【完整版】《復(fù)變函數(shù)》課程實施大綱2（含具體章節(jié)課程安排內(nèi)容）

PAGE復(fù)變函數(shù)課程實施大綱目錄1．教學(xué)理念 11.1關(guān)注學(xué)生的發(fā)展 11.2關(guān)注教學(xué)的有效性 11.3關(guān)注教學(xué)的策略 11.4關(guān)注教學(xué)價值觀 12．課程介紹 12.1課程的性質(zhì) 12.2課程在學(xué)科專業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位、作用 12.3課程的前沿及發(fā)展趨勢 12.4學(xué)習(xí)本課程的必要性 23．教師簡介 23.1教師的職稱、學(xué)歷 23.2教育背景 23.3研究興趣（方向） 24．先修課程 25．課程目標(biāo) 25.1知識與技能方面 25.2過程與方法方面 25.3情感、態(tài)度與價值觀方面 26．課程內(nèi)容 36.1課程的內(nèi)容概要 36.2教學(xué)重點、難點、學(xué)時安排 47.課程教學(xué)實施 67.1教學(xué)單元一 67.2教學(xué)單元二 107.3教學(xué)單元三 127.4教學(xué)單元四 157.5教學(xué)單元五 187.6教學(xué)單元六 197.7教學(xué)單元七 227.8教學(xué)單元八 257.9教學(xué)單元九 287.10教學(xué)單元十 337.11教學(xué)單元十一 367.12教學(xué)單元十二 397.13教學(xué)單元十三 427.14教學(xué)單元十四 477.15教學(xué)單元十五 497.16教學(xué)單元十六 547.17教學(xué)單元十七 588．課程要求 639．課程考核方式及評分規(guī)程 6310．學(xué)術(shù)誠信規(guī)定 6311．課堂規(guī)范 6312．課程資源 6413．教學(xué)契約 6514．其他說明 65PAGE651．教學(xué)理念1.1關(guān)注學(xué)生的發(fā)展核心理念是為了每一位學(xué)生的發(fā)展,這包含著三層涵義:一是課程要著眼于學(xué)生的發(fā)展,這是課程價值取向的定位問題。要培養(yǎng)學(xué)生的信息收集和整理能力,發(fā)現(xiàn)問題和思考問題的能力,分析問題和解決問題的能力,終生學(xué)習(xí)和創(chuàng)新的能力以及生存和發(fā)展的能力。1.2關(guān)注教學(xué)的有效性通過教與學(xué)，能激發(fā)學(xué)生的情感，對數(shù)學(xué)知識的熱愛。1.3關(guān)注教學(xué)的策略重基礎(chǔ)，理論聯(lián)系實際，培養(yǎng)邏輯推理能力和計算能力，培養(yǎng)學(xué)生知識的延伸擴展能力。1.4關(guān)注教學(xué)價值觀第一，要完成科學(xué)知識的講授和社會經(jīng)驗的傳遞，發(fā)展學(xué)生智育；第二，要發(fā)展學(xué)生的智能和體能，使學(xué)生形成能力，掌握個人生存和為社會服務(wù)的本領(lǐng)；第三，要重視學(xué)生操作能力、動手能力、實踐能力的培養(yǎng)，在理論和實踐結(jié)合上掌握知識，學(xué)習(xí)技術(shù)，習(xí)得方法；第四，要對學(xué)生進行思想教育，逐步使學(xué)生樹立正確的世界觀、科學(xué)的人生觀、形成良好道德品質(zhì)、行為習(xí)慣，樹立與市場經(jīng)濟相適應(yīng)的思想和品格。2．課程介紹2.1課程的性質(zhì)專業(yè)核心基礎(chǔ)必修課2.2課程在學(xué)科專業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位、作用數(shù)學(xué)是由幾何學(xué)（平面幾何，立體幾何，平面解析幾何，空間解析幾何，射影幾何，非歐幾何，微分幾何等）、代數(shù)學(xué)（初等代數(shù)學(xué)，高等代數(shù)，抽象代數(shù)等）和分析學(xué)（微積分，實分析，復(fù)分析，F(xiàn)ourier分析，調(diào)和分析，逼近理論，實變函數(shù)，泛函分析，測度論，概率論，常微分方程，偏微分方程等）三大的分支組成：《數(shù)學(xué)分析》（《微積分》）是整個分析學(xué)的最重要基礎(chǔ)，具有重大的理論和應(yīng)用價值，后繼理論的發(fā)展研究，都離不開《數(shù)學(xué)分析》的理論知識與方法。《復(fù)變函數(shù)》是在《數(shù)學(xué)分析》的基礎(chǔ)對將來自變量擴展到復(fù)數(shù)域上，介紹復(fù)變函數(shù)的微積分，對學(xué)生創(chuàng)新能力的提高，成為高素質(zhì)可持續(xù)發(fā)展的人才，至關(guān)重要。2.3課程的前沿及發(fā)展趨勢《復(fù)變函數(shù)》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)選修課程，是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程．它的理論和方法，對于數(shù)學(xué)的其他課程，對于物理，力學(xué)，工程技術(shù)中的一些問題，有許多重要的應(yīng)用．通過本課程的教學(xué)，應(yīng)使學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論和方法，獲得獨立地分析和解決某些有關(guān)的理論和實際問題的能力，從而為從事教學(xué)，科研及其他實際工作打好基礎(chǔ)．2.4學(xué)習(xí)本課程的必要性通過本課程的教學(xué)，使學(xué)生微積分知識理論和方法更加完善,更易獲得獨立地分析和解決某些相關(guān)理論和實際問題的能力．3．教師簡介從事微分方程穩(wěn)定性與爆破性方向研究。曾承擔(dān)了本科生課程《數(shù)學(xué)分析》、《常微分方程》、《復(fù)變函數(shù)》、《實變函數(shù)》、《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)》、《分析選講》等課程的教學(xué)任務(wù)。4．先修課程中學(xué)數(shù)學(xué)（初等數(shù)學(xué)），數(shù)學(xué)分析5．課程目標(biāo)5.1知識與技能方面（（1）通過本課程的教學(xué)，使學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)論的基本理論和方法，獲得獨立地分析和解決某些相關(guān)理論和實際問題的能力．為進一步學(xué)習(xí)其他課程，并為將來從事教學(xué)，科研及其他實際工作打好基礎(chǔ)．（2）通過基本概念的正確講解，基本理論的系統(tǒng)闡述，基本運算能力的嚴(yán)格訓(xùn)練，使學(xué)生受到嚴(yán)格的思維訓(xùn)練，為初步掌握數(shù)學(xué)思維方法打下基礎(chǔ)．（3）作為教育方向的專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)在有關(guān)內(nèi)容方面注重高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的提高和指導(dǎo)意義，使學(xué)生在今后的工作中有較高的起點．5.2過程與方法方面通過問題背景引出定義，采用猜測對比等方法引出定理，證明采用分析條件與結(jié)論間關(guān)系，嚴(yán)格推理。計算上注重書寫步驟。5.3情感、態(tài)度與價值觀方面培養(yǎng)學(xué)生對新知識、推廣知識的好奇心和求知欲，培養(yǎng)感悟能力，注意力、記憶力、觀察力、思維力、想象力等，培養(yǎng)良好的個性心理品質(zhì)和自我調(diào)節(jié)控制心理的能力，培養(yǎng)科學(xué)的信念，堅韌的毅力、奮發(fā)的精神等。6．課程內(nèi)容6.1課程的內(nèi)容概要教學(xué)章節(jié)內(nèi)容概要第一章復(fù)數(shù)及復(fù)平面§1復(fù)數(shù)介紹復(fù)數(shù)的定義，代數(shù)表達，四則運算，共軛；復(fù)數(shù)在幾何中的應(yīng)用；§2復(fù)平面上的點集復(fù)平面上的點集的幾個概念§3復(fù)變函數(shù)1．復(fù)變函數(shù)2．復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)§4復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點的幾個概念第二章解析函數(shù)§1解析函數(shù)的概念與柯西-黎曼方程1．復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2．解析函數(shù)及其簡單性質(zhì)3．柯西-黎曼方程4．解析函數(shù)的判定§2初等解析函數(shù)1．指數(shù)函數(shù)2．三角函數(shù)§3初等多值函數(shù)1．根式函數(shù)2．對數(shù)函數(shù)3．一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)4．反三角函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分§1復(fù)積分的概念及簡單性質(zhì)1．復(fù)變函數(shù)積分的定義2．復(fù)變函數(shù)積分的計算問題3．復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)§2柯西積分定理1．柯西積分定理2．柯西積分定理的證明3．不定積分4．柯西積分定理的推廣§3柯西積分公式及其推論1．柯西積分公式2．解析函數(shù)的無窮可微性3．柯西不等式與劉維爾(Liouville)定理4．莫雷拉(M0rera)定理§4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1．調(diào)和函數(shù)的定義2．解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系第四章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示§1復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)1．復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂性2．復(fù)函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性3．解析函數(shù)項級數(shù)§2冪級數(shù)1．冪級數(shù)的斂散性2．冪級數(shù)收斂半經(jīng)3．一般變換下計算二重積分§3復(fù)變函數(shù)的冪級數(shù)展開式1．泰勒定理2．復(fù)變函數(shù)的冪級數(shù)展開式§4解析函數(shù)零點的孤立性與唯一性1．解析函數(shù)零點的孤立性定理2．解析函數(shù)零點的唯一性定理3．最大模原理§5解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展開式1．雙邊冪級數(shù)2．解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展開式3．解析函數(shù)在孤立點鄰域內(nèi)的洛朗(Laurent)展開式第五章留數(shù)定理及其應(yīng)用§1留數(shù)1．留數(shù)的定義與留數(shù)定理2．留數(shù)的求法§2用留數(shù)定理計算實積分用留數(shù)定理計算實積分的方法6.2教學(xué)重點、難點、學(xué)時安排教學(xué)章節(jié)講課學(xué)時自學(xué)學(xué)時教學(xué)重點、難點第一章復(fù)數(shù)及復(fù)平面8學(xué)時4§1復(fù)數(shù)32重點：復(fù)數(shù)的表達形式及選擇難點：輻角§2復(fù)平面上的點集22重點:點集、曲線、區(qū)域等概念§3復(fù)變函數(shù)2重點：復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)的定義與應(yīng)用難點：復(fù)變函數(shù)的極限存在性的判定§4復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點1難點：無窮遠(yuǎn)點第二章解析函數(shù)10學(xué)時5§1解析函數(shù)的概念與柯西-黎曼方程42重點：解析函數(shù)的定義與判定難點：判定定理的證明§2初等解析函數(shù)2重點：初等解析函數(shù)的定義與性質(zhì)§3初等多值函數(shù)43難點：初等多值函數(shù)的解析分支第三章復(fù)變函數(shù)的積分12學(xué)時6§1復(fù)積分的概念及簡單性質(zhì)22重點：復(fù)積分的概念難點:復(fù)積分的計算方法的選擇§2柯西積分定理42重點：柯西積分定理的條件與結(jié)論及其應(yīng)用難點：定理的證明§3柯西積分公式及其推論42重點：柯西積分公式的條件與結(jié)論及其應(yīng)用難點：定理的推廣§4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系2重點：解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用第四章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示8學(xué)時8§1復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)22重點：復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性的判定§2冪級數(shù)22重點：收斂半徑難點：收斂性質(zhì)§3復(fù)變函數(shù)的冪級數(shù)展開式22重點：復(fù)變函數(shù)的冪級數(shù)展開方法§4解析函數(shù)零點的孤立性與唯一性2重點：解析函數(shù)零點的孤立性與唯一性定理的本質(zhì)難點：解析函數(shù)零點的孤立性與唯一性定理的證明§5解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展開式22重點:解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展開式第五章留數(shù)定理及其應(yīng)用5學(xué)時2§1留數(shù)22重點：留數(shù)定理難點：留數(shù)的計算方法§2用留數(shù)定理計算實積分3重點：計算實積分的類型判定7.課程教學(xué)實施7.1教學(xué)單元一7.1.1教學(xué)日期：7.1.2教學(xué)目標(biāo)：理解復(fù)數(shù)的基本概念與表達形式．7.1.3教學(xué)內(nèi)容：第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)——§1復(fù)數(shù)。教學(xué)重點：復(fù)數(shù)的表達形式及選擇．教學(xué)難點：輻角．7.1.4教學(xué)過程：一、復(fù)數(shù)的定義；對于任意兩個實數(shù)，稱或為復(fù)數(shù)。其中分別稱為的實部和虛部，記作當(dāng)時，稱為純虛數(shù)；當(dāng)時，把看作實數(shù).復(fù)數(shù)是實數(shù)的推廣.兩對于復(fù)數(shù)：說明:兩個都退化成實數(shù)（兩個復(fù)數(shù)的虛部同時為零）的復(fù)數(shù)可以比較大??；否則,就不能比較大小.二、復(fù)數(shù)的四則運算與共軛運算；設(shè)兩個復(fù)數(shù)，則（1）兩復(fù)數(shù)的和差:（2）兩復(fù)數(shù)的積:（3）共軛復(fù)數(shù):實部相同而虛部是相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)，即的共軛復(fù)數(shù)（注意其性質(zhì)）（4）兩復(fù)數(shù)的商:三、復(fù)數(shù)與平面上點一一對應(yīng)關(guān)系；任意復(fù)數(shù)都與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)。因此，一個建立了直角坐標(biāo)系的平面可以用來表示復(fù)數(shù)，通常把坐標(biāo)系的橫軸稱為實軸或軸，縱軸稱為虛軸或軸。這種用來表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面。四、復(fù)平面與平面向量的關(guān)系；五、復(fù)數(shù)的模，輻角；1.復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)可以用復(fù)平面上起點為原點，終點為表示該復(fù)數(shù)的點所對應(yīng)的向量來表示。這個向量的長度稱為復(fù)數(shù)的模或絕對值，記作對于復(fù)數(shù)的模，有：2.復(fù)數(shù)的輻角：在復(fù)數(shù)時，以正實軸為始邊，表示的向量為終邊的角的弧度數(shù)稱為復(fù)數(shù)的輻角，記作：注意:任意復(fù)數(shù)有無窮多個輻角。若是復(fù)數(shù)的任一個輻角，則該復(fù)數(shù)的所有輻角其中是任意整數(shù)。時，輻角沒有定義。在應(yīng)用中，為了避免復(fù)數(shù)有無窮多個輻角所帶來的不方便，把的所有輻角中，滿足條件的一個輻角稱為它的輻角主值，記作復(fù)數(shù)輻角主值的確定：（1）坐標(biāo)軸上復(fù)數(shù)的情形；（2）坐標(biāo)象限里復(fù)數(shù)的情形：首先根據(jù)復(fù)數(shù)點所在象限確定輻角主值的范圍，然后通過求解直角三角形求出角.例1求復(fù)數(shù)（復(fù)數(shù)）的實部，虛部和模．解：===故：，又，所以所求模：六、復(fù)數(shù)表達形式；（1）代數(shù)式：（2）三角式：（3）指數(shù)式：（注：不一定是幅角主值）例2求的三角形式和指數(shù)形式解：故三角形式為：指數(shù)形式為例3將復(fù)數(shù)化為指數(shù)形式七、復(fù)數(shù)的乘冪與方根；應(yīng)用時注意復(fù)數(shù)表達形式的選擇。例4求方程的三個根解：（答案：，，）例5對正整數(shù),化簡解：注意到則有八、復(fù)平面在幾何中的應(yīng)用.7.1.5教學(xué)方法：講授法7.1作業(yè)：P41:1,2,6(3),(5);課后反思：1．中學(xué)數(shù)學(xué)中的復(fù)數(shù)與大學(xué)中的復(fù)數(shù)差異。7.1新學(xué)期的打算，怎樣學(xué)好〈〈復(fù)變函數(shù)〉〉？7.1.87.2教學(xué)單元二7.2.1教學(xué)日期：7.2.2教學(xué)目標(biāo)：熟悉復(fù)平面點集的基本概念．7.2.3教學(xué)內(nèi)容：第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)——§2復(fù)平面上的點集。教學(xué)重點：復(fù)平面上點集、曲線、區(qū)域等概念．教學(xué)難點：7.2.4教學(xué)過程：一、平面點集：1.鄰域與去心鄰域鄰域:復(fù)平面上以復(fù)數(shù)點為中心，任意正實數(shù)為半徑的圓內(nèi)部所有點的集合,稱為的鄰域.說明：包括無窮遠(yuǎn)點且滿足的所有點的集合，稱為無窮遠(yuǎn)點的鄰域.去心鄰域:滿足不等式所有點的集合,稱為的空心鄰域.說明：不包括無窮遠(yuǎn)點且滿足的所有點的集合，稱為無窮遠(yuǎn)點的空心鄰域.也表示為.（2）內(nèi)點，聚點，孤立點，邊界點的定義（3）開集、閉集與邊界的定義（4）有界集與無界集的定義（5）區(qū)域與閉域的定義二、平面上的曲線1.連續(xù)曲線定義:如果和是兩個連續(xù)的實變函數(shù)，則稱方程組：表示的一條平面曲線為連續(xù)曲線.平面曲線可以有復(fù)數(shù)表示：2.光滑曲線:對于上述平面曲線，如果在上，和都是連續(xù)的，且對的每一個值，有則稱曲線為光滑的.由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為逐段（分段）光滑曲線.3.簡單曲線:設(shè)是一條連續(xù)曲線，與分別稱為的起點和終點.對于滿足的有則稱為曲線的重點.沒有重點的曲線稱為簡單曲線(或若爾當(dāng)曲線).如果簡單曲線的起點和終點重合，即則稱曲線為簡單閉曲線（自身不相交）.簡單閉曲線的性質(zhì):任意一條簡單閉曲線將復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的點集.(4)單連通域與多連通域的定義:復(fù)平面上的一個區(qū)域，如果在其中任作一條簡單閉曲線，而曲線的內(nèi)部總屬于，就稱為單連通域.一個區(qū)域如果不是單連通域，就稱為多連通域.三.小結(jié)7.2講授法7.2.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：P41:10，P43:1,2課后反思：比較復(fù)平面點集的基本概念與數(shù)學(xué)分析中平面上點集的基本概念的差異。7.2.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析中平面上點集的基本概念7.2.8參考資料7.3教學(xué)單元三7.37.3.2教學(xué)目標(biāo)：熟悉掌握復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)7.3.3教學(xué)內(nèi)容：第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)——§3教學(xué)重點：復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)的定義與應(yīng)用．教學(xué)難點：復(fù)變函數(shù)的極限存在性的判定7.3一、復(fù)變函數(shù)的基本概念1.定義設(shè)復(fù)變函數(shù)定義在的去心鄰域內(nèi),如果對任意給定的存在一確定數(shù)和一正數(shù)使得當(dāng)時，成立則稱為當(dāng)趨向于時的極限.記作2.復(fù)變函數(shù)的表達形式（三種形式）3.復(fù)變函數(shù)的映射關(guān)系例1、試討論復(fù)變函數(shù)將Z平面上的曲線變成平面的什么曲線？解：設(shè),====故，即將Z平面上的圓周變成平面上的圓周二、復(fù)變函數(shù)的極限1定義設(shè)復(fù)變函數(shù)定義在的去心鄰域內(nèi),如果對任意給定的存在一確定數(shù)和一正數(shù)使得當(dāng)時，成立則稱為當(dāng)趨向于時的極限.記作2.復(fù)變函數(shù)的極限與實部和虛部極限的關(guān)系定理1設(shè)則定理的作用在于把復(fù)變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為求兩個二元實變函數(shù)的極限.定理2若存在,則3.存在性判定例2試證明：（）在z=0處無極限證明：設(shè)，，從而，==當(dāng)分別沿和趨于0時，，但分別趨于和1故（）在z=0處無極限三、復(fù)變函數(shù)連續(xù)1.一點連續(xù)的定義如果則稱函數(shù)在點連續(xù).如果在區(qū)域內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù).2.等價定義3.復(fù)變函數(shù)連續(xù)與其實、虛部函數(shù)的連續(xù)性關(guān)系；定理3函數(shù)在連續(xù)在連續(xù).4.復(fù)變函數(shù)在集合上的連續(xù)5.復(fù)變函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)；定理4（1）在一點連續(xù)的兩個函數(shù)的和、差、積、商（分母在點不能為零）在點也連續(xù)（2）如果函數(shù)在點連續(xù)，函數(shù)在連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點連續(xù).重要結(jié)論:所有初等函數(shù)在有定義的點都是連續(xù)的！四、無窮遠(yuǎn)點課堂練習(xí)：作業(yè)12、13五、本章小結(jié)7.3.5教學(xué)方法：講授法，講練結(jié)合7.3.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：P42:11，14課后反思：復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)與數(shù)學(xué)分析中二元函數(shù)的極限、連續(xù)差異7.3.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求復(fù)習(xí)〈數(shù)學(xué)分析〉〉（下冊）介紹的二元函數(shù)的極限、連續(xù)問題7.3.8參考資料7.4教學(xué)單元四7.4.1教學(xué)日期：7.4.2教學(xué)目標(biāo)：理解解析函數(shù)的定義，熟悉掌握解析函數(shù)的判定．7.4.3教學(xué)內(nèi)容：第二章解析函數(shù)——§1解析函數(shù)的概念與柯西-黎曼方程。教學(xué)重點：復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分，解析函數(shù)的定義與判定教學(xué)難點：判定定理的證明．7.4.4教學(xué)過程：一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)復(fù)變函數(shù)定義在區(qū)域內(nèi),是內(nèi)兩點，如果極限存在,則稱在可導(dǎo).這個極限值稱為在導(dǎo)數(shù).記作2.復(fù)變函數(shù)的微分復(fù)變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實變函數(shù)的微分概念完全一致.3.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)可微4.復(fù)變函數(shù)在上的可微性例1、試討論函數(shù)在平面的連續(xù)性與可微性。解：函數(shù)是在平面的連續(xù)的(用定義)設(shè)Z平面上任一點，故在Z平面處處不可微二、解析函數(shù)的概念與性質(zhì)1．解析函數(shù)的概念如果函數(shù)在以及的一個鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱在解析.定理1（1）在同一個點或區(qū)域內(nèi)解析的兩個函數(shù)的和、差、積、商（除去分母為零的點）在該區(qū)域內(nèi)解析.2．奇點的定義函數(shù)不解析的點，但在此點的任意鄰域內(nèi)都有解析點,則此點稱為的奇點3．復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)法則與實函數(shù)求導(dǎo)法則相同4．解析函數(shù)的簡單性質(zhì)(重點介紹)定理2(解析的必要條件)函數(shù)在上解析,則(1)在上存在;(2)在上滿足方程定理3(解析的充要條件)函數(shù)在上解析的充要條件是(1)在上可微;(2)在上滿足方程.且.定理4(解析的充分條件)函數(shù)在上滿足(1)在上存在且連續(xù);(2)在上滿足方程則函數(shù)在上解析例2、試討論函數(shù)的解析性。解：，在整個實平面上可微，且,,由復(fù)變函數(shù)可微性的C.-R.知：只在Z平面上的直線點集上可微，但在Z平面上不解析.例3、試證明：若復(fù)變函數(shù)在區(qū)域Ｄ內(nèi)解析，且在Ｄ內(nèi)有，則在Ｄ內(nèi)為常數(shù)。證明：設(shè)，由在區(qū)域Ｄ內(nèi)解析，從而在實平面區(qū)域D內(nèi)可微且，，=0，從而=0，即：是常函數(shù)。課堂練習(xí)：習(xí)題中選擇1-2題三．小結(jié)7.4.5教學(xué)方法：講練結(jié)合7.4.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：作業(yè)：P90:3,4,6(2)(3),9課后反思：連續(xù)、可導(dǎo)，可微，解析的關(guān)系7.4.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析中連續(xù)、可導(dǎo)，可微的關(guān)系7.4.8參考資料7.5教學(xué)單元五7.5.1教學(xué)日期：7.5.2教學(xué)目標(biāo)：理解初等解析函數(shù)的定義，熟悉掌握初等解析函數(shù)的性質(zhì)。7.5.3教學(xué)內(nèi)容：第二章解析函數(shù)——§2初等解析函數(shù)。教學(xué)重點：初等解析函數(shù)的定義與性質(zhì)．教學(xué)難點：7.5.4教學(xué)過程：已介紹為解析函數(shù)一.指數(shù)函數(shù)1．定義:對任意復(fù)數(shù),則規(guī)定為指數(shù)函數(shù),記作2．指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(注意:與數(shù)學(xué)分析中不一樣的)二.三角函數(shù)(1)定義:對任意復(fù)數(shù),則規(guī)定,分別稱為的正弦函數(shù)和余弦函數(shù).(2)三角函數(shù)的性質(zhì)(注意:與數(shù)學(xué)分析中不一樣的,如周期性:是任意整數(shù).)三.小結(jié)7.5.5教學(xué)方法：講授法7.5.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：P91:10,11,13課后反思：數(shù)學(xué)分析中等基本初等函數(shù)7.5.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求數(shù)學(xué)分析中基本初等函數(shù)與復(fù)函數(shù)中基本初等函數(shù)的差異7.5.8參考資料7.6教學(xué)單元六7.6.1教學(xué)日期：7.6.2教學(xué)目標(biāo)：了解初等多值函數(shù)的概念，掌握根式函數(shù),對數(shù)函數(shù),一般冪函數(shù)和一般指數(shù)函數(shù)的定義與計算.7.6.3教學(xué)內(nèi)容：第二章解析函數(shù)——§3初等多值函數(shù).教學(xué)重點：根式函數(shù),對數(shù)函數(shù),一般冪函數(shù)和一般指數(shù)函數(shù)的定義與計算.教學(xué)難點：根式函數(shù),對數(shù)函數(shù)的解析分支.7.6.4教學(xué)過程：單葉性區(qū)域的定義一.根式函數(shù)1．定義:規(guī)定根式函數(shù)為冪函數(shù)的反函數(shù).2．根式函數(shù)的解析分支例1證明：函數(shù)的每個分支都是可微函數(shù)．設(shè)確定在從原點起沿正實軸割破了的平面上，并且，求之值．解：的第k個分支:，令、，則為的可微函數(shù)，，，，，因此、滿足極坐標(biāo)系下的C-R方程，故函數(shù)的每個分支都是解析函數(shù)。5分支割線為從原點出發(fā)的正實軸，則函數(shù)在沿它割破的平面上就能分出三個單值解析分支：，，由于，所以，則。則又時，，則二、對數(shù)函數(shù)1．定義:規(guī)定對數(shù)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).記作:2．對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對數(shù)函數(shù):由此可知，是無窮多值函數(shù).一般可取對數(shù)主值為這時有3．對數(shù)函數(shù)的解析分支例1求以及相應(yīng)主值。解:主值:例2求解方程解:由課堂練習(xí):(1)函數(shù)的奇點？(2)函數(shù)在圓內(nèi)解析嗎？(3)函數(shù)在單位圓內(nèi)解析？三、一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)1．一般冪函數(shù)(1)定義:規(guī)定(2)一般冪函數(shù)的解析分支例2計算下列各式的值(1)(2)2．一般指數(shù)函數(shù)(1)定義:規(guī)定(2)一般指數(shù)函數(shù)的解析分支課堂練習(xí)：習(xí)題中選擇1-2題四.小結(jié)7.6.5教學(xué)方法：講授法7.6.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：P92:20.22,24課后反思：數(shù)學(xué)分析中基本初等函數(shù)與復(fù)函數(shù)中基本初等函數(shù)的差異7.6.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求7.6.8參考資料7.7教學(xué)單元七7.77.7.2教學(xué)目標(biāo)：了解復(fù)積分的定義及其性質(zhì)，熟悉掌握復(fù)積分的計算7.7.3教學(xué)內(nèi)容：第三章復(fù)變函數(shù)的積分——§1復(fù)積分的概念及性質(zhì)。教學(xué)重點：復(fù)積分的概念教學(xué)難點：復(fù)積分的計算方法的選擇7.7.4教學(xué)過程：1.復(fù)變函數(shù)積分的定義一.有向曲線:設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,記為在今后的討論中,常把兩個端點中的一個作為起點,另一個作為終點,除特殊聲明外,正方向總是指從起點到終點的方向.簡單閉曲線正向的規(guī)定:如無特殊申明均是指逆時針方向為正方向.二.復(fù)變函數(shù)積分1．定義:設(shè)復(fù)變函數(shù)定義在區(qū)域內(nèi),是區(qū)域內(nèi)起點為,終點為的一條光滑有向曲線.曲線劃分:把曲線任意劃分成個弧段,分點依次記為由此曲線被分成個弧段：其長度為近似作和:在弧段中任取,有函數(shù)值作近似乘積作和:取極限：記當(dāng)無限增加，且時，如果不論對的分法及的取法如何，有唯一極限，則稱這個極限值(復(fù)數(shù)值)為函數(shù)沿曲線的積分.記為如果是閉曲線，則沿此閉曲線的積分記為2.積分的性質(zhì)(1)積分曲線可分可加性：如果是由等光滑曲線依次首尾連接所組成的逐段光滑曲線，即則在等式中，由左到右稱為曲線可分，由右到左稱為曲線可加；(2)反向反號性：(3)被積函數(shù)線性性：對任意常數(shù)有(4)估值性：設(shè)曲線的長度為,函數(shù)在上滿足則有估值不等式三、積分存在的條件及其計算法如果復(fù)變函數(shù)在光滑曲線上連續(xù)，則積分存在.四、積分計算方法定理1在已知積分曲線參數(shù)方程的情況下,積分可以通過兩個二元實變函數(shù)的線積分來直接計算:在以后的討論中,總假定積分是存在的.例1計算從原點到點的直線段解：取直線參數(shù)方程為則例2計算其中是以為圓心，為半徑的正向圓周，為整數(shù).解：積分路徑的參數(shù)方程為代入積分表達式得當(dāng)時,當(dāng)時,所以五、小結(jié)7.7.5教學(xué)方法：講授法7.7.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：P201:1(2)(3),4(1)(2)課后反思：復(fù)積分的計算方法總結(jié)及應(yīng)用時的選擇方法7.7.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求1．定積分,線積分的計算方法7.7.8參考資料7.8教學(xué)單元八7.8.1教學(xué)日期：7.8.2教學(xué)目標(biāo)：掌握柯西積分定理并靈活應(yīng)用．7.8.3教學(xué)內(nèi)容：第三章復(fù)變函數(shù)的積分——§2柯西積分定理教學(xué)重點：柯西積分定理的應(yīng)用教學(xué)難點：柯西積分定理的證明．7.8.4教學(xué)過程：一、柯西積分定理定理1如果函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任何一條周線都有注意：（1）條件很重要；（2）條件加強為黎曼條件：在單連通區(qū)域內(nèi)解析且在單連通區(qū)域內(nèi)連續(xù)，（3）證明較難。二、柯西積分定理的推廣定理2如果函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任何一條封閉曲線都有定理3如果函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)的積分與路徑無關(guān)，只與起始點有關(guān)。三、不定積分1．變動上限積分2．變動上限積分的性質(zhì)3．原函數(shù)與不定積分4．解析函數(shù)的積分如果函數(shù)在單連通域內(nèi)解析,是內(nèi)的兩點,為的一個原函數(shù)，則例1求的值.解：5．柯西積分定理的再推廣定理4為一條周線，為的內(nèi)部，如果函數(shù)在單連通區(qū)域上解析，則定理5為一條周線，為的內(nèi)部，在內(nèi)解析，上連續(xù)，則定理6設(shè)為復(fù)周線所圍區(qū)域，在內(nèi)解析，上連續(xù)，則即例2、計算積分的值，其中C為圓周．解：（1）當(dāng)，由于函數(shù)在圓周C及內(nèi)部均解析，由柯西積分定理：（2）當(dāng)，則被積函數(shù)在C的內(nèi)部有奇點，令，則在圓周C及內(nèi)部均解析，由柯西積分定理得（3）當(dāng)，則被積函數(shù)在C的內(nèi)部有奇點，分別以、為圓心作半徑充分小的圓周、。由復(fù)圍線的柯西積分定理得：例3、利用積分的值計算：的值，其中．解：由參數(shù)方程：，，所以積分另一方面由柯西積分定理：所以由于，令，則所以，即四、小結(jié)7.8講授法7.8作業(yè)：P213:1(2)(3)(4)(5),2課后反思：Cauchy積分定理的條件及應(yīng)用方法7.87.87.9教學(xué)單元九7.97.9.2教學(xué)目標(biāo)：掌握Cauchy積分公式與掌握解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式7.9.3教學(xué)內(nèi)容：第三章復(fù)變函數(shù)的積分——§2柯西教學(xué)重點：柯西積分公式的應(yīng)用教學(xué)難點：柯西積分公式的證明。7.9一、柯西（Cauchy）積分公式定理1如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處解析；為內(nèi)的任意一條正向簡單閉曲線，的內(nèi)部完全在內(nèi)；是內(nèi)任意一點，則有（Cauchy積分公式）證：顯然在連續(xù)，則當(dāng)時，有設(shè)以為中心,半徑為的正向圓周全在的內(nèi)部.根據(jù)閉路變形原理，有根據(jù)積分估值性質(zhì),有Cauchy積分公式成立需要滿足三個條件：⑴被積函數(shù)是特殊的分式形式；⑵被積函數(shù)的分子須在積分曲線內(nèi)解析，即在積分曲線內(nèi)沒有奇點，而不管在積分曲線外有沒有奇點；⑶被積函數(shù)分母的零點，也就是被積函數(shù)的唯一奇點必須在積分曲線內(nèi)。例1求積分解：因為在復(fù)平面解析，被積函數(shù)的唯一奇點在積分曲線圍成的區(qū)域內(nèi)，根據(jù)Cauchy積分公式，有例2計算積分解：由于可取則在積分曲線圍成的區(qū)域內(nèi)解析，被積函數(shù)在積分曲線內(nèi)有唯一奇點根據(jù)Cauchy積分公式，有例3求積分解：被積函數(shù)在積分曲線內(nèi)有兩個奇點現(xiàn)分別以這兩個奇點為中心，適當(dāng)小的正實數(shù)為半徑作兩個正向圓周和則根據(jù)復(fù)合閉路定理有注意到積分中被積函數(shù)的分子在積分曲線內(nèi)解析;分母在內(nèi)有唯一零點.因此積分滿足Cauchy積分公式應(yīng)用的條件.根據(jù)Cauchy積分公式，有同理也有所以有根據(jù)Euler公式，有所以有二、解析函數(shù)的無窮階可微性定理2解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然解析，在點的階導(dǎo)數(shù)為其中為在函數(shù)的解析區(qū)域內(nèi)圍繞的任意一條正向簡單閉曲線.高階導(dǎo)數(shù)公式的作用：不在于通過積分來求導(dǎo)，而在于通過求導(dǎo)來求積分.例4計算下列積分:(1)(2)其中為正向圓周：解：（1）被積函數(shù)在積分曲線內(nèi)有唯一奇點分子在內(nèi)解析.根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式，有（2）被積函數(shù)在積分曲線內(nèi)有兩個奇點.在內(nèi)分別以為中心,適當(dāng)小正數(shù)為半徑,作正向圓周使得構(gòu)成復(fù)合閉路.則函數(shù)在由圍成區(qū)域內(nèi)解析.根據(jù)復(fù)合閉路定理，有注意到：被積函數(shù)在內(nèi)只有一個奇點分子在內(nèi)解析.根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,有被積函數(shù)在內(nèi)只有一個奇點分子在內(nèi)解析.根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,有根據(jù)Euler公式，于是有三、柯西不等式與劉維爾定理1．柯西不等式2．劉維爾定理（1）整函數(shù)（2）劉維爾定理例5在復(fù)平面上解析，并且存在正數(shù)，，證明：恒為一個常數(shù)．證明：因為整函數(shù)，在z平面上解析，存在著一個正整數(shù)，有，所以，，則在z平面上解析，即為整函數(shù)。且，即有界；由劉維爾定理知：必為常數(shù)，從而恒為一個常數(shù)。四、Cauchy積分公式與和解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式的總結(jié)：（1）都是對分式函數(shù)，不一定是有理分式函數(shù)，的積分；（2）積分曲線都是復(fù)平面內(nèi)任意簡單正向閉曲線；（3）被積分分式函數(shù)的分子都必須在積分曲線圍成區(qū)域內(nèi)解析被積函數(shù)在積分曲線圍成區(qū)域內(nèi)沒有奇點被積函數(shù)如果有奇點，奇點都在積分曲線外部；（4）被積分式函數(shù)分母的唯一零點，是被積函數(shù)在積分曲線圍成區(qū)域內(nèi)的唯一奇點；7.9講授法7.9作業(yè)：p221:1(1)(2)(3)(5),2課后反思：Cauchy積分定理與公式的差異,怎樣應(yīng)用?7.97.97.10教學(xué)單元十7.10.1教學(xué)日期：7.10.2教學(xué)目標(biāo)：理解并掌握調(diào)和函數(shù)的概念、性質(zhì)．熟練掌握解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系7.10.3教學(xué)內(nèi)容：第三章復(fù)變函數(shù)的積分——§4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)。教學(xué)重點：調(diào)和函數(shù)的概念教學(xué)難點：解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系7.10.4教學(xué)過程：一、調(diào)和函數(shù)的定義定義如果二元實變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)，并且滿足Laplace方程則稱是區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù).調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實際問題中有很重要的應(yīng)用.二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1.兩者的關(guān)系定理1任何在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù),它的實部和虛部都是內(nèi)的調(diào)和函數(shù).2.共軛調(diào)和函數(shù)的定義設(shè)是區(qū)域內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)，則稱使在內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的為的共軛調(diào)和函數(shù).即區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù).3.偏積分法已知解析函數(shù)的實部或虛部函數(shù),可以根據(jù)C-R方程，通過積分求得另外一個.這種方法稱為偏積分法.例1證明是調(diào)和函數(shù)，并求其共軛調(diào)和函數(shù)及由它們構(gòu)成的解析函數(shù).解：由可知,函數(shù)二階偏導(dǎo)存在且連續(xù),而且滿足Laplace方程故是調(diào)和函數(shù).由解析,根據(jù)解析函數(shù)的充要條件可知,C-R方程成立,則有積分第一個式子得其中是任意一階可導(dǎo)且連續(xù)函數(shù).由可知,所以其中是常數(shù).則有例2若，且且，求解析函數(shù)．解：由C.—R.方程得，所以，=從而由C.—R.方程得：=.得:所以，=+由得：c=故：=+三、小結(jié)7.10講授法7.10作業(yè)：p229:3,4,6課后反思：解析函數(shù)為的共軛調(diào)和函數(shù).能否說為的共軛調(diào)和函數(shù)？7.107.107.11教學(xué)單元十一7.11.1教學(xué)日期：7.11.2教學(xué)目標(biāo)：熟練復(fù)級數(shù)斂散的判定．7.11.3教學(xué)內(nèi)容：第四章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法——§1復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)重點：復(fù)級數(shù)斂散的判定教學(xué)難點：復(fù)級數(shù)斂散的判定的證明．7.11.4教學(xué)過程：一、復(fù)數(shù)列的極限1.定義設(shè)是一復(fù)數(shù)列，而是一確定復(fù)數(shù).如果對任意給定的，都存在相應(yīng)的正整數(shù)，使得對所有，都有，則稱為復(fù)數(shù)列當(dāng)時的極限，記作此時也稱復(fù)數(shù)列收斂于.2.復(fù)數(shù)列收斂的充要條件定理1由此說明，復(fù)數(shù)列的斂散性問題可以等價轉(zhuǎn)化為判別兩個實數(shù)列的斂散性.例1證明：當(dāng)時，證：當(dāng)時，結(jié)論顯然成立.當(dāng)時，有根據(jù)復(fù)數(shù)列數(shù)列的判別方法，有注意到對輻角和任意有而在時，是無窮小量，因此有根據(jù)復(fù)數(shù)列數(shù)列的充要條件，有二、級數(shù)的概念1.定義設(shè)是一復(fù)數(shù)列，表達式稱為復(fù)數(shù)項無窮級數(shù).其前項的和稱為這個級數(shù)的部分和.如果復(fù)數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列收斂，則稱級數(shù)收斂，此時數(shù)列極限稱為級數(shù)的和.如果部分和數(shù)列不收斂，則稱級數(shù)發(fā)散.例2級數(shù)的斂散性注意到級數(shù)的部分和由于在時，有因此所以當(dāng)時，級數(shù)收斂.2.復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的條件定理2設(shè),級數(shù)收斂都收斂.由此可知：級數(shù)收斂的必要條件由實數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件有復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件為定理3收斂收斂，且有注意:（1)這只是判別復(fù)數(shù)項收斂的充分條件;(2)對應(yīng)該應(yīng)用正項級數(shù)的審斂法則判定.3.絕對收斂與條件收斂定義如果收斂，則稱級數(shù)絕對收斂，不是絕對收斂的收斂級數(shù)，稱為條件收斂級數(shù).例3級數(shù)是否絕對收斂？解：由正項級數(shù)的比值判別法知：收斂,根據(jù)定理3知,原級數(shù)收斂,且是絕對收斂.例4判定負(fù)級數(shù)的收斂性，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？解：由于，而是發(fā)散的。又收斂，而,收斂所以,收斂故條件收斂。三、小結(jié)7.1講授法7.1作業(yè)：p235:2(1)(2),3(2)(3)課后反思：與數(shù)學(xué)分析中數(shù)項級數(shù)的斂散性的區(qū)別與聯(lián)系7.1數(shù)學(xué)分析中數(shù)項級數(shù)的斂散性判定7.17.12教學(xué)單元十二7.17.12.2教學(xué)目標(biāo)：7.12.3教學(xué)內(nèi)容：第四章解析函數(shù)的冪級數(shù)表教學(xué)重點：冪級數(shù)收斂半徑及求法教學(xué)難點：7.1一、冪級數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)項級數(shù)定義設(shè)為區(qū)域內(nèi)的一復(fù)變函數(shù)序列.表達式稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù),記作.級數(shù)最前面項的和稱為這級數(shù)的部分和.和函數(shù)：如果對于內(nèi)的某一點,極限存在,則稱級數(shù)在收斂,稱為它的和.如果級數(shù)在內(nèi)任意點都收斂,那末它的和是的一個函數(shù),稱為該級數(shù)在區(qū)域上的和函數(shù).2.冪級數(shù)當(dāng)或時,有函數(shù)項級數(shù)的特殊情形或這種級數(shù)稱為冪級數(shù).二、冪級數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級數(shù)在收斂，則對滿足的任意,級數(shù)必絕對收斂；如果級數(shù)在發(fā)散,則對滿足的任意,級數(shù)發(fā)散.2.收斂圓與收斂半徑根據(jù)阿貝爾Abel定理可知,冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域,圓域半徑稱為收斂半徑.3.收斂半徑的求法比值法：根值法：則收斂半徑例1求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時的情形)解：（1）由知，收斂半徑，則級數(shù)在圓內(nèi)收斂，在圓外發(fā)散.在圓周上，級數(shù)是收斂的級數(shù).根據(jù)復(fù)級數(shù)收斂的充分條件（定理3）知，原級數(shù)在收斂圓周上處處絕對收斂.(2)由有，收斂半徑.當(dāng)時，原級數(shù)成為，是收斂的交錯級數(shù);當(dāng)時,原級數(shù)成為，是發(fā)散的調(diào)和級數(shù).一般來說，冪級數(shù)在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點,也有級數(shù)的發(fā)散點.而在應(yīng)用中,圓周內(nèi)是可以確保收斂的.三、冪級數(shù)的運算和性質(zhì)1.冪級數(shù)的有理運算設(shè)則2.冪級數(shù)的代換(復(fù)合)運算3.復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的分析性質(zhì)定理4設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,則（1）和函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析；（2）收斂圓內(nèi)可逐項求導(dǎo)：(3)收斂圓內(nèi)逐項求積：四、小結(jié)7.1講授法7.1作業(yè)：P254:2(1)(2)(3),4(1),5(1),8(1)(2)課后反思：與數(shù)學(xué)分析中冪級數(shù)章節(jié)的區(qū)別與聯(lián)系7.12復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析中冪級數(shù)章節(jié)7.17.13教學(xué)單元十三7.17.13.2教學(xué)目標(biāo)：掌握7.13.3教學(xué)內(nèi)容：第四章復(fù)級數(shù)——教學(xué)重點：Taylor定理。教學(xué)難點：將函數(shù)展開成Taylor級數(shù)。7.1一、Taylor展開定理定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一點，為到的邊界上各點的最短距離，則當(dāng)時，有的Taylor展開式:等式右邊的級數(shù)稱為Taylor級數(shù).其中稱為Taylor系數(shù).二、將函數(shù)展開成Taylor級數(shù)1.直接法:直接計算系數(shù),然后根據(jù)展開定理把函數(shù)在展開成冪級數(shù).例1，求在的Taylor展開式解：因在復(fù)平面內(nèi)解析，所以展開成冪級數(shù)的收斂半徑.注意到由此得到基本展開式2.間接展開法:利用一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運算性質(zhì)(逐項求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式.其優(yōu)點是：不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑.因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛.例7根據(jù)Euler公式和指數(shù)函數(shù)的基本展開式,有解：三、常見函數(shù)的Taylor展開式四、函數(shù)的Taylor展開1．有理分式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的展開.以基本冪級數(shù)為基礎(chǔ),利用函數(shù)代換以及收斂圓內(nèi)冪級數(shù)的各種分析性質(zhì),得到函數(shù)的Taylor展開式.例3把函數(shù)展開成的冪級數(shù).解：函數(shù)展開的中心點為可以先確定函數(shù)展開的范圍.需要展開的函數(shù)的奇點為,此奇點到展開中心點的距離,根據(jù)展開定理知，函數(shù)可在內(nèi)展開成的冪級數(shù).由基本冪級數(shù)有對上式兩邊求導(dǎo)，且右邊逐項求導(dǎo)，由此得到展開式則有例4求對數(shù)函數(shù)的主值在的展開式.解：由函數(shù)奇點的分布可知,在內(nèi)有展開式.注意到將上式從到任意積分，對右邊級數(shù)逐項積分，有由此得到例5把函數(shù)展開成的冪級數(shù).解：由函數(shù)奇點可知,在內(nèi)有展開式..2.指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的展開.以基本冪級數(shù)為基礎(chǔ),利用函數(shù)代換以及收斂圓內(nèi)冪級數(shù)的各種分析性質(zhì),得到指數(shù)函數(shù)的Taylor展開式.三角函數(shù)可以利用Euler公式先轉(zhuǎn)化成指數(shù)函數(shù),然后再按照指數(shù)函數(shù)展開.例6求函數(shù)在的冪級數(shù).解：根據(jù)三角公式和Euler公式,有所以有根據(jù)指數(shù)函數(shù)的基本展開式,有所以有注意到則有所以有六、小結(jié)7.1講授法7.1作業(yè)：P244:1(1)(2),3,5(1)(3)課后反思：與數(shù)學(xué)分析中冪級數(shù)展開式的內(nèi)容的區(qū)別與聯(lián)系7.13.7復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析中冪級數(shù)展開式的內(nèi)容7.137.14教學(xué)單元十四7.147.14.2教學(xué)目標(biāo)：掌握解析函數(shù)零點的概念及階的判定，熟練掌握最大模原理7.14.3教學(xué)內(nèi)容：第四章復(fù)級數(shù)——§教學(xué)重點：解析函數(shù)零點的概念及階的判定．教學(xué)難點：最大模原理7.14一、解析函數(shù)零點的概念1.定義2．解析函數(shù)的階零點的定義不恒等于零的解析函數(shù)，如果能表示成其中①在的某個鄰域內(nèi)解析,②，則稱為的級零點.3．解析函數(shù)的階零點的判定（1）是解析函數(shù)的級零點的充要條件：（2）如果函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)的Taylor展開式中的最低方冪項是,即則是的級零點.方法(2)主要用于判斷零點的級數(shù),而⑴可以用于更一般的零點級數(shù)例1．判定函數(shù)零點及階數(shù)．解：令，得零點：．由于令，在平面上解析，且。所以為的4級零點。二、解析函數(shù)零點的孤立性與唯一性1.解析函數(shù)零點的孤立性定理2.解析函數(shù)零點的唯一性定理三、最大模原理最大模原理:例2、用最大模原理證明：設(shè)在閉圓上解析，如果存在>0，使當(dāng)時，，且，則在圓內(nèi)，至少存在一個零點．證明：反證法：設(shè)在圓內(nèi)沒有零點，而在時，.在閉圓上解析，在閉圓上解析.此時且在上于是必非常數(shù)，在上有：，這與最大模原理矛盾。四、小結(jié)7.14講授法7.1作業(yè):P264:1(2)(3),3(1),5課后反思：解析函數(shù)零點的孤立性與唯一性的本質(zhì)是什么?7.17.17.15教學(xué)單元十五7.15.1教學(xué)日期：7.15.2教學(xué)目標(biāo)：會求Laurent級數(shù)7.15.3教學(xué)內(nèi)容：第四章復(fù)級數(shù)——§6Laurent級數(shù)教學(xué)重點：Laurent級數(shù)．教學(xué)難點：Laurent級數(shù)展開式7.15.4教學(xué)過程：一、雙邊冪級數(shù)1.雙邊冪級數(shù)及其收斂域稱為雙邊冪級數(shù),或含有負(fù)冪項的冪級數(shù),其中正冪項部分也稱為解析部分,負(fù)冪項部分稱為主要部分.當(dāng)正冪項部分和負(fù)冪項部分同時收斂時,雙邊冪級數(shù)才收斂,由此得到結(jié)論：若雙邊冪級數(shù)收斂，則收斂域為圓環(huán)域.2.雙邊冪級數(shù)收斂域內(nèi)的性質(zhì)：若雙邊冪級數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)收斂，則（1)和函數(shù)在收斂的圓環(huán)域內(nèi)解析；（2）收斂圓環(huán)域內(nèi)可逐項求導(dǎo)：（3）收斂圓環(huán)域內(nèi)可逐項求積.二、Laurent級數(shù)1.Laurent展開定理:若函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，則函數(shù)在此圓環(huán)域內(nèi)可展開成Laurent級數(shù)其中稱為Laurent系數(shù)，積分曲線是圓環(huán)域內(nèi)繞的任一正向簡單閉曲線.2.Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)的關(guān)系（1）若函數(shù)不僅在環(huán)域內(nèi)解析，也在環(huán)域的內(nèi)圓內(nèi)解析，則Laurent展開得到的實際上是Taylor級數(shù)；因為在此條件下，Laurent系數(shù)的積分計算公式中，被積函數(shù)的分子在解析，則也在積分曲線C圍成區(qū)域內(nèi)解析.當(dāng)時，是復(fù)平面內(nèi)解析的多項式函數(shù)，所以在C內(nèi)函數(shù)解析.則根據(jù)Cauchy－Goursat基本定理，有所以Laurent展開式中沒有負(fù)冪項.當(dāng)時,根據(jù)解析函數(shù)的高價導(dǎo)數(shù)公式有則有Taylor展開式（2）若函數(shù)僅在環(huán)域內(nèi)解析，在環(huán)域的內(nèi)圓內(nèi)有奇點，則Laurent展開時,一般會得到真正的Laurent級數(shù).這種情況下也可能沒有負(fù)冪項,例如：由于在時有則在上式也成立.在此環(huán)域內(nèi)有Laurent展開式其他函數(shù)如等在環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式也沒有負(fù)冪項.在判斷出Laurent級數(shù)含有負(fù)冪項時，原則上只要對負(fù)冪項作倒數(shù)變換，變換成正冪項的冪級數(shù)，就可以根據(jù)一般間接展開法求得.三、函數(shù)的Laurent展開式1.直接展開法：利用定理中的公式計算Laurent系數(shù),然后得到Laurent展開式.缺點:計算往往很麻煩.2.間接展開法：根據(jù)正、負(fù)冪項組成的的Laurent級數(shù)的唯一性,可利用已知函數(shù)的展開式得到Laurent展開式.優(yōu)點:簡捷,快速.例1在內(nèi)，把函數(shù)展開成Laurent級數(shù).解：由基本冪級數(shù)有.在內(nèi),,在上式兩端同除以,有例2將函數(shù)分別在（1），（2），（3）展開為洛朗級數(shù)．解：因為，而，所以（1）時，，所以，=，（2）時，，所以，=（3）時，，所以，=為了得到函數(shù)的Laurent級數(shù)，也會應(yīng)用級數(shù)的分析性質(zhì)等多種方法.例3求函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開分析：函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開應(yīng)該具有形式所以，可先得到在內(nèi)的Laurent展開，然后在展開式兩端同除以即可.解：根據(jù)基本冪級數(shù),有上式兩端求導(dǎo)，右端級數(shù)逐項求導(dǎo)，有則有在內(nèi),,則上式兩端同時除以有函數(shù)的Laurent展開四、小結(jié)7.1講授法7.1作業(yè)：作業(yè):P273:1,2,3(1)課后反思：7.11．新學(xué)期的打算，怎樣學(xué)好〈〈數(shù)學(xué)分析〉〉？2．復(fù)習(xí)〈數(shù)學(xué)分析〉〉（上冊）介紹的隱函數(shù)求導(dǎo)法則7.1吳良森等主編《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》，P373-3837.16教學(xué)單元十六7.17.16.2教學(xué)目標(biāo)：熟悉掌握零點、7.16.3教學(xué)內(nèi)容：第五章留數(shù)定理教學(xué)重點：孤立奇點的概念及分類教學(xué)難點：零點、孤立奇點與極點的關(guān)系7.1一、孤立奇點的概念1.定義：若是函數(shù)的有限奇點，但在的某一空心鄰域內(nèi)函數(shù)解析,則稱是的孤立奇點.例1是函數(shù)的孤立奇點;而是函數(shù)的孤立奇點.有理分式函數(shù)的所有有限奇點都是孤立奇點.注意:存在不是孤立奇點的奇點，如的所有奇點都不是孤立奇點.例2討論函數(shù)在的奇點特性解：函數(shù)的奇點為由于則在的不論多么小的空心鄰域內(nèi)，總有函數(shù)的其他奇點,所以不是孤立奇點.2.孤立奇點的分類如果是函數(shù)的孤立奇點.由孤立奇點的定義知，函數(shù)在一個空心鄰域內(nèi)解析.現(xiàn)在把這個空心鄰域看成環(huán)域,根據(jù)Laurent展開定理可知,在此鄰域內(nèi)有函數(shù)的Laurent展開式根據(jù)函數(shù)的Laurent展開式中含有負(fù)冪項的個數(shù)情況，可以把孤立奇點分為可去奇點、極點和本性奇點三類.（1)．可去奇點如果函數(shù)在孤立奇點的空心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)不含的負(fù)冪項,則稱孤立奇點為的可去奇點.例3函數(shù)在孤立奇點的任意空心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)中不含的負(fù)冪項,所以是可去奇點.例4說明為的可去奇點.解：在此孤立奇點的任意空心鄰域內(nèi),函數(shù)的Laurent級數(shù)所以是的可去奇點.（2)極點如果函數(shù)在孤立奇點的空心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)含有的有限多個負(fù)冪項，其中關(guān)于的最高方冪為則稱是函數(shù)的級極點.即在上式兩端同乘，則有上式右端級數(shù)在內(nèi)收斂，顯然在也收斂，所以右端級數(shù)在內(nèi)收斂.根據(jù)冪級數(shù)收斂圓內(nèi)的分析性質(zhì)可知,上式右端冪級數(shù)收斂于一個解析函數(shù),設(shè)為.容易看出:由此可得函數(shù)級極點的等價定義:對函數(shù),若存在在點的某一領(lǐng)域內(nèi)解析，且的函數(shù),使得則是的級極點.例5是有理分式函數(shù)的孤立奇點,令,則，在的鄰域內(nèi)解析,且,所以是的二級極點.同樣可知,是的一級極點.（3)本性奇點如果函數(shù)在孤立奇點的去心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)含有的無窮多個負(fù)冪項,則稱是函數(shù)的本性奇點.例6由可知,是函數(shù)的本性奇點.二、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系定理1是函數(shù)的級零點是的級極點.在具體判斷函數(shù)極點的級數(shù)時，更常應(yīng)用下面兩個結(jié)論提供的方法。結(jié)論1：若分別是函數(shù)的級零點，則是乘積函數(shù)的級零點.例如，由于分別是函數(shù)的3級和2級零點，則是函數(shù)的5級零點.結(jié)論2：若分別是函數(shù)的級零點，則⑴當(dāng)時，是的可去奇點；⑵當(dāng)時，是的級極點.例7由于分別是分式函數(shù)分子和分母的1級零點，則是這個分式函數(shù)的可去奇點；而是分母的2級零點，不是分子的零點，但可以看成是分子的0級零點，所以是分式函數(shù)的2級極點.例8分別是分式函數(shù)分子和分母的2級,4級零點，所以是分式函數(shù)的2級極點.三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)定義如果函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的某一個去心鄰域內(nèi)解析，則稱為的孤立奇點.一般方法:作倒數(shù)變換,則結(jié)論:去心鄰域內(nèi)對函數(shù)的研究在去心鄰域內(nèi)對的研究.規(guī)定:如果是的可去奇點、級極點或本性奇點,則稱是的可去奇點、級極點或本性奇點.例9函數(shù)在擴充復(fù)平面內(nèi)有些什么類型的奇點?如果是極點,指出它的級.四、小結(jié)7.1講授法7.1作業(yè):P296:1(1)(2)(3),2課后反思：零點、孤立奇點與極點的定義與關(guān)系7.17.17.17教學(xué)單元十七7.17.17.2教學(xué)目標(biāo)：掌握留數(shù)、留數(shù)定理7.17.3教學(xué)內(nèi)容：第五章留數(shù)定理——教學(xué)重點：留數(shù)的概念及計算教學(xué)難點：留數(shù)的計算7.1一、留數(shù)概念的引入若是函數(shù)的孤立奇點,根據(jù)孤立奇點的定義可知,在的某一個空心鄰域內(nèi),函數(shù)解析.把空心領(lǐng)域看作圓環(huán)域,則根據(jù)Laurent展開定理知,在此空心鄰域內(nèi)存在函數(shù)的Laurent級數(shù)設(shè)是內(nèi)包含的任一條正向簡單閉曲線，則可以沿對上述Laurent展開式兩端積分.根據(jù)級數(shù)在收斂域內(nèi)的分析性質(zhì),則有對上式右端的無窮多個積分,首先根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式有再根據(jù)Cauchy-Goursat基本定理,有所以上式右端無窮多個積分的值為,則有由此可知,Laurent級數(shù)中負(fù)冪項的系數(shù).定義若是函數(shù)的孤立奇點，則沿在的某個空心鄰域內(nèi)包含的任意一條正向簡單閉曲線的積分除以后所得的值,稱為在點的留數(shù).記作由此有二、利用留數(shù)求積分1.留數(shù)定理：函數(shù)在一條正向簡單閉曲線內(nèi)有有限多個孤立奇