuǎn)向?qū)＜液屠碚?，而他們常常又?huì)發(fā)現(xiàn)，專家們的觀點(diǎn)似乎并不一致，理論也似乎沒有定論。于是，又形成了新的困惑。無怪乎，臺(tái)灣的報(bào)紙用三個(gè)字來概括實(shí)施（臺(tái)灣地區(qū)）新課程后老師們的心情，那就是：“忙、盲、?！?。 要改變這種現(xiàn)象，“教師成為研究者”至關(guān)重要。因?yàn)槊鎸?duì)新的情境，老的經(jīng)驗(yàn)往往并不適用。只有采取研究的態(tài)度，才能透過表面的現(xiàn)象看清本質(zhì)的東西，從而提高教師的洞察力和鑒別力，而不至于像墻頭草那樣，風(fēng)吹兩面倒。4二、教師成為研究者是課程改革的需要 數(shù)學(xué)新課程的實(shí)施，帶5三、研究風(fēng)格的轉(zhuǎn)變自上而下（演繹法）→自下而上（歸納法）定性研究→定量研究→定性研究（質(zhì)的研究）教育學(xué)方法（望遠(yuǎn)鏡）→心理學(xué)方法（顯微鏡）→數(shù)學(xué)教育研究方法（？）理論研究（改變理論）→實(shí)證研究（檢驗(yàn)假設(shè)）→行動(dòng)研究（改變行為）象牙塔（獨(dú)立研究）→課堂（合作研究）基于書面資料（博覽群書）→基于因特網(wǎng)（搜索與鑒別）5三、研究風(fēng)格的轉(zhuǎn)變自上而下（演繹法）→自下而上（歸納法）6四、數(shù)學(xué)教育的基本研究規(guī)范6四、數(shù)學(xué)教育的基本研究規(guī)范7論文的一般格式課題的提出文獻(xiàn)綜述研究方法研究過程結(jié)果與應(yīng)用參考文獻(xiàn)附錄（已有的成果及其與本研究的聯(lián)系）（起因與意義）（取樣，問卷，測(cè)試卷等及其信度和效度，包括反應(yīng)率）7論文的一般格式課題的提出文獻(xiàn)綜述研究方法研究過程結(jié)果與應(yīng)用8五、幾點(diǎn)建議8五、幾點(diǎn)建議9選擇一個(gè)適合自己的研究方向

數(shù)學(xué)教育涉及的研究領(lǐng)域和方向很多，教師的工作又比較繁忙，不可能關(guān)注數(shù)學(xué)教育研究的方方面面，因此，首先要選擇一個(gè)適合自己的研究方向，作為自己的立足之地，然后安營(yíng)扎寨，踏踏實(shí)實(shí)地做一點(diǎn)自己的東西?，F(xiàn)在學(xué)術(shù)界的新觀點(diǎn)、新口號(hào)很多，但筆者以為，做研究不能趕潮流，因?yàn)橐I(lǐng)潮流的畢竟只有極少數(shù)的人，大多數(shù)只能隨波逐流，容易迷失方向。大約在7年前，筆者因?yàn)槌鰢?guó)訪學(xué)的事，羅列了自己的一些研究成果去拜訪張奠宙先生。先生的評(píng)價(jià)是：你的研究只是東一榔頭、西一榔頭，看不出自己的研究特長(zhǎng)。這讓我很是振動(dòng)。從此，我就在努力尋找適合自己的研究領(lǐng)域。9選擇一個(gè)適合自己的研究方向 數(shù)學(xué)教育涉及的研究領(lǐng)域和方向10從“小”做起

喜歡做大做空，是我國(guó)傳統(tǒng)教育研究的一個(gè)通病，為此，張奠宙先生曾多次呼吁要改一改我們的文風(fēng)。從研究角度來看，大體上有兩種：一種是“望遠(yuǎn)鏡”式的，高瞻遠(yuǎn)矚，整體把握；另一種是“顯微鏡”式的，選一個(gè)小的切入點(diǎn)，逐步深入。從目前的國(guó)際趨勢(shì)來看，更喜歡后一種方式；而從我們教師的實(shí)際情況看，比較合適的也是后一種。 本刊的老主編唐復(fù)蘇教授經(jīng)常掛在嘴上的一句話是：文章不在長(zhǎng)短，有一得之見即可。這一得之見指的是自己的獨(dú)到見解，而不是泛泛而談。我們不能期望一篇短文能夠講出許多的大道理。10從“小”做起 喜歡做大做空，是我國(guó)傳統(tǒng)教育研究的一個(gè)通11注意相關(guān)文獻(xiàn)的積累

做研究不能靠拍腦袋。雖然論點(diǎn)的選擇可以來自經(jīng)驗(yàn)，但經(jīng)驗(yàn)不能代替有效的論據(jù)。在一些學(xué)術(shù)期刊的文章中，我們?nèi)匀豢梢钥吹剑骸拔艺J(rèn)為…”這類比較隨意的斷言，卻始終沒有給出為什么可以這樣認(rèn)為的證據(jù)，則不是研究的態(tài)度。當(dāng)然，像《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》這樣兼顧學(xué)術(shù)性和實(shí)用性的刊物，并不排斥有效教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的分享，但要成為一個(gè)研究者，就不能僅僅是經(jīng)驗(yàn)之談。 提高研究水平的一條具體措施就是注意相關(guān)文獻(xiàn)的搜集與積累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，別人已經(jīng)做了哪些工作。這樣才不會(huì)原地踏步，或者做重復(fù)勞動(dòng)。我國(guó)老一代數(shù)學(xué)教育研究者戴再平教授在這方面可以說是一個(gè)典范，他不僅自費(fèi)訂閱幾乎全部的中小學(xué)數(shù)學(xué)類期刊，而且制作了大量的學(xué)術(shù)卡片。正是這種勤奮，使得他幾乎可以著作等身。雖然在網(wǎng)絡(luò)時(shí)代，研究資料的搜集更為便捷，但也同樣需要日積月累。11注意相關(guān)文獻(xiàn)的積累 做研究不能靠拍腦袋。雖然論點(diǎn)的選擇12掌握基本的研究方法

長(zhǎng)期以來，學(xué)科教育研究常常受到學(xué)科專家的質(zhì)疑，其根本原因就是研究方法的科學(xué)性。與自然科學(xué)不同的是，教學(xué)假設(shè)是不能用純邏輯的方法來論證的，教學(xué)實(shí)驗(yàn)也通常是不可復(fù)制的。因此，研究方法的適用性及信度和效度就成為關(guān)鍵的因素。近年來流行的教學(xué)研究方法包括：案例研究，問卷調(diào)查，深度訪談，出聲思維，錄像帶分析，教學(xué)實(shí)驗(yàn)等等。這些方法并不需要高深的理論知識(shí)，用幾次就熟悉了。12掌握基本的研究方法 長(zhǎng)期以來，學(xué)科教育研究常常受到學(xué)科13增加合作與交流

現(xiàn)代社會(huì)越來越強(qiáng)調(diào)人與人的合作交流，數(shù)學(xué)教育研究也是一樣。這里的合作交流不僅僅指研究結(jié)果的呈現(xiàn)，更在于研究過程的開放性。近年來，國(guó)外的一些研究人員往往從選題開始就在網(wǎng)絡(luò)上公布，并毫無保留地展現(xiàn)自己的研究過程，包括其中的困惑，希望引起別人的關(guān)注與介入。這種做法，于人于己都有益處。13增加合作與交流 現(xiàn)代社會(huì)越來越強(qiáng)調(diào)人與人的合作交流，數(shù)14教師參與研究的程度漢森（Henson,1996）曾將教師參與研究的程度分為三級(jí)：第一級(jí)為“協(xié)助者”（helper）的角色，即僅提供教室與學(xué)生給外來的研究者使用；第二級(jí)為“初級(jí)研究者”（juniorpartner）的角色，即雖共同參與研究，但并不參與任何研究上的決策；第三級(jí)為“實(shí)質(zhì)研究者”（researcher）的角色，即不論單獨(dú)進(jìn)行或與他人合作研究，皆處于主導(dǎo)研究的地位。研究表明，唯有位于第三級(jí)的教師，才能確實(shí)利用研究來改進(jìn)自身的教學(xué)。

14教師參與研究的程度漢森（Henson,1996）曾將15提綱I. 前言II. 范希爾的幾何思維水平III. 克魯切茨基的數(shù)學(xué)能力心理學(xué)IV. 韜爾的高等數(shù)學(xué)思維研究V. 安德森的ACT-R理論VI. 杜賓斯基的APOS理論15提綱I. 前言16I.前言呼喚數(shù)學(xué)領(lǐng)域自身的學(xué)習(xí)理論！教育心理學(xué)教學(xué)心理學(xué)教與學(xué)心理學(xué)學(xué)與教心理學(xué)學(xué)習(xí)理論16I.前言呼喚數(shù)學(xué)領(lǐng)域自身的學(xué)習(xí)理論！教育心理學(xué)教學(xué)心理17理論的意義支持預(yù)測(cè)；為研究提供框架；具有解釋的能力；能夠應(yīng)用于廣泛的現(xiàn)象；有助于組織對(duì)復(fù)雜的相關(guān)現(xiàn)象的思考；作為數(shù)據(jù)分析的工具；提供一種深層次的交流觀點(diǎn)的語言。17理論的意義支持預(yù)測(cè)；18數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的理論建構(gòu)兩條途徑：第一條途徑是“一般學(xué)習(xí)理論+數(shù)學(xué)例子”，也就是將一般的學(xué)習(xí)原理應(yīng)用于具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，然后根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)修正原來的理論，或者提出新的假設(shè)去尋找更合適的理論依據(jù)。另外一條途徑則源自數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的問題與經(jīng)驗(yàn),通過建立模型去解釋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過程。這一類研究人員通常是數(shù)學(xué)專業(yè)出生，對(duì)數(shù)學(xué)有較為深入的理解，但在教育學(xué)和心理學(xué)的理論功底上有所欠缺，其研究的重點(diǎn)主要在于大學(xué)生和中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。相比之下，心理學(xué)界對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的討論主要集中在小學(xué)階段。18數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的理論建構(gòu)兩條途徑：19學(xué)習(xí)理論研究的趨勢(shì)：走進(jìn)課堂

三十年前,教育工作者們很少關(guān)注認(rèn)知科學(xué)家的工作,在認(rèn)知科學(xué)研究的初期,研究者們的工作是遠(yuǎn)離課堂的.今天,認(rèn)知研究者們更多的是與教師合作,在真實(shí)的課堂情景中檢驗(yàn)和改進(jìn)他們的理論,因?yàn)樵诮淌依?他們才能看到不同的課堂情境和不同的課堂交往是如何影響他們的理論在課堂中的應(yīng)用.摘自《人是如何學(xué)習(xí)的》19學(xué)習(xí)理論研究的趨勢(shì)：走進(jìn)課堂三十年前,教20II.范希爾的幾何思維水平20II.范希爾的幾何思維水平21起因 在50年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的問題是很普遍的（Freudenthal,1958）。范希爾夫婦（PierreVanHiele&DinaVanHiele）作為荷蘭一所中學(xué)的數(shù)學(xué)教師，每天都親身經(jīng)歷著這些問題。最讓他們感到困惑的是教材所呈現(xiàn)的問題或作業(yè)所需要的語言及專業(yè)知識(shí)常常超出了學(xué)生的思維水平，這使得他們開始關(guān)注皮亞杰的工作。經(jīng)過一段時(shí)間的研究，他們提出了幾何思維的五個(gè)水平。這一成果最初發(fā)表在他們夫婦于1957年在烏特勒克大學(xué)共同完成的的博士論文上。21起因 在50年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的問題是很普遍的（22評(píng)價(jià) 前蘇聯(lián)學(xué)者很快就注意到了范希爾的思想，他的論文（1959）在1963年就由皮什卡羅（A.M.Pyshkalo）作了詳盡的報(bào)道。10年之后，美國(guó)人才開始了解范希爾的工作。在1974年召開的大西洋城NCTM年會(huì)上，芝加哥大學(xué)的威茲普（IsaakWirszup）將范希爾的思想正式介紹給了美國(guó)學(xué)者，并同時(shí)介紹了前蘇聯(lián)幾何教學(xué)的“驚人進(jìn)展”。威茲普的報(bào)告后來以“幾何教學(xué)心理學(xué)中的一個(gè)重大突破”為標(biāo)題發(fā)表在Martin和Bradbard主編的著作上（Wirszup，1976）。與此同時(shí)，弗賴登塔爾也提供了思維水平在數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)中的范例。他發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)歸納實(shí)際上也是沿著五個(gè)思維水平發(fā)展的（Freudenthal,1973,p123）。所有這一些，使范希爾理論引起了全世界的廣泛關(guān)注，并成為上世紀(jì)80年代幾何教學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)。22評(píng)價(jià) 前蘇聯(lián)學(xué)者很快就注意到了范希爾的思想，他的論文（123水平的劃分層次0︰視覺(visuality)層次1︰分析(analysis)層次2︰非形式化的演繹(informaldeduction)層次3︰形式的演繹(formaldeduction)層次4︰嚴(yán)密性(rigior)23水平的劃分層次0︰視覺(visuality)24層次0︰視覺(visuality)兒童能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，并能操作其幾何構(gòu)圖元素（如邊、角）；能畫圖或仿畫圖形，使用標(biāo)準(zhǔn)或不標(biāo)準(zhǔn)名稱描述幾何圖形；能根據(jù)對(duì)形狀的操作解決幾何問題，但無法使用圖形之特征或要素名稱分析圖形，也無法對(duì)圖形做概括的論述.例如：兒童可能會(huì)說某個(gè)圖形是三角形，因?yàn)樗雌饋硐褚粋€(gè)三明治。24層次0︰視覺(visuality)兒童能通過整體輪25層次1︰分析(analysis)兒童能分析圖形的組成要素及特征，并依此建立圖形的特性，利用這些特性解決幾何問題，但無法解釋性質(zhì)間的關(guān)系，也無法了解圖形的定義；能根據(jù)組成要素比較兩個(gè)形體，利用某一性質(zhì)做圖形分類，但無法解釋圖形某些性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)，也無法導(dǎo)出公式和使用正式的定義。例如：兒童會(huì)知道三角形有三條邊和三個(gè)角，但不能理解如果內(nèi)角愈大，則對(duì)邊愈長(zhǎng)的性質(zhì)。25層次1︰分析(analysis)兒童能分析圖形的組成要26層次2︰非形式化的演繹(informaldeduction)兒童能建立圖形及圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，可以提出非形式化的推論，了解建構(gòu)圖形的要素，能進(jìn)一步探求圖形的內(nèi)在屬性和其包含關(guān)系，使用公式與定義及發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)做演繹推論。但不能了解證明與定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立證明結(jié)果的成立，也未能建立定理網(wǎng)絡(luò)之間的內(nèi)在關(guān)系。例如：學(xué)生了解了等腰三角形的性質(zhì)后，他們會(huì)推出等腰直角三角形同時(shí)也是直角三角形的一種，因?yàn)榈妊苯侨切屋^直角三角形多了一些性質(zhì)的限制。因此，學(xué)童能作一些非正式的說明但還不能作系統(tǒng)性的證明.26層次2︰非形式化的演繹(informaldeduct27層次3︰形式的演繹學(xué)生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”、“定理”和“公理”的意義，確信幾何定理是需要形式邏輯推演才能建立的，理解解決幾何問題必須具備充分或必要條件；能猜測(cè)并嘗試用演繹方式證實(shí)其猜測(cè)，能夠以邏輯推理解釋幾何學(xué)中的公里、定義、定理等，也能推理出新的定理，建立定理間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，能比較一個(gè)定理的不同證明方式；能理解證明中的必要與充分條件，例如至少有一個(gè)邊對(duì)應(yīng)相等或至少一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等是證明兩個(gè)三角形全等的必要條件，兩角夾邊對(duì)應(yīng)相等則是兩三角形全等的充分條件；能寫出一定理的逆定理，如平行四邊形的對(duì)角線互相平分，其逆定理是對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。27層次3︰形式的演繹學(xué)生可以了解到證明的重要性和了解“不28層次4︰嚴(yán)密性在這個(gè)層次能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ硪苑治霰容^不同的幾何系統(tǒng)，如歐氏幾何與非歐氏幾何系統(tǒng)的比較。28層次4︰嚴(yán)密性在這個(gè)層次能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟?9水平的修正（VanHiele，1986）直觀水平（visuallevel）——整體地認(rèn)識(shí)幾何對(duì)象。Fuys,geddes,Lovett和Tischler（1988）認(rèn)為這一階段是“學(xué)習(xí)者依據(jù)幾何圖形的外表來認(rèn)識(shí)，命名，比較，和畫出這些圖形的時(shí)候，像三角形，角度，平行線”。描述水平（descriptivelevel）——通過幾何性質(zhì)認(rèn)識(shí)幾何對(duì)象。在這一階段學(xué)生按照?qǐng)D形的組成部分和這些組成部分之間的聯(lián)系來分析圖形。學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗(yàn)確立圖形的性質(zhì)和使用這些性質(zhì)解決問題。理論水平（theoreticallevel）——利用演繹推理證明幾何關(guān)系。在描述階段中由Murray（1997）提出的概念網(wǎng)絡(luò)圖在這一階段完整和穩(wěn)定了。學(xué)生理解和接受了準(zhǔn)確的定義，學(xué)生談?wù)撔螤顣r(shí)涉及到這些定義，學(xué)生理解圖形內(nèi)部和圖形之間的聯(lián)系。這一階段學(xué)生能夠運(yùn)用“如果┉那么”思想，并由此發(fā)展邏輯推理能力。29水平的修正（VanHiele，1986）直觀水平（v30SOLO理論SOLO是“學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)性觀察”（StructureOftheObservedLearningOutcome）的縮寫，由澳大利亞學(xué)者Collis和Biggs（1982）所創(chuàng)，SOLO分類法的理論基礎(chǔ)是結(jié)構(gòu)主義學(xué)說和皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段理論30SOLO理論SOLO是“學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)性觀察”（Str31SOLO水平分類SOLO層次規(guī)則描述前結(jié)構(gòu)學(xué)生無法解決問題或只會(huì)重復(fù)問題。學(xué)生不能理解要點(diǎn)。單結(jié)構(gòu)學(xué)生注意到了問題的一個(gè)相關(guān)特征，但事實(shí)或觀點(diǎn)之間沒有聯(lián)系。理解是有名無實(shí)的。多元結(jié)構(gòu)學(xué)生找到了許多獨(dú)立的相關(guān)特征，但還無法將他們有機(jī)聯(lián)系起來。關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)整合各部分內(nèi)容使其成為一個(gè)有機(jī)整體。擴(kuò)展抽象學(xué)生會(huì)歸納問題或重新概念化到更高的抽象層次31SOLO水平分類SOLO規(guī)則描述前結(jié)構(gòu)學(xué)生無法解決問題32范希爾理論與SOLO理論的比較SOLO分類與范希爾理論在許多方面是相似的，如兩者都為教師提供了一種評(píng)價(jià)學(xué)生推理的途徑；兩者都可以作為一種教學(xué)的框架；在各級(jí)水平（特別是最高水平和最低水平）上學(xué)生的反應(yīng)指標(biāo)有些類似；等。但兩者之間的區(qū)別也是存在的，如SOLO系統(tǒng)側(cè)重于評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，而范希爾的目標(biāo)則是學(xué)生個(gè)體的能力變化（Jurdak，1989，p.156）；SOLO分類可以應(yīng)用于所有的學(xué)科，而范希爾一般只適用于幾何課程；SOLO系統(tǒng)除了五個(gè)結(jié)構(gòu)層次外，還給出了不同層次之間的“過渡水平”，目的是幫助學(xué)生從一個(gè)層次向另一個(gè)層次過渡，而范希爾的教學(xué)階段則聚焦于每個(gè)層次上的教學(xué)設(shè)計(jì)32范希爾理論與SOLO理論的比較SOLO分類與范希爾理論33幾何思維水平的評(píng)估

范希爾理論在幾何評(píng)價(jià)上的應(yīng)用主要包括相關(guān)的兩個(gè)方面：一是在每個(gè)思維水平上設(shè)計(jì)出相應(yīng)的測(cè)試題；二是利用編制好的測(cè)試題考查學(xué)生的范希爾思維水平。 在這方面的工作中，第一個(gè)，也是最經(jīng)典的一項(xiàng)研究是芝加哥大學(xué)的一個(gè)題為“中學(xué)幾何課上學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展和成就”的研究課題。這項(xiàng)研究的目的是確定學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展階段以及學(xué)生在一個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)測(cè)驗(yàn)上的成績(jī)對(duì)他們掌握幾何概念和證明的影響（Usiskin，1982）。這項(xiàng)課題的對(duì)象包括了六個(gè)州的學(xué)習(xí)高中幾何課程的近2900名學(xué)生。33幾何思維水平的評(píng)估 范希爾理論在幾何評(píng)價(jià)上的應(yīng)用主要包34Usiskin得到的初步的研究結(jié)果以紙筆測(cè)驗(yàn)進(jìn)行施測(cè)，有8﹪的初初中生可達(dá)到vanHiele層次3之上。范希爾幾何思考層次和幾何測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)間有顯著的相關(guān)。部分學(xué)生的解答介于兩個(gè)水平之間，難以指派到某一層次。完成中學(xué)幾何課程后，仍有40﹪學(xué)生的幾何發(fā)展仍在層次3以下。范希爾層次在性別間有差異現(xiàn)象。利用vanHiele幾何思考層次可預(yù)測(cè)學(xué)生在標(biāo)準(zhǔn)幾何學(xué)習(xí)上會(huì)遇到困難34Usiskin得到的初步的研究結(jié)果以紙筆測(cè)驗(yàn)進(jìn)行施測(cè)，35III.中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué)35III.中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué)36簡(jiǎn)介

前蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯切茨基從50年代末開始就對(duì)中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力進(jìn)行了長(zhǎng)達(dá)十二年的研究.他運(yùn)用深度訪談、問卷調(diào)查、跟蹤分析、出聲思維等質(zhì)的研究方法，分析了不同能力的學(xué)生解題時(shí)的心里特性，以及數(shù)學(xué)能力組成成分中的類型、年齡、性別差異以及數(shù)學(xué)能力與個(gè)性的關(guān)系。這些研究成果集中反映在其著作《中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué)》中。這本書的俄文版在1968年出版后，于1976年被基爾帕特里克等人翻譯成英文版（Krutetskii,1976）。分別于1983、1984和1993年由我國(guó)上海教育出版社、教育科學(xué)出版社和九章出版社出版的中譯本均譯自這本英文版。36簡(jiǎn)介 前蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯切茨基從50年代末開始就對(duì)中小學(xué)37評(píng)價(jià)

“可以毫不夸張地說，這本書對(duì)從事數(shù)學(xué)教育的人來說，和皮亞杰的著作有同樣的影響力。正像皮亞杰的實(shí)驗(yàn)題目曾為教師和研究人員所改編和使用一樣，克魯切茨基的實(shí)驗(yàn)題目更接近于學(xué)校的數(shù)學(xué)課程，因而同樣地能為教師和研究人員加以改編和使用；正如皮亞杰關(guān)于智力發(fā)展的概念曾使教育工作者認(rèn)識(shí)到不同年齡兒童思維上的差異一樣，克魯切茨基關(guān)于數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)的概念，能使他們認(rèn)識(shí)到能力的不同組成和它們是怎樣在共同起作用的；正如皮亞杰曾經(jīng)擴(kuò)大了我們關(guān)于什么是恰當(dāng)?shù)难芯糠椒ㄒ粯?，克魯切茨基則更進(jìn)一步擴(kuò)展了這個(gè)概念?！被鶢柵撂乩锟?/p>

37評(píng)價(jià) “可以毫不夸張地說，這本書對(duì)從事數(shù)學(xué)教育的人來說，38三個(gè)基本問題數(shù)學(xué)能力特殊性問題。數(shù)學(xué)能力本身是作為一種特殊形式存在，與一般智力范疇不同呢，還是數(shù)學(xué)能力是一般心理過程和人格品質(zhì)的特殊化呢？也就是說，一般智力是與數(shù)學(xué)能力一起發(fā)展的嗎？換句話說，人們能說數(shù)學(xué)能力不外是一般智力加上對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的傾向性嗎？數(shù)學(xué)能力的結(jié)構(gòu)性問題。數(shù)學(xué)稟賦是單一性的（單獨(dú)的、不可再分的）還是綜合性的（復(fù)雜的）？如果是綜合性的，人們就可追問關(guān)于數(shù)學(xué)能力的結(jié)構(gòu)問題，也就是復(fù)雜心理形式的組成成分問題。數(shù)學(xué)能力的類型差異問題。是否存在著不同類型的數(shù)學(xué)秉賦或者有一個(gè)主要成分而只是在對(duì)某些數(shù)學(xué)分支的興趣和傾向上出現(xiàn)差別？38三個(gè)基本問題數(shù)學(xué)能力特殊性問題。數(shù)學(xué)能力本身是作為一種39（一）能力結(jié)構(gòu)39（一）能力結(jié)構(gòu)40兩類數(shù)學(xué)能力作為創(chuàng)造性（科學(xué)）的能力——在數(shù)學(xué)科學(xué)活動(dòng)中的能力。這種能力產(chǎn)生對(duì)人類有意義的新成果與新成就。這是在社會(huì)上有價(jià)值的成品。作為學(xué)校的能力——在學(xué)習(xí)（學(xué)會(huì)、掌握）數(shù)學(xué)（在這種情況下是學(xué)校的數(shù)學(xué)課程）上的能力，迅速而成功地掌握適當(dāng)知識(shí)和技能的能力。40兩類數(shù)學(xué)能力作為創(chuàng)造性（科學(xué)）的能力——在數(shù)學(xué)科學(xué)活動(dòng)中41中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)1.獲得數(shù)學(xué)信息

A.對(duì)于數(shù)學(xué)材料形式化感知的能力；對(duì)問題形式結(jié)構(gòu)的掌握能力。2.數(shù)學(xué)信息加工在數(shù)量和空間關(guān)系，數(shù)字和字母符號(hào)方面的邏輯思維能力；對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行思維的能力。B.迅速而廣泛地概括數(shù)學(xué)對(duì)象、關(guān)系和運(yùn)算的能力。C.縮短數(shù)學(xué)推理過程和相應(yīng)的運(yùn)算系統(tǒng)的能力；以簡(jiǎn)短的結(jié)構(gòu)進(jìn)行思維的能力。D.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中心理過程的靈活性。E.力求解答的清晰、簡(jiǎn)明、經(jīng)濟(jì)與合理。F.迅速而自如地重建心理過程的方向、從一個(gè)思路轉(zhuǎn)向另一個(gè)相反思路的能力（數(shù)學(xué)推理中心理過程的可逆性）。3.數(shù)學(xué)信息保持A.數(shù)學(xué)的記憶（關(guān)于數(shù)學(xué)關(guān)系，類型特征，論據(jù)和證明的圖式，解題方法及探討原則的概括性記憶）。4.一般綜合性組成成分

A.數(shù)學(xué)氣質(zhì)。41中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)1.獲得數(shù)學(xué)信息42數(shù)學(xué)稟賦結(jié)構(gòu)中非必要成分以時(shí)間為特征的心理過程的敏捷性。數(shù)學(xué)家可以慢慢地思考，但是卻想得非常透徹和深刻。計(jì)算能力。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐卡萊說，他自己即使做加法也要出錯(cuò)誤。對(duì)符號(hào)、數(shù)字和公式的記憶。正如科爾莫戈羅夫指出的那樣，許多著名數(shù)學(xué)家在這方面的記憶并不突出。關(guān)于空間概念的能力；對(duì)抽象數(shù)學(xué)關(guān)系和相依關(guān)系形象化的能力。42數(shù)學(xué)稟賦結(jié)構(gòu)中非必要成分以時(shí)間為特征的心理過程的敏捷性43（二）研究中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的實(shí)驗(yàn)題體系普通測(cè)驗(yàn)： 考查學(xué)生知道什么和會(huì)什么。能力測(cè)驗(yàn)： 考查學(xué)生解題的容易程度和迅速程度43（二）研究中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的實(shí)驗(yàn)題體系普通測(cè)驗(yàn)：44選擇實(shí)驗(yàn)題的依據(jù)選用的實(shí)驗(yàn)題目或是不需要特殊的知識(shí)、技能或習(xí)慣就可以解決的，或是它所需要的知識(shí)對(duì)全體學(xué)生來說都是具備的。實(shí)驗(yàn)題目對(duì)學(xué)生來說是新的，所用的材料也是他們不熟悉的，因此，也就大大減弱了過去經(jīng)驗(yàn)的影響。如果他們的材料是新近學(xué)過的，那么就使我們有可能去探索學(xué)生掌握新技能的特點(diǎn)（解答相應(yīng)類似題目的技能）。我們運(yùn)用了一些具有數(shù)學(xué)創(chuàng)造性成分的題目——非常規(guī)的題目。44選擇實(shí)驗(yàn)題的依據(jù)選用的實(shí)驗(yàn)題目或是不需要特殊的知識(shí)、技45系列1：沒有提出問題的題目考查目的：本系列題目中，既沒有直接提出問題，也沒有間接提出問題，但題中所給的數(shù)量關(guān)系可以合乎邏輯地引申出問題。目的是弄清學(xué)生是否能提出問題，是否能發(fā)現(xiàn)題目中已知關(guān)系的邏輯依從性，是否能理解這些關(guān)系的本質(zhì)，以此來考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)題的心理知覺的某些特征。考查方法：由算術(shù)、代數(shù)、幾何三套測(cè)驗(yàn)組成，學(xué)生拿到一張帶題目的卡片之后就立即閱讀并立即提出問題。主試要弄清被試的整個(gè)推理過程，并記下測(cè)驗(yàn)所用的時(shí)間。45系列1：沒有提出問題的題目考查目的：本系列題目中，既沒有46系列2：信息不完全的題目考查目的：本系列題目中有些信息缺少了，看起來對(duì)所提的問題似乎不可能有正確答案，而當(dāng)補(bǔ)充了信息以后，就能得到正確的答案。目的是弄清學(xué)生能否指出解題必需具備的條件，并注意到丟失的信息，以此考查學(xué)生能否看出題目的形式結(jié)構(gòu)?？疾榉椒ǎ河伤阈g(shù)和幾何兩套測(cè)驗(yàn)組成，當(dāng)學(xué)生肯定地回答不能解決問題時(shí)，要求他說明原因，并補(bǔ)上丟失的信息。46系列2：信息不完全的題目考查目的：本系列題目中有些信息缺47系列3：有多余信息的題目考查目的：本系列題目中插進(jìn)了附加的、不必要的信息，或者沒有用的提示，以掩蓋解題所需要的論據(jù)，目的是弄清學(xué)生能否辨別解題所需要的條件體系，以揭示他們頭腦中理解數(shù)學(xué)題的一些特點(diǎn)?？疾榉椒ǎ阂话阌脙山M題：“總是缺少必要的條件”“都有多余的事實(shí)”同時(shí)進(jìn)行，可在學(xué)生學(xué)習(xí)了典型例題的一課、一周或一月之后進(jìn)行，用以考查學(xué)生是否記住了：1）題目的類型；2）特殊的事實(shí)；3）多余的信息。47系列3：有多余信息的題目考查目的：本系列題目中插進(jìn)了附加48系列4：具有互相滲透因素的題目考查目的：研究學(xué)生分析—綜合知覺幾何圖形的一些因素，特別是從不同觀點(diǎn)辨別和確定幾何圖形滲透成分的技能，從背景中區(qū)分出圖形和圖形成分的技能，把一個(gè)成分包含在不同圖形中，并給予恰當(dāng)?shù)牟煌忉尩募寄堋？疾榉椒ǎ褐饕獛缀螠y(cè)驗(yàn)，其圖形中有些要素是“互相滲透的”，如看出棋盤中有多少個(gè)長(zhǎng)方形。48系列4：具有互相滲透因素的題目考查目的：研究學(xué)生分析—49系列5：?jiǎn)我活愋偷念}目體系考查目的：通過學(xué)生怎樣從不同的題目中看出一般的類型、如何從解決同一類型簡(jiǎn)單的題目到解決復(fù)雜的題目、以及他們?cè)鯓訌耐獗眍愃频牧硪活愋偷念}目中區(qū)分出這一類型的題目，來考查他們的概括能力。并通過分析學(xué)生連續(xù)解一個(gè)類型的問題時(shí)的推理過程，來判斷他們“縮短”推理的能力?？疾榉椒ǎ簩?duì)不同層次的學(xué)生用兩組不同難度的測(cè)驗(yàn)，每組測(cè)驗(yàn)由8道題，由易到難體現(xiàn)了一個(gè)類型從容易到復(fù)雜的“階梯式”。測(cè)試時(shí)，先做第8題，不行就做第1題，然后再做第8題，不行再做第2題，如此下去，只要求學(xué)生回答解題的思路，而不必完整解題。49系列5：?jiǎn)我活愋偷念}目體系考查目的：通過學(xué)生怎樣從不同的50其它系列系列6：不同類型的題目體系系列7：從具體到抽象逐漸過渡的題目體系系列8：按照特定的類型編題系列9：證明題系列10：運(yùn)用題目的各種條件列方程式系列11：不現(xiàn)實(shí)的題目系列12：形成人工概念系列13：有幾種解法的題目系列14：變化內(nèi)容的題目系列15：重建一種運(yùn)算的題目系列16：暗示“自我限制”的題目系列17：正向和反向的題目系列18：?jiǎn)l(fā)（探索）性課題系列19：關(guān)于理解和邏輯推理的題目系列20：系列題目系列21：數(shù)學(xué)詭辯題系列22：項(xiàng)目難記的題目系列23：在解答中具有不同程度直觀性的題目系列24：既有語言又有直觀表達(dá)的題系列25：有關(guān)空間概念的題目系列26：揭露非智力活動(dòng)方面的直觀形象與語言邏輯成分之間關(guān)系的題目50其它系列系列6：不同類型的題目體系系列17：正向和反向的51（三）能力差異

克魯切茨基堅(jiān)決主張有所謂“有數(shù)學(xué)頭腦”——即傾向于以數(shù)學(xué)方式來解釋世界的人。在數(shù)學(xué)稟賦好的學(xué)生身上可以清楚地看到這一點(diǎn)。他還提到，這種傾向甚至在人一生下來就可能有所表現(xiàn)。他區(qū)分出三種數(shù)學(xué)頭腦的基本類型：分析型（傾向以言語——邏輯的關(guān)系來思考）、幾何型（傾向以視覺——形象的關(guān)系來思考）和調(diào)和型（兼具前兩種類型的特征）。

“能力問題也就是個(gè)別差異問題。如果每個(gè)人在各方面的發(fā)展和在從事任何活動(dòng)上都有同樣的能力，那么討論能力問題也就沒有意義了。我們談?wù)撃芰栴}，就等于預(yù)先假定了人們之間有某些個(gè)別差異。沒有一個(gè)人在任何事情上都是無能的，每個(gè)人都有最適宜從事某種活動(dòng)的能力，不過，同是從事一樣的工作，也有能力水平上的差異?！?/p>

（克魯切茨基，1984）51（三）能力差異 克魯切茨基堅(jiān)決主張有所謂“有數(shù)學(xué)頭腦”—521.天才兒童的個(gè)案研究521.天才兒童的個(gè)案研究53個(gè)案1：索尼婭

（2年級(jí)，1950年生于莫斯科，小傳完成于1958-1959年）

她有一個(gè)7年級(jí)的哥哥，發(fā)育正常，沒有表現(xiàn)出數(shù)學(xué)才能，她的近親中只有外祖母據(jù)說酷愛數(shù)學(xué)，但無據(jù)可查。 索尼婭個(gè)子矮小，動(dòng)作緩慢，講話從容（甚至是慢吞吞地），情感表達(dá)較差；除了算術(shù)成績(jī)優(yōu)良外，其它各門功課學(xué)習(xí)正常，成績(jī)一般。寫作很差，閱讀也不流暢，不大喜歡做作業(yè)。她有高度集中的能力。當(dāng)她思想集中時(shí)，她不能安靜地坐著，而是走來走去，坐立不安，有時(shí)甚至?xí)龀龈鞣N反常的動(dòng)作。有一次，她竟在解答一道難題時(shí)，突然站起來跑到床上，像演員表演似地翻了一個(gè)筋斗又回來坐到椅子上。但當(dāng)她從事過于簡(jiǎn)單的事情時(shí)，會(huì)明顯地表現(xiàn)出心不在焉。這就是為什么她常常10以內(nèi)的加法做錯(cuò)的原因。在實(shí)驗(yàn)中，她用60節(jié)課就學(xué)完了5-7年級(jí)的全部數(shù)學(xué)課程。15歲時(shí)成為莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系的學(xué)生53個(gè)案1：索尼婭

（2年級(jí)，1950年生于莫斯科，小傳完成54心理特點(diǎn)推理和心理定向敏捷。這是索尼婭最顯著的特征之一。通常她能以驚人的速度找到她所能理解的一種解題方案。可以說，她對(duì)數(shù)學(xué)材料有一種獨(dú)特的分析和綜合的“眼力”，她能立刻找到一個(gè)解題方法或看出證明的邏輯。54心理特點(diǎn)推理和心理定向敏捷。這是索尼婭最顯著的特征之一。55心理特點(diǎn)（續(xù)）邏輯推理，有系統(tǒng)、有順序的思考力。這也是索尼婭最顯著的特征之一。她對(duì)定理的意義、求證的含義都理解得相當(dāng)透徹。她能很容易地從前提得出結(jié)論，但并不簡(jiǎn)單地相信它。她在論證上邏輯嚴(yán)密，且有說服力。她解答數(shù)學(xué)題都毫無例外地經(jīng)過邏輯上的驗(yàn)證。55心理特點(diǎn)（續(xù)）邏輯推理，有系統(tǒng)、有順序的思考力。這也是索56解題分析1問題：一個(gè)牧人對(duì)另一個(gè)牧人說：“你給我8只羊，我們兩人的羊數(shù)就相等了”。另一個(gè)牧人回答說：“不，你給我8只羊，我的羊就成了你的兩倍。”56解題分析1問題：一個(gè)牧人對(duì)另一個(gè)牧人說：“你給我8只羊，57索尼婭的解答“假如一個(gè)牧人給另一個(gè)牧人8只羊，他們兩個(gè)人的羊數(shù)就一樣多，就是說，兩者的差數(shù)是16只羊。另一方面，如果另一個(gè)人拿出了8只，他們的差數(shù)就成了32只，這樣可以知道，一個(gè)人比另一個(gè)人多兩倍，或者說多32只，就是說他們的羊數(shù)是32和64。他們交換之前的羊數(shù)是40和56?！彼挥昧?0秒。57索尼婭的解答“假如一個(gè)牧人給另一個(gè)牧人8只羊，他們兩個(gè)人58解題分析2例2：索尼婭證明了三角形的內(nèi)角和等于平角之后，應(yīng)實(shí)驗(yàn)者的要求，很容易地又證明了四邊形的內(nèi)角之和等于兩個(gè)平角，及五邊形的內(nèi)角和等于3個(gè)平角并畫了圖（圖1）。然后，她想了想說：“任何多邊形都是如此：三角形的數(shù)目永遠(yuǎn)比邊的數(shù)目少2。所以，要求內(nèi)角和，就必須從邊數(shù)中減2，再乘以2d?！?/p>

2d2d2d2d2d58解題分析2例2：索尼婭證明了三角形的內(nèi)角和等于平角之后，59心理特點(diǎn)（續(xù)）思維的靈活性。索尼婭不受陳腐思想的束縛和一般解題方法的限制，她能很容易地從一種心理運(yùn)算轉(zhuǎn)為另一種運(yùn)算，從一種解題方法轉(zhuǎn)為另一種解題方法，而且通常能找出多種解法。59心理特點(diǎn)（續(xù)）思維的靈活性。索尼婭不受陳腐思想的束縛和一60解題分析3例3：小雞和兔子在外面跑，一共有35個(gè)頭，94只腳，問雞兔各有多少？索尼婭的解答是：“如果全部是35個(gè)頭，那么雞兔總共有35只。假如全是小雞，就有70只腳，就是說另外多出了24只腳。因?yàn)樵谠鹤永锱艿某诵‰u外，還有兔子，每只兔子比小雞多兩只腳，這意味著有12只兔子和23只小雞。還可以這樣做：一共有94只腳，假如全是小雞，就有47只，但總共只有35個(gè)頭——少了12個(gè)頭。這12個(gè)頭，每頭應(yīng)有4只腳而不是2只腳。所以是12只兔子和23只小雞。”

60解題分析3例3：小雞和兔子在外面跑，一共有35個(gè)頭，9461心理特點(diǎn)（續(xù)）能自如地從正面的思維進(jìn)程轉(zhuǎn)到反面的思維進(jìn)程。解答問題時(shí)推理的迅速簡(jiǎn)略和“壓縮”的傾向。“節(jié)約思考”的明顯傾向。索尼婭的一個(gè)顯著特點(diǎn)是，力求找出一種最簡(jiǎn)便的解題方法，解答力求簡(jiǎn)單、明了。對(duì)數(shù)學(xué)材料的迅速而牢固的記憶。雖然她對(duì)具體材料和數(shù)只有在解題的時(shí)候才記住，但對(duì)求證的基本過程、題目的類型和解題原則以及推理的基本模式卻記得很牢。對(duì)數(shù)學(xué)作用很少感到疲勞。此外，她特別傾向于在許多生活現(xiàn)象中尋找它在數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)上的意義，并把它納入邏輯與數(shù)學(xué)范疇的結(jié)構(gòu)中來加以認(rèn)識(shí)。61心理特點(diǎn)（續(xù)）能自如地從正面的思維進(jìn)程轉(zhuǎn)到反面的思維進(jìn)程62有關(guān)數(shù)學(xué)天才兒童的初步結(jié)論數(shù)學(xué)才能在童年早期就能形成，其中大部分是以計(jì)算能力的形式出現(xiàn)。數(shù)學(xué)才能的早期形成并非總是跟環(huán)境與培養(yǎng)上的有利條件聯(lián)系著的。才能的早期發(fā)展是與算術(shù)興趣的形成和樂于鉆研的傾向分不開的。這常常表現(xiàn)為不懈地努力計(jì)算、解題和自己編題，而這又和他們能夠長(zhǎng)時(shí)間的緊張工作而不感疲勞有關(guān)。數(shù)學(xué)才能表現(xiàn)比較早的兒童，他們的心理活動(dòng)具有下列特點(diǎn)：概括數(shù)學(xué)材料的能力（能在表面上互不相同的，或者互不聯(lián)系的事物中，看出存在一般性的能力）；心理過程的靈活性；力求找出最簡(jiǎn)潔明了的解題方法；對(duì)一般化的關(guān)系、推理的模式和解答典型問題的方法有良好的記憶力；推理過程的縮短和減少推理的個(gè)別環(huán)節(jié)；對(duì)周圍環(huán)境有一個(gè)初級(jí)形式的“數(shù)學(xué)”直覺——許多事物或現(xiàn)象似乎都是透過數(shù)學(xué)關(guān)系的棱鏡折射出來的。有數(shù)學(xué)才能的兒童，在他們的童年的早期就可以看出，他們解題時(shí)，對(duì)視覺—形象與言語—邏輯這兩種智力活動(dòng)的成分的依賴程度是不同的。他們之間存在著類型上的差異。62有關(guān)數(shù)學(xué)天才兒童的初步結(jié)論數(shù)學(xué)才能在童年早期就能形成，其63陶哲軒:一個(gè)華裔數(shù)學(xué)天才的傳奇2006菲爾茲獎(jiǎng)（數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)）的一個(gè)顯著特點(diǎn)是，四位獲獎(jiǎng)?wù)咧械膬晌?，俄羅斯的佩雷爾曼和澳大利亞的陶哲軒，均為昔日奧數(shù)金牌得主。相形之下，中國(guó)雖然也有不少奧數(shù)獎(jiǎng)牌得主，卻沒有人能夠取得像他們那樣的杰出成就，有些人甚至遠(yuǎn)離了數(shù)學(xué)。這是一個(gè)值得思考的問題。南方周末7歲開始自學(xué)微積分，8歲半升入中學(xué)，12歲獲得奧數(shù)金牌，20歲獲得普林斯頓大學(xué)博士學(xué)位，24歲被洛杉磯加州大學(xué)聘為正教授，31歲獲得菲爾茲獎(jiǎng)。他就像莫扎特，數(shù)學(xué)是從他身體中流淌出來的……研究天才教育的新南威爾士大學(xué)教授米那卡·格羅斯（MiracaGross）在陶哲軒11歲時(shí)出版的一篇論文中寫道，陶哲軒的智力明顯超過班上其他孩子，但他不知道怎么與那些比自己大兩歲的孩子相處，而學(xué)校的老師面對(duì)這種狀況也束手無策。63陶哲軒:一個(gè)華裔數(shù)學(xué)天才的傳奇2006菲爾茲獎(jiǎng)（數(shù)學(xué)界的642.好、中、差三類學(xué)生的差異性研究克魯切茨基的研究：根據(jù)能力結(jié)構(gòu)分析三類學(xué)生的差異匈菲爾德的研究：專家—新手的對(duì)比分析青浦實(shí)驗(yàn)：幾何能力差異性研究一個(gè)假設(shè)：典型例題新問題化歸（策略）差生優(yōu)生中等生642.好、中、差三類學(xué)生的差異性研究克魯切茨基的研究：根65IV.高等數(shù)學(xué)思維研究65IV.高等數(shù)學(xué)思維研究66英國(guó)沃瑞克大學(xué)（WarwickUniversity）ModernRecordsCentre

UniversityofWarwickLibrary

CoventryCV47AL66英國(guó)沃瑞克大學(xué)（WarwickUniversity）67一、斯根普的工作March10,1919–June22,199567一、斯根普的工作March10,1919–Jun68代表作ThePsychologyofLearningMathematics(1971)

inseveraldifferentversionsIntelligenceLearningandAction(1979)MathematicsinthePrimarySchoolUnderstandingMathematics(aseriesoftext-booksforsecondardschool)StructuredActivitiesinIntelligentLearning(aseriesforPrimarySchool).Furtherinformationabouttheseandotherpublicationswillappearshortly.InstrumentalUnderstandingandRelationalUnderstanding

TheSilentMusicofMathematics

TheoreticalFoundationsofProblem-Solving:APositionPaper(1993)著作論文68代表作ThePsychologyofLearnin69對(duì)斯根普的工作的評(píng)價(jià)斯根普（RichardSkemp）可以稱得上是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的先驅(qū)之一。在2002年出版的一本紀(jì)念斯根普的著作中，作為主編的韜爾與托馬斯（MichaelThomas）在序言中寫道：“理查德?斯根普是數(shù)學(xué)教育中的獨(dú)一無二的人物——他是廣大教師和教育者的一個(gè)思想先知，他們從他的工作中獲得了啟示；他也是創(chuàng)建國(guó)際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)協(xié)作組（InternationalGroupforthePsychologyofMathematicsEducation）的精神領(lǐng)袖。

“他走進(jìn)的是一片空地，留下的卻是偉大的建筑?！?/p>

（Sfard,2002）69對(duì)斯根普的工作的評(píng)價(jià)斯根普（RichardSkem70工具性理解與關(guān)系性理解

前者是指“只管公式，不管理由”，而后者則“不僅知道要做什么，而且知道理由”。70工具性理解與關(guān)系性理解前者是指“只管公式，不管理由”71工具性數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn)工具性數(shù)學(xué)一般比較容易理解。有些課題，如兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘，或分?jǐn)?shù)相除，很難從關(guān)系上去理解?！柏?fù)負(fù)得正”以及“除以分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”是很容易記住的規(guī)則，但不易解釋其原因。如果想要的是正確的答案，工具性數(shù)學(xué)可以快速而輕易的提供。教學(xué)的效果立竿見影，而且更明顯。首先，學(xué)生如果能夠迅速地得出正確的答案，當(dāng)然是一件好事；其次，我們不能低估學(xué)生從中得到成功感受的重要性。在調(diào)查中，斯根普經(jīng)常聽到學(xué)生說自己是“笨蛋”，老師也這樣說這些學(xué)生。這使他很難受，他覺得，對(duì)這些學(xué)生來說，最重要的是需要成功的體驗(yàn)來恢復(fù)自信心，而在工具性數(shù)學(xué)上，將比在關(guān)系性數(shù)學(xué)上更容易獲得成功。由于比起關(guān)系性數(shù)學(xué)來牽涉的知識(shí)較少，因此，用工具性數(shù)學(xué)思考，可以更快速而且可靠的得到正確答案。以至于一些數(shù)學(xué)家也常運(yùn)用機(jī)械式數(shù)學(xué)思考。71工具性數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn)工具性數(shù)學(xué)一般比較容易理解。有些課題，72關(guān)系性數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn)比較適應(yīng)新的任務(wù)。關(guān)系性理解不僅會(huì)知道那種方法有用而且知道為什么有用，能夠把方法和問題加以關(guān)聯(lián)，而且還可以調(diào)整方法來處理新問題。而工具性理解則需要學(xué)生記住哪些問題可以用哪種方法來解而哪些問題不行，并且對(duì)不同的問題要學(xué)不同的方法。比較容易記住。理解概念間的相互關(guān)系讓人能記得它們是整體的關(guān)聯(lián)部份，就變得比較容易，而且能減少重新學(xué)習(xí)的時(shí)間。關(guān)系性知識(shí)本身可以成為有效的目標(biāo)。這可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，而減低對(duì)外界獎(jiǎng)懲的需要水平。關(guān)系性圖式是一個(gè)高質(zhì)量的有機(jī)體。關(guān)系性理解使人們不滿足于對(duì)已有材料的理解，還會(huì)主動(dòng)去找尋新的材料并探索新的領(lǐng)域。72關(guān)系性數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn)比較適應(yīng)新的任務(wù)。關(guān)系性理解不僅會(huì)知道73理論的發(fā)展在斯根普研究的基礎(chǔ)上，他的學(xué)生赫斯科維斯(N.Herscovics)和維納(S.Vinner)等人進(jìn)一步的提出了工具性、關(guān)系性、直覺性和形式性理解等模式，并進(jìn)行了工具性理解與準(zhǔn)工具性理解的差異性研究。斯根普本人也在1982年將原來的兩種理解模式擴(kuò)充為工具性、邏輯性和符號(hào)性理解三種不同的理解模式，還提出了“直覺與分析”是兩種獲得理解的主要智力活動(dòng)。73理論的發(fā)展在斯根普研究的基礎(chǔ)上，他的學(xué)生赫斯科維斯(N.74與其說他是一位研究者，不如說是一位實(shí)踐者

斯根普不是一位多產(chǎn)的作家，他所公開發(fā)表的有關(guān)數(shù)學(xué)教育的文章只有三篇，但讓他自豪的是這些論著的質(zhì)量。事實(shí)上，他的那篇題為“工具性理解與關(guān)系性理解”的經(jīng)典論文在正式發(fā)表之前已經(jīng)經(jīng)過了幾年的演講與修改。他有兩句經(jīng)常掛在嘴邊的名言：一句是“再好的理論也不如實(shí)踐”；另一句是“最簡(jiǎn)單的理論才是最好的理論”，他認(rèn)為“要把一件簡(jiǎn)單的事情弄復(fù)雜并不難，難的是把復(fù)雜的事情弄簡(jiǎn)單”（Tall&Thomas,2002）。他的這兩句名言很好地反映了他的學(xué)術(shù)態(tài)度，同時(shí)也成為他的弟子們的座右銘。斯根普是一位演講大師，許多人都從他的演講中獲得過靈感。74與其說他是一位研究者，不如說是一位實(shí)踐者斯根75二、DavidTall等人的主要研究成果http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/75二、DavidTall等人的主要研究成果http://76代表作截至到2005年，有他署名的各類著作與教材達(dá)35部，其中包括著名的《高等數(shù)學(xué)思維》（Tall,1991）和《智力、學(xué)習(xí)與理解》（Tall&Thomas,2002）；在各類學(xué)術(shù)期刊或國(guó)際會(huì)議（主要是PME）上發(fā)表論文近250篇；指導(dǎo)了近30名數(shù)學(xué)教育方向的博士生；編制了大量的計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)軟件。更令人稱奇的是，他還是一位造詣?lì)H高的作曲家，發(fā)表了近30篇音樂方面的文章和曲譜。76代表作截至到2005年，有他署名的各類著作與教材達(dá)3577理論的形成人類三種最基本的認(rèn)知活動(dòng)是“感知”、“行動(dòng)”與“反思”，因此，有關(guān)學(xué)習(xí)的理論都離不開這些認(rèn)知活動(dòng)的研究。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理領(lǐng)域也是如此，其中的一些研究者側(cè)重于對(duì)各種數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的特征或者過程的剖析（如斯根普的行為圖式），還有一些則嘗試把各種活動(dòng)組合成一個(gè)特殊的序列，從而形成教學(xué)的模式（如杜賓斯基的APOS理論，范希爾理論）77理論的形成人類三種最基本的認(rèn)知活動(dòng)是“感知”、“行動(dòng)”78三種不同的數(shù)學(xué)認(rèn)知（Tall,1995）78三種不同的數(shù)學(xué)認(rèn)知（Tall,1995）79數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一個(gè)基本框架79數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一個(gè)基本框架80認(rèn)知根源認(rèn)知根源（CognitiveRoot）的概念最初是DavidTall在一篇談?wù)摗案拍畋硐蟆?、“一般組織者”及計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的文章中提出的，當(dāng)時(shí)的定義是“一個(gè)學(xué)習(xí)者容易理解、又可以作為整個(gè)理論基礎(chǔ)的拋錨式概念”。上述說法后來經(jīng)過了幾次修改，特別是在提出“認(rèn)知單元”的概念之后，DavidTall開始把認(rèn)知根源作為認(rèn)知單元的一個(gè)特別類型，其基本特征是：對(duì)某個(gè)學(xué)習(xí)序列的初學(xué)者來說是一個(gè)意義豐富的核心知識(shí)的認(rèn)知單元；可以在這個(gè)認(rèn)知單元的基礎(chǔ)上通過一些認(rèn)知擴(kuò)充策略得到初步的發(fā)展而不必進(jìn)行認(rèn)知的重構(gòu)；在后繼的發(fā)展中具有長(zhǎng)期的意義；在發(fā)展更復(fù)雜的理解時(shí)仍具有重要的作用。80認(rèn)知根源認(rèn)知根源（CognitiveRoot）的概念最81過程與概念

過程（process）與概念（concept）是學(xué)習(xí)理論中的兩個(gè)基本概念，但在數(shù)學(xué)中，人們發(fā)現(xiàn)，同一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)常常具有雙重的意義：既可以作為過程，也可以作為概念（Gray&Tall,1991;1994;Sfard,1989;1991）。例如，符號(hào)“3＋2”就可以同時(shí)看作為一個(gè)（加法）過程，與一個(gè)（和）的概念。為了把這種概念與其它概念區(qū)別開來，格雷（EddieGray）與韜爾各取了“process”（過程）和“concept”（概念）的一部分而造出了一個(gè)新詞“procept”。81過程與概念過程（process）與概82具有過程與概念兩重性的數(shù)學(xué)符號(hào)82具有過程與概念兩重性的數(shù)學(xué)符號(hào)83過程性概念的發(fā)展83過程性概念的發(fā)展84數(shù)學(xué)中不同類型的過程與概念84數(shù)學(xué)中不同類型的過程與概念85數(shù)學(xué)的三個(gè)世界85數(shù)學(xué)的三個(gè)世界86需要進(jìn)一步研究的問題數(shù)學(xué)認(rèn)知單元是如何“壓縮”的？

過程性概念的教學(xué)有什么特點(diǎn)？

如何用“三個(gè)世界”理論去分析數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知發(fā)展過程？

初等數(shù)學(xué)思維是如何向高等數(shù)學(xué)思維過渡的？

如何診斷學(xué)生的數(shù)學(xué)思維？

高等數(shù)學(xué)思維與高層次數(shù)學(xué)思維有什么聯(lián)系與區(qū)別？

計(jì)算機(jī)對(duì)高等數(shù)學(xué)思維有什么影響？

86需要進(jìn)一步研究的問題數(shù)學(xué)認(rèn)知單元是如何“壓縮”的？87V.ACT-R理論87V.ACT-R理論88JohnR.AndersonDepartmentofPsychology

CarnegieMellonUniversity

Pittsburgh,PA15213

Telephone:(412)268-2788

Facsimile:(412)268-2844

E-Mail:ja+@88JohnR.AndersonDepartment89什么是ACT-R理論？ACT-R之所以被稱為“學(xué)習(xí)與認(rèn)知的簡(jiǎn)單理論”，是因?yàn)樗囊粋€(gè)基本觀點(diǎn)是：復(fù)雜認(rèn)知是由相對(duì)簡(jiǎn)單的知識(shí)單元（knowledgeunits）所組成的，而這些知識(shí)單元?jiǎng)t是通過相對(duì)簡(jiǎn)單的原理（principles）而獲得的。人類的認(rèn)知活動(dòng)的復(fù)雜性表現(xiàn)在基本元素和原理的復(fù)雜組合上，就像計(jì)算機(jī)通過簡(jiǎn)單的（二進(jìn)制）運(yùn)算可以完成復(fù)雜的任務(wù)一樣。

89什么是ACT-R理論？ACT-R之所以被稱為“學(xué)習(xí)與認(rèn)知90ACT-R的各種版本Predecessor HAM (Anderson&Bower1973)Theoryversions ACT-E (Anderson,1976)

ACT* (Anderson,1978)

ACT-R (Anderson,1993)

ACT-R4.0 (Anderson&Lebiere,1998)Implementations

GRAPES (Sauers&Farrell,1982)

PUPS (Anderson&Thompson,1989) ACT-R2.0 (Lebiere&Kushmerick,1993) ACT-R3.0 ACT-R4.0 (Lebiere,1998)

ACT-R/PM (Byrne,1998)90ACT-R的各種版本Predecessor HAM 91ACT-R理論的生理基礎(chǔ)91ACT-R理論的生理基礎(chǔ)92ACR-R理論實(shí)際上基于三個(gè)簡(jiǎn)單的二分法兩類知識(shí)：關(guān)于事實(shí)的陳述性知識(shí)（declarativeknowledge）和關(guān)于如何完成各種認(rèn)知活動(dòng)的程序性知識(shí)（proceduralknowledge）；兩個(gè)假設(shè)：關(guān)于ACT-R如何運(yùn)用已有知識(shí)去解決問題的操作假設(shè)(performanceassumptions)和關(guān)于如何獲得新知識(shí)的學(xué)習(xí)假設(shè)(learningassumptions)；兩個(gè)水平：有關(guān)離散知識(shí)結(jié)構(gòu)的符號(hào)水平(symboliclevel)和有關(guān)神經(jīng)系統(tǒng)激活過程的亞符號(hào)水平(sub-symboliclevel)，這一水平?jīng)Q定符號(hào)結(jié)構(gòu)的可用狀態(tài)。92ACR-R理論實(shí)際上基于三個(gè)簡(jiǎn)單的二分法兩類知識(shí)：關(guān)于事93兩類知識(shí)陳述性知識(shí)（declarativeknowledge）：是指那些人們知道并可以表達(dá)的真實(shí)信息。在ACT-R中，陳述性知識(shí)表征為一些小的原始知識(shí)單元的網(wǎng)路，稱為信息塊，例如，下面的圖1表示由加法事實(shí)“3+4=7”及一些相關(guān)事實(shí)組成的信息塊（編碼）程序性知識(shí)是指用于提取陳述性信息塊的規(guī)則性單元，稱為產(chǎn)生式（productions）。一個(gè)產(chǎn)生式規(guī)則（productionrules）就是一個(gè)“條件——反應(yīng)”的單元，即針對(duì)特定的問題解決條件采取特定的認(rèn)知操作。在產(chǎn)生式系統(tǒng)中，典型的思維流程就是一系列的產(chǎn)生式被“觸發(fā)”（在ACT-R理論中，用“fire”來表示）的過程。93兩類知識(shí)陳述性知識(shí)（declarativeknowl94陳述性知識(shí)的獲得陳述性信息塊的獲得有兩條途徑：通過環(huán)境信息的編碼；對(duì)先前操作結(jié)果的儲(chǔ)存。

也就是說，ACT-R認(rèn)為，陳述性知識(shí)的獲得不外乎是兩種模式：一種是被動(dòng)的、接受式的（源自環(huán)境的編碼）；一種是主動(dòng)的、建構(gòu)式的（先前心理操作結(jié)果的儲(chǔ)存）。這兩種模式都有優(yōu)勢(shì)與不足。被動(dòng)接受的優(yōu)勢(shì)是效率（efficiency）與準(zhǔn)確性（accuracy），閱讀3+4的結(jié)果比計(jì)算更容易，而且也不會(huì)有算錯(cuò)的危險(xiǎn)。但另一方面，通過練習(xí)獲得的知識(shí)不僅儲(chǔ)存了結(jié)果目標(biāo)，還附帶儲(chǔ)存了相關(guān)的策略，便于回憶失敗時(shí)運(yùn)用。

94陳述性知識(shí)的獲得陳述性信息塊的獲得有兩條途徑：也就是說，95研究與思考研究：大量的實(shí)驗(yàn)表明，上述兩種模式在記憶上并沒有實(shí)質(zhì)的區(qū)別，實(shí)際上，自我探究知識(shí)的附帶信息并不總是有的，即使有，也往往是難以捉摸的，只有當(dāng)探究過程中產(chǎn)生了多種信息提取途徑時(shí)，這種附帶信息才是有用的，因此，自我探究的知識(shí)并沒有什么神奇的特征。在相同的條件下，我們當(dāng)然選擇通過自我探究的模式去獲得知識(shí)，但實(shí)際上，由于自我探究的困難及誤入歧途的危險(xiǎn)，我們更主張把知識(shí)告訴學(xué)生。

思考：對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的新認(rèn)識(shí)：只有當(dāng)學(xué)生的錯(cuò)誤成為一個(gè)“教學(xué)點(diǎn)”時(shí)，這個(gè)錯(cuò)誤對(duì)他才是有益的，否則，學(xué)生的錯(cuò)誤也可能會(huì)積少成多，而成為一種習(xí)慣（老毛病），特別在大班教學(xué)情況下，學(xué)生的錯(cuò)誤并不總是能夠及時(shí)糾正，因此，要盡可能的少犯錯(cuò)誤，較少的錯(cuò)誤才會(huì)引起較多的關(guān)注。95研究與思考研究：大量的實(shí)驗(yàn)表明，上述兩種模式在記憶上并沒96程序性知識(shí)的獲得

在ACT-R理論中，產(chǎn)生式規(guī)則的獲得主要依靠類比（analogy）的過程。類比要發(fā)生作用有兩個(gè)前提：有一個(gè)解決某個(gè)目標(biāo)的情境，及一個(gè)解決類似目標(biāo)的范例。例如，在加法的產(chǎn)生式中，學(xué)習(xí)者首先必須有解決一個(gè)加法問題的意愿，同時(shí)，還需要一個(gè)已經(jīng)獲得的樣例（如4+5）。在這種情況下，ACT-R類比機(jī)制會(huì)從樣例中抽象出原理，進(jìn)而形成用于當(dāng)前情境的產(chǎn)生式規(guī)則，新的產(chǎn)生式規(guī)則一旦形成，又可以用于其它的情境。也就是說，按照ACT-R理論，程序性技能是在參照老問題去解決新問題的過程中獲得的。因此，這一理論實(shí)際上是“做中學(xué)”（learningbydoing）和“范例學(xué)習(xí)”（learningbyexample）的理論。

96程序性知識(shí)的獲得在ACT-R理論中，產(chǎn)生式規(guī)則的97程序性知識(shí)獲得的三個(gè)階段陳述性階段。學(xué)習(xí)者獲得有關(guān)步驟或程序的陳述性知識(shí)。比如陳述分?jǐn)?shù)加法的規(guī)則或者能夠描述在駕駛汽車時(shí)該如何換檔。在此階段，學(xué)習(xí)者對(duì)活動(dòng)的完成是非常艱辛的，需要逐條記憶每一項(xiàng)規(guī)則，并緩慢地操作每一步驟。聯(lián)合階段。在這一階段，學(xué)習(xí)者仍需思考各個(gè)步驟的規(guī)則，但經(jīng)過練習(xí)和接收到的反饋，學(xué)習(xí)者已能將各個(gè)步驟聯(lián)合起來，流暢地完成有關(guān)的活動(dòng)自動(dòng)化階段。隨著進(jìn)一步的練習(xí)，學(xué)習(xí)者最終進(jìn)入自動(dòng)化階段。在此階段，學(xué)習(xí)者常常無需意識(shí)的控制或努力就能夠自動(dòng)完成有關(guān)的活動(dòng)步驟。例如，一個(gè)人在開車時(shí)可以一邊說話，一邊流利地?fù)Q擋，在交通擁擠的路面上連續(xù)地改變方向；或者一個(gè)學(xué)生不用想著分?jǐn)?shù)加法的各項(xiàng)規(guī)則就能快速準(zhǔn)確地計(jì)算分?jǐn)?shù)加法題，表明他們已達(dá)到自動(dòng)化階段，即獲得了有關(guān)的程序性知識(shí)或技能。

安德森（J.Anderson,1990)和加涅(E.Gagneetal.,1993)97程序性知識(shí)獲得的三個(gè)階段陳述性階段。學(xué)習(xí)者獲得有關(guān)步驟或98從雙基看兩類知識(shí)ACT-R對(duì)知識(shí)的分類陳述性知識(shí)策略性知識(shí)程序性知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)基本技能雙基典型例題兩個(gè)需要探討的問題：陳述性知識(shí)=基礎(chǔ)知識(shí)？程序性知識(shí)=基本技能？典型例題在雙基教學(xué)中的作用是什么？98從雙基看兩類知識(shí)ACT-R對(duì)知識(shí)的分類陳述性知識(shí)策略性知99結(jié)論1：練習(xí)是掌握雙基的必由之路ACT-R對(duì)教學(xué)的建議，那就是練習(xí)、練習(xí)、再練習(xí)。實(shí)際上，并非只有ACT-R一家“拍賣”這個(gè)主張，大量的研究都表明，高層次的能力只能通過高強(qiáng)度的練習(xí)。特別地，研究表明，學(xué)生花在數(shù)學(xué)上的時(shí)間與他們的數(shù)學(xué)能力有很高的相關(guān)性。許多國(guó)際比較研究也都表明，美國(guó)學(xué)生數(shù)學(xué)表現(xiàn)糟糕的一個(gè)重要原因是他們花在數(shù)學(xué)上的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如亞洲的學(xué)生（StiglerandPerry，1990；White,1987）。

Ericsson等人的研究表明，不同的練習(xí)的效果是不一樣的，而只有所謂的“精致的練習(xí)”（deliberatepractice）才能導(dǎo)致真正的學(xué)習(xí)。他們把“精致的練習(xí)”界定為具有良好的動(dòng)機(jī)、接受有意義的反饋、及仔細(xì)的不斷的指導(dǎo)與監(jiān)督。

99結(jié)論1：練習(xí)是掌握雙基的必由之路ACT-R對(duì)教學(xué)100通過反復(fù)練習(xí)才能牢固掌握技能單純擁有符號(hào)性知識(shí)并不等于能夠成功地運(yùn)用。知識(shí)的運(yùn)用還依賴一系列的激活程序。AndersonandFincham

(1994)andAnderson,Fincham,andDouglass(inpress)研究了產(chǎn)生式規(guī)則如何通過練習(xí)而逐漸生效的過程，他們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)規(guī)則在練習(xí)了40次左右后變得穩(wěn)定和可靠。

下面的公式描述了練習(xí)、遺忘和倍乘關(guān)系的指數(shù)律。

表現(xiàn)

=ANcT-d

（表現(xiàn)方程）其中，N是練習(xí)的總量，T是保持的時(shí)間間隔，兩個(gè)因素的倍乘關(guān)系意味著增加練習(xí)可以彌補(bǔ)時(shí)間造成的記憶衰減（相關(guān)實(shí)驗(yàn)見Anderson,1995a）。

100通過反復(fù)練習(xí)才能牢固掌握技能單純擁有符號(hào)性知識(shí)并不等于101結(jié)論2：典型例題在雙基教學(xué)中的作用一是影響范例的選擇。在已有的產(chǎn)生式不能解決當(dāng)前的問題時(shí)，ACT-R會(huì)搜尋先前的解決類似問題的范例。顯然，在這個(gè)過程中，當(dāng)前的任務(wù)及先前范例的表征方式都會(huì)對(duì)選擇哪個(gè)范例產(chǎn)生影響。二是范例的理解深度會(huì)影響到由類比而形成的產(chǎn)生式。例如，在豎式減法中，8-3=5既可以理解為“上面的數(shù)字減去下面的數(shù)字”，也可以理解為“大的數(shù)字減去小的數(shù)字”。只有前者才能形成正確的產(chǎn)生式。上述兩個(gè)因素都說明了樣例在教學(xué)中的重要性。Chi,Bassok,Lewis,Reimann,andGlaser等人（1989）的研究表明，一個(gè)好的學(xué)習(xí)者往往更關(guān)注樣例，總是努力去理解樣例。范例對(duì)問題解決的影響：101結(jié)論2：典型例題在雙基教學(xué)中的作用一是影響范例的選擇。102結(jié)論3：為什么熟能生巧？技能錯(cuò)誤的技能正確的技能錯(cuò)誤的方法正確的方法熟能生巧熟能生笨熟能生厭熟練熟練熟練----ACT-R對(duì)“熟能生巧”的解釋----102結(jié)論3：為什么熟能生巧？技能錯(cuò)誤的技能正確的技能錯(cuò)誤的103改進(jìn)雙基教學(xué)BigIdeas數(shù)學(xué)雙基創(chuàng)造典型例題聚焦BigIdeas探究教學(xué)降低技巧精致練習(xí)103改進(jìn)雙基教學(xué)BigIdeas數(shù)學(xué)雙基創(chuàng)造典型例題聚焦104VI.APOS理論104VI.APOS理論105EdDubinsky/~edd/publications.htmlProfessor,

GeorgiaStateUniversity

1996-00

VisitingProfessor,

KentStateUniversity

2000-edd@

數(shù)學(xué)是困難的，不管用什么教學(xué)方法都無法改變這個(gè)事實(shí)。所以，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上，我們必須抱持一種欣賞的心態(tài)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，只有這樣才能逐漸發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。EDDubinsky105EdDubinskyhttp://www.math106簡(jiǎn)介

和DavidTall一樣，杜賓斯基（EdDubinsky）也是一位數(shù)學(xué)家，直到80年代末期才開始從事數(shù)學(xué)教育的研究，而他的關(guān)于APOS的文章（Dubinsky,1991）也最早出現(xiàn)在由韜爾主編的《高等數(shù)學(xué)思維》（Tall,1991）上。按照杜賓斯基自己的說法，APOS理論是對(duì)皮亞杰的反思性抽象（Reflectiveabstraction）的一種擴(kuò)展。其中的四個(gè)字母分別表示理解數(shù)學(xué)概念（特別是抽象數(shù)學(xué)概念）的四個(gè)階段：

A—Action(活動(dòng))，

P—Process(過程)，

O—Object(對(duì)象)，

S—Schema（圖式）。106簡(jiǎn)介和DavidTall一樣，杜賓斯基107大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究小組（RUMEC）RUMEC研究的三個(gè)基本環(huán)節(jié)：對(duì)某個(gè)特定數(shù)學(xué)概念的理論分析；在理論分析的基礎(chǔ)上發(fā)展和應(yīng)用一系列的教學(xué)設(shè)計(jì)（其中包括一些非標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)策略如合作學(xué)習(xí)、計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)等）；收集和分析測(cè)試的數(shù)據(jù)以便修改原先的理論分析和教學(xué)設(shè)計(jì)。107大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究小組（RUMEC）RUMEC研究的三108APOS理論的應(yīng)用APOS理論有兩個(gè)方面的作用：提供有效的教學(xué)設(shè)計(jì)。例如，Asialaetal.(1997)和Repo(1996)都發(fā)現(xiàn)，利用APOS理論設(shè)計(jì)的微積分課程顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的課程。用于分析學(xué)生的理解。例如，SantosandThomas(2003)構(gòu)建了一個(gè)微積分知識(shí)的表征框架，在這個(gè)框架中，他們把符號(hào)表征、圖像表征和數(shù)表征進(jìn)一步劃分為以下幾個(gè)類型：程序定向的（procedure-oriented）、過程定向的（process-oriented）、對(duì)象定向的（object-oriented）和概念定向的（concept-oriented）。108APOS理論的應(yīng)用APOS理論有兩個(gè)方面的作用：109結(jié)束語構(gòu)建符合中國(guó)學(xué)生特點(diǎn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論！baojiansheng@109結(jié)束語構(gòu)建符合中國(guó)學(xué)生特點(diǎn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論！baoji110謝謝！110謝謝！數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理論探討數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理論探討112前言：教師成為研究者 20世紀(jì)80年代以來，教師教育出現(xiàn)了一種“反思性轉(zhuǎn)向”。以美國(guó)為開端，關(guān)于反思的討論迅速在教師教育界興起。這種討論的結(jié)果就是形成了“教師即研究者”（Elliott，1990）的理念，也就是說，教師不應(yīng)只是別人研究成果的消費(fèi)者，更應(yīng)是研究者。教師即技師（Teacherastechnician）教師即研究者（Teacherasresearcher）2前言：教師成為研究者 20世紀(jì)80年代以來，教師教育出現(xiàn)了113一、教師成為研究者是教師專業(yè)發(fā)展的需要

“教師成為研究者”有利于教師去發(fā)現(xiàn)和解決發(fā)生在自己課室中的教學(xué)問題，或是教育上的問題，進(jìn)而改進(jìn)教學(xué)以及提升教育質(zhì)量?！把芯空摺迸c“教師”看問題的視角往往是不一樣的，“教師成為研究者”有利于促進(jìn)教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的理解。“學(xué)”是“教”的前提，只有理解了學(xué)生是怎么學(xué)的，教學(xué)才能對(duì)癥下藥。在理解學(xué)生的學(xué)習(xí)方面，教師的經(jīng)驗(yàn)固然重要，但由于學(xué)習(xí)行為是一種復(fù)雜的心理活動(dòng)，因此，單純的經(jīng)驗(yàn)有時(shí)也會(huì)將教學(xué)引入歧途?！敖處煶蔀檠芯空摺庇兄诖龠M(jìn)教師之間、教師與專業(yè)研究人員之間、以及教師與其它行業(yè)之間的合作與交流。教師的經(jīng)驗(yàn)由于帶有太多的個(gè)性，一旦脫離了具體的情境，就難以被別人理解與借鑒，只有通過研究，將經(jīng)驗(yàn)提升為一種帶有共性的東西，才可能跨越時(shí)空和行業(yè)的界線。3一、教師成為研究者是教師專業(yè)發(fā)展的需要“教師成為研究者”114二、教師成為研究者是課程改革的需要

數(shù)學(xué)新課程的實(shí)施，帶來了許多新的東西，如：新的教學(xué)理念，新的教學(xué)方法，新的教學(xué)內(nèi)容，以及傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容的新的處理。隨之而來的則是一些新的問題和老師們的種種困惑：如何看待我國(guó)的雙基教學(xué)？傳統(tǒng)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)是不是不適用啦？什么是數(shù)學(xué)探究？如何評(píng)價(jià)教學(xué)的有效性？等等。為了解除困惑，老師們常常把目光轉(zhuǎn)向?qū)＜液屠碚摚麄兂３Ｓ謺?huì)發(fā)現(xiàn)，專家們的觀點(diǎn)似乎并不一致，理論也似乎沒有定論。于是，又形成了新的困惑。無怪乎，臺(tái)灣的報(bào)紙用三個(gè)字來概括實(shí)施（臺(tái)灣地區(qū)）新課程后老師們的心情，那就是：“忙、盲、?！薄?要改變這種現(xiàn)象，“教師成為研究者”至關(guān)重要。因?yàn)槊鎸?duì)新的情境，老的經(jīng)驗(yàn)往往并不適用。只有采取研究的態(tài)度，才能透過表面的現(xiàn)象看清本質(zhì)的東西，從而提高教師的洞察力和鑒別力，而不至于像墻頭草那樣，風(fēng)吹兩面倒。4二、教師成為研究者是課程改革的需要 數(shù)學(xué)新課程的實(shí)施，帶115三、研究風(fēng)格的轉(zhuǎn)變自上而下（演繹法）→自下而上（歸納法）定性研究→定量研究→定性研究（質(zhì)的研究）教育學(xué)方法（望遠(yuǎn)鏡）→心理學(xué)方法（顯微鏡）→數(shù)學(xué)教育研究方法（？）理論研究（改變理論）→實(shí)證研究（檢驗(yàn)假設(shè)）→行動(dòng)研究（改變行為）象牙塔（獨(dú)立研究）→課堂（合作研究）基于書面資料（博覽群書）→基于因特網(wǎng)（搜索與鑒別）5三、研究風(fēng)格的轉(zhuǎn)變自上而下（演繹法）→自下而上（歸納法）116四、數(shù)學(xué)教育的基本研究規(guī)范6四、數(shù)學(xué)教育的基本研究規(guī)范117論文的一般格式課題的提出文獻(xiàn)綜述研究方法研究過程結(jié)果與應(yīng)用參考文獻(xiàn)附錄（已有的成果及其與本研究的聯(lián)系）（起因與意義）（取樣，問卷，測(cè)試卷等及其信度和效度，包括反應(yīng)率）7論文的一般格式課題的提出文獻(xiàn)綜述研究方法研究過程結(jié)果與應(yīng)用118五、幾點(diǎn)建議8五、幾點(diǎn)建議119選擇一個(gè)適合自己的研究方向

數(shù)學(xué)教育涉及的研究領(lǐng)域和方向很多，教師的工作又比較繁忙，不可能關(guān)注數(shù)學(xué)教育研究的方方面面，因此，首先要選擇一個(gè)適合自己的研究方向，作為自己的立足之地，然后安營(yíng)扎寨，踏踏實(shí)實(shí)地做一點(diǎn)自己的東西。現(xiàn)在學(xué)術(shù)界的新觀點(diǎn)、新口號(hào)很多，但筆者以為，做研究不能趕潮流，因?yàn)橐I(lǐng)潮流的畢竟只有極少數(shù)的人，大多數(shù)只能隨波逐流，容易迷失方向。大約在7年前，筆者因?yàn)槌鰢?guó)訪學(xué)的事，羅列了自己的一些研究成果去拜訪張奠宙先生。先生的評(píng)價(jià)是：你的研究只是東一榔頭