第10章空間直線與平面知識梳理 例題-高二上學期數(shù)學滬教版（2020）必修第三冊

第頁）平面及其基本性質(zhì)【知識梳理】平面的概念：平面是一個只描述而不定義的最基本的原始概念（“平”的，無厚度，無邊界，在空間延伸至無限）.平面的基本性質(zhì)：公理1：______________________________________________________.(判斷直線在平面上)集合語言描述：__________________________________.公理2：________________________________________________.（確定一個平面的判斷）推論1：_______________________________________；推論2：_________________________________________；推論3：_________________________________________.公理2：_________________________________________________.（三點共線的證明）集合語言描述：_________________________________________________________.【例題解析】判斷下列命題的真假：空間中三點確定一個平面；【變式】空間中三點一定共面；若兩條平行直線都與第三條直線相交，則這三條直線共面；【變式】若兩條相交直線都與第三條直線相交，則這三條直線共面；若空間中的四個點不共面，則這四個點中的任意三點都不共線；四條等長的線段順次首尾相接，得到的一定是菱形；三角形、平行四邊形、梯形都是平面圖形。填空題：不共面的四個點可以確定的平面的個數(shù)是；三個平面交于一點，此時將空間分成個部分；三個平面將空間分成n個部分，n的所有可能的值是。

空間直線與直線的位置關(guān)系【知識要點】空間兩條直線的位置關(guān)系：位置關(guān)系定義是否共面記法相交有且僅有一個公共點的兩條直線共面平行在同一個平面內(nèi)，沒有公共點的兩條直線異面不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線不能共面公理4（平行直線的傳遞性）：_____________________________________.集合語言描述：_____________________________________.等角定理：__________________________________________-異面直線所成的角取值范圍：____________________.【例題解析】判斷下列命題的真假：不在一個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線；若直線a與直線b異面，直線b與直線c異面，則直線a與直線c異面；【變式】若直線a與直線b共面，直線b與直線c共面，則直線a與直線c共面；若，，則；若直線a、b與c所成的角相等，則；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；【變式1】過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直；【變式2】過直線上一點有且只有一條直線與已知直線垂直；與兩條異面直線都垂直的直線有且僅有一條。正方體中的12條棱可以組成對異面直線；【變式】在正方體中，與成60°角的面對角線共有條。

空間直線與平面的位置關(guān)系【知識要點】直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系定義記法直線在平面內(nèi)直線在平面外直線與平面平行直線與平面相交直線與平面的平行：直線與平面的平行的判定定理：__________________________________；直線與平面的平行的性質(zhì)定理：________________________________________.直線與平面的垂直定義：____________________________________________________；直線與平面的垂直的判定定理：__________________________________；直線與平面的垂直的性質(zhì)定理：________________________________________________.6、直線和平面所成的角：定義：規(guī)定斜線l與其在平面上的射影所成的銳角叫做直線l和平面所成的角；規(guī)定當直線l與平面垂直時，它們所成的角等于90°；當直線l與平面平行或直線l在平面上時，它們所成的角為0°；直線和平面所成的角的取值范圍：__________________________7、距離：點和平面的距離：設M是平面外一點，過點M作平面的垂線，垂足為N，我們把點M到垂足N之間的距離叫做點M和平面的距離；直線和平面的距離：設直線l平行于平面，在直線l上任取一點M，我們把點M到平面的距離叫做直線l和平面的距離.8、三垂線定理：三垂線定理：_______________________________；【例題解析】判斷下列命題的真假：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條平行直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面；【變式】如果一條直線和一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面；如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面；如果兩條直線都與一個平面平行，那么這兩條直線平行；如果直線l與平面平行，那么直線l與平面內(nèi)的任意一條直線平行；若，，則；【變式】若，，則；一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線；【變式1】在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線；【變式2】兩條異面直線在平面內(nèi)的射影可能是兩條平行直線；若兩條直線和一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行；若一條直線和一個平面平行，且夾在直線和平面間的兩條線段相等，則這兩條線段所在的直線平行；斜線和平面所成的角是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角。在正方體中，E是的中點。（1）求證：AC⊥平面；（2）求直線AE與平面所成的角的大小；（3）求直線AC與平面所成的角的大小。已知點P是△ABC所在平面外一點，點O是點P在平面ABC上的射影。若，則點O是△ABC的心；若PA、PB、PC與平面ABC所成的角都相等，則點O是△ABC的心；若PA、PB、PC兩兩垂直，則點O是△ABC的心；若三棱錐有兩組對棱相互垂直，則點O是△ABC的心；若點P到△ABC的三邊AB、BC、CA的距離相等，則點O是△ABC的心；若三棱錐的三側(cè)面與底面ABC所成的二面角都相等，則點O是△ABC的__________心。異面直線a、b所成的角為80°，P是a、b外的一個定點，經(jīng)過點P的直線l與異面直線a、b所成的角均為（），則這樣的l可能有的條數(shù)為；空間平面與平面的位置關(guān)系【知識要點】平面與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系定義記法平行平面與沒有公共點或相交平面與有且僅有一條公共直線兩個平面的平行：兩個平面平行的判定定理：__________________________________.兩個平面平行的性質(zhì)定理：______________________________________.二面角：二面角的定義：________________________________________________________-.二面角的平面角：_____________________________________________________(3)_二面角的取值范圍是______________________.兩個平面的垂直：定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直；兩個平面垂直的判定定理：________________________________________；兩個平面垂直的性質(zhì)定理：________________________________________________-.【例題解析】1.判斷下列命題的真假：二面角是兩個平面相交組成的圖形；【變式】二面角是從一個平面內(nèi)的一條直線出發(fā)的一個半平面與平面組成的圖形；平行于同一條直線的兩個平面相互平行；【變式】垂直于同一條直線的兩個平面相互平行；若a、b是平面內(nèi)的兩條直線，且，，則；若，則平面內(nèi)的任