高三數(shù)學知識點：三大特點

10/10高三數(shù)學知識點：三大特點主持人：各位網(wǎng)友大家好!2009年全國高考的數(shù)學學科今天下午已經(jīng)落下帷幕,不知道同學們是不是考得很順利呢?在這里要預祝大家考個好成績。在今天晚上這個時間我們將和大家共同關(guān)注2009年高考數(shù)學真題的點評,為大家邀請到得是北京睿升學校教學參謀、海淀教師進修學校數(shù)學教研員、北京市數(shù)學特級教師張鶴老師和我們大家進行交流,張老師,先跟各位網(wǎng)友打聲招呼吧。張鶴：同學們好!大家辛苦了!主持人：今天是高考數(shù)學學科考試的日子,您也拿到了今天的題目,您有什么樣的感覺,難度是怎樣的?變難了,還是變簡單了?題型有沒有什么變化?給我們分析一下概況好嗎?張鶴：拿到時間不是很長,也做了一下,總體感覺07、08年和09年難度相差不多。從整張試卷來看,結(jié)構(gòu)是由易到難,梯度把握也比擬好,比擬有利于各類考生的開展。總體感覺,今年的題都是考察的是高中數(shù)學里根本概念,數(shù)學根本本質(zhì)的東西,這都是我們高三復習中的重點內(nèi)容,沒有偏題、怪題,課本以外的題目幾乎沒有。這是給我最初的印象。這個題整體感覺上手比擬快,題比擬親切,應(yīng)該說有利于學生在考場的發(fā)揮。這是我初步的一點感受。主持人：接下來的一點時間,請您按您的思路給大家對這份試卷進行分析和點評。張鶴：從整張試卷來看,因為高考畢竟是一個選拔性的考試,從高考命題的立意上來說,還是以能力作為主要的考察重點,還要兼顧各類學生的開展。從試卷來看,很多題目,以理科為例,選擇題的第一題、第二題、第三題一直下去到第五題,應(yīng)該說同學們做完以后感覺都是很根本,很親切的。因為這些題我們平時也在練。填空題里第一小題,就是十三題,把原來求一個系數(shù)的問題變成求兩項技術(shù)。從題的形式上來看,稍有一些改變,但這些又都是我們經(jīng)常訓練的東西,同學們不會感覺入不了手。我的想法,考察內(nèi)容相當一局部題目都是很根本的,比方第一題求幾何的運算,在06―08年這幾年高考中根本上都是這樣一類的題目,學生一上手也都非常容易,幾乎不會出錯,能順順當當拿下。第二題考復數(shù)的內(nèi)容,這幾年高考對復數(shù)要求不是很高,第二題考察復數(shù),也是對學生、同學穩(wěn)定情緒,逐漸地進入考試狀態(tài)起到了很好的作用。像第三小題含絕對值不等式,第四小題是考雙曲線和拋物線相切,難度不大,也很根本。第五題是排列組合問題,考察同學們的分類討論的情況。這樣一些題目,同學們至少不會有太大的障礙。所以,對根本的內(nèi)容考察,從命題者來說也還是認真對待,出了這樣一些方面的題。從大題來看,解答題的第十七小題,題型跟我們平時練的題型略有區(qū)別,應(yīng)該說更樸實一些,直接就求一個邊,不是對直等等一些問題,同學們只需要把三角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,當然這需要用正弦定理和余弦定理,結(jié)合的三角關(guān)系就可以求出邊與邊的長度?？疾斓亩际亲罡镜膬?nèi)容,應(yīng)該說占有一定比例了。這也提示了同學們,今后高三和老師復習數(shù)學學時還應(yīng)是這樣的,我們要重視根本概念,基此題目的訓練和復習。第二,我有一個比擬強烈的感覺,中學里的主干知識、核心知識的考察應(yīng)該說是很有深度的,或者到達必要的深度,而且對主干知識的考察構(gòu)成了數(shù)學試題的主體。數(shù)學是思維學科,同學們在復習數(shù)學的時候,一個根本點就是,你應(yīng)該學會用數(shù)學的思維方法思考數(shù)學問題,解決數(shù)學問題。有些同學之所以數(shù)學上進步不大,或者感覺數(shù)學難學,關(guān)鍵是對數(shù)學概念的理解和認識缺乏深度,對數(shù)學語言和生活語言、描述性語言、圖形語言等等數(shù)學語言得轉(zhuǎn)化很多同學不熟練。更重要一點,或者更關(guān)鍵得一點,很多同學對數(shù)學概念本質(zhì)的把握沒有到達必要的深度。從這次考試命題來看,也可以看到,選擇題當中已經(jīng)開始接觸或者考察這樣一些概念,比方選擇第十一題,同學們首先要涉及什么叫奇偶函數(shù),這個概念同學們腦子要清楚,甚至有的高三同學最后階段也說不清楚,對符號的表達式有些同學并沒有深刻的認識和理解,如果換成F2X減1是偶函數(shù),加1是奇函數(shù),很多同學就答復不對了,原因是同學們對知識的理解比擬機械。這個函數(shù)表達式是取兩個函數(shù)自變量的時候,函數(shù)值互為相等,這是偶函數(shù)。我們要緊緊把握住,當FX加1我們要考慮是自變量,作為奇函數(shù)取相反數(shù)的時候,才互為相反數(shù)。只有把這句話正確描述出來,才能得出正確的結(jié)果。當然,我們也知道所謂奇函數(shù)就是兩個點對稱,從一般結(jié)論上來說,我們也容易推出它具有周期性,從這個小結(jié)中,我們可以看到,這絕對不是計算題,不是計算錯誤,馬虎造成錯誤,不是這樣的。它需要你對函數(shù)概念和知識有深刻的理解,如果認識到這一點,解第十一題也就不難了。這張試卷里考察數(shù)學的主干知識,數(shù)學函數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何,解析幾何等等是我們高中數(shù)學的主干知識。這張卷子中可以看到有大量的題目涉及到這方面內(nèi)容,比方選擇題的第三小題不等式的內(nèi)容,第四題是雙曲線、拋物線的問題,第七題立體幾何,第八題三角函數(shù),第九題可以算做導數(shù),第九―第十二題是選擇題。包括第二大題都是考察函數(shù)知識。高三復習的時候,我們花了大量的時間來復習主干知識,劃出三個大的局部。第三,從這份考題來看,突出了學科的特點,深入考出對數(shù)學本質(zhì)的認識。下面我們談到的是數(shù)學,比方奇函數(shù)的問題,第八小題,你要了解一個函數(shù)圖象點和中心的對稱什么意思把握住,這是你解決問題的根本出發(fā)點。這次考察的立體幾何,我的感覺相對來說有些難度,但它也表達這樣幾個特點：1、用向量解的同學可能會感覺稍稍舒服一點。簡答題里的第十八題這道題來看,還有剛剛我提到的第七小題,這兩道題我的感覺,因為我沒有繼續(xù)做得太多,感覺用向量法的同學會稍稍簡單一些。這也還是表達了新課程對立體幾何教學的一個滲透。這兩道題還是大綱卷,但在課標卷或者新課標卷中,對解決向量解決立體幾何是理科同學必須要學的內(nèi)容,所以我們要特別關(guān)注新課標對我們高三同學對大綱教學的理解和滲透。2、從卷子來看,對同學答題內(nèi)容和審題的要求應(yīng)該說也是比擬高的,比方第十小題,我估計很多同學在做這道題的時候,如果審地不清楚或者沒有看清楚的話,可能會誤認為是求P、Q兩點之間的距離,如果這樣做,顯然這道題就會做不出來。我們一是要把題目審清。第十小題、第七小題都沒有給圖,我們需要根據(jù)條件,先畫出草圖,然后根據(jù)這個數(shù)據(jù)不斷修正這個草圖,使我們圖形最接近題目的要求,或者我們看到最舒服的角度。我們同學考察立體幾何的時候有這樣的情況,由于圖做不好,甚至有的同學不會做圖,影響了自己的答題,立體幾何有這樣的特征,我們要特別關(guān)注這一點?，F(xiàn)在的高三同學或者今后的同學在立體幾何復習中更應(yīng)該注意了。對同學審題的要求更高一些,把題目看清。第八題也是,三角函數(shù)這道題,它是求絕對值的,這是同學們審題時要注意的。這段時間我有一個感受,它突出了學科特點。不僅僅是突出了數(shù)學學科的特點,因為數(shù)學本身里有很多學科,幾何的特點,代數(shù)的特點,幾何里剛剛我們談到了立體幾何。解析幾何的學科特點應(yīng)該講是非常鮮明的,我們要用代數(shù)方法去研究數(shù)學問題。怎么用代數(shù)方法去研究數(shù)學問題呢?需要同學們通過讀題、審題時緊緊抓住幾何對象,只有把幾何特征抓住、抓準,才有可能進行準確的代數(shù)化,用向量代數(shù)形式解決幾何問題。這是這個學科對我們考生的一個根本要求,同學們在復習的時候也應(yīng)該以此作為復習的目標。只有這樣,我們才有可能完成立體幾何的一些解題的目的。比方說選擇題第四小題,求雙曲線的離心率,那么離心率是多少,答案來看是四個當中的一個,雙曲線的形狀已經(jīng)確定,哪個條件來決定這個雙曲線的形狀是確定的?這是第一句話,也就是說,是雙曲線的漸近線,這是外圍線,這條直線。用代數(shù)方法解決拋物線和直線的相接問題,最后得出關(guān)于X的第二次方程,這樣可以利用代數(shù)的方法,方程得出為零,得出雙曲線和直線的關(guān)系,確定離心率值的問題。再比方說第十二題,選擇題的最后一題,這道題難度其實并不是很大,只要同學們注意到了平面解析幾何的特征,什么叫平面解析幾何呢?怎么用代數(shù)方法解決問題呢?要把題目中給你的代數(shù)條件或幾何條件搞清楚,把給的幾何元素的代數(shù)形式寫出來,這兩方面做到了,做好了,作題并不是很困難。首先根據(jù)題目中所給的這樣一些代數(shù)東西,把幾何特征找到,比方交點坐標找出來,右邊方程代數(shù)化。它又接著說有一個A點在右準線上,線段AF和橢圓交于點B,這時候好似同學們有一點疑惑,和B點,連接以后和橢圓交于點B,在什么位置上?在延長線上和橢圓相交,還是和橢圓直接相交。后面告訴我們了,向量FA等于三倍的向量FB。這涉及到幾何和向量交匯的問題。通過這樣的題目,B點就在F之間,焦點到準線距離是1,求AF的長度怎么來求?有右準線,有焦點,我們可以考慮定義,這樣求B點到準線距離可以利用BF向量和AF向量的比例關(guān)系,因為到F點的準線距離知道,也就知道B點到準線的距離,點B到右交點的距離就出來了。盡管是選擇題的最后一題,按照一般過去的經(jīng)驗來說,這道題有一定難度,但如果我們能夠抓住解析幾何的特征,充分利用解析幾何的思維方法和思維特征,用幾何的角度去分析它的代數(shù)形式,比方方程,它的坐標,用代數(shù)研究分析幾何特征,用幾何的東西考慮它要代數(shù)化。這門學科方法性特別強,我們在復習、答卷的時候要充分注意到這樣一個問題,包括最后那個大題二十一題。我們要想的是,半徑的變化范圍是由誰來決定的,顯然從題目中告訴我們,可以看到,它是由要求拋物線和圓交于四點,也有可能不交于四點,比方交于兩點甚至沒有交點。交于四點的幾何特征是什么?是解決這個題的關(guān)鍵。第二問也是這樣,由于相交R有一個范圍面積,A、B、C、D的面積在變化,求最大時候交點P點的坐標。從代數(shù)角度怎么考慮這個問題?這個時候我們可以考慮,面積在發(fā)生變化,一定是由某些量或者某一個量的變化引起它的變化,換句話說,面積是某一個量的函數(shù),這樣你就會把一個幾何最大最小的問題慢慢過渡到函數(shù)問題上來。既然要求P點的坐標,P點在X軸上,根據(jù)圖形的對稱性,P點的橫坐標是不是就是四邊形A、B、C、D面積的自變量,由于P點坐標的變化導致面積的變化?如果我們考慮到這一點,其實第二問的思路也就大致出來了。從這段時期來看,考察我們對學科特點的認識和把握應(yīng)該說是很突出的。像剛剛我們說的立體幾何里,我們常說的是空間想象能力,空間的問題能不能轉(zhuǎn)化平面的問題,會不會用向量來解決立體幾何問題。平面解析幾何就是要考察我們會不會用代數(shù)方法來解決問題。怎樣用代數(shù)方法解決幾何問題呢?從剛剛分析看到,有兩個環(huán)節(jié),第一個環(huán)節(jié),通過讀題以后,你能不能認識到問題中所描述的幾何對象的幾何特征是什么,要把它的幾何特征充分挖掘出來,我們才有可能準確進行代數(shù)化。有了代數(shù)形式之后,我們再利用代數(shù)的方法來解決它,解決完之后我們再復原成幾何結(jié)論,可以說這點學科特點非常鮮明。另外我感覺,有些試題比擬新穎一些,每年的高考題中都有一道兩道比擬出彩的題目,題目不見得難,但跳出了同學、學生常規(guī)的思維,因為考生在高三復習一年碰到大量的題目,但數(shù)學不是考你的記憶,你背的題型,而是考你的思維能力。怎樣考察你的思維能力?就是通過新穎的問題,讓你在看似陌生,但要給你創(chuàng)造一個范圍,不是常規(guī)的題型,這次高考也注意到這些問題。第六小題考察向量。我們看一下題目,說A、B、C是單位向量,單位向量A、B但成為零,說明兩個是垂直,求A-C這個向量和B-C這個向量的值?？催@個問題問的形式也還比擬新穎,同學們在答的時候要充分注意到,因為向量有代數(shù)的屬性和幾何的屬性,在解決這樣一個問題的時候,要首先從幾何角度去分析,A、B向量由于數(shù)量成積為零,兩個向量是垂直的,向量C是可以平移的,我平移過來之后,向量A、向量B和向量C是兩個互余的角,這樣也就為一個是用坐標,一個是用定義來求最小值,這是非常關(guān)鍵的,向量A、向量B是一個余角,這是非常關(guān)鍵的條件。這道題應(yīng)該說有一定新穎,突破高三復習中一些常規(guī)、常見的題型,對開展同學的思維能力是非常有意義的。從整個填空題來看,四道填空題,剛剛談到了二、三、四的題,第四題考了一個等差數(shù)列,第二十題考察了一個數(shù)列,整套試卷對主干知識考察非常重要,它首先是函數(shù),是一個非零自然數(shù)離散的自變量函數(shù),非常特殊。對于數(shù)列的考察,或者同學復習數(shù)列的時候,我認為首先一點要掌握它最根本的解題,分析題的方法和思路。比方第十四小題,他說等差數(shù)列,同學非常熟悉,前X9和等于72,可以把第五項算出來,求的是第二項加第四項加第九項等于多少。數(shù)列是個二元問題,求出等差才能求出通項,這很明顯有一個條件,所以不可能把首項和公差分別求出。同學在做這道題的時候要有整體代入的想法,整體代入的想法在數(shù)學思想方法中是很重要的方法。這道題不能把首項和公差分別求出,要采取不同的方法,由于A5算出來是8,A1+4D就是8,就是一個圓,不能再奢望求A1和公差,A1+A2+A9能得出多少公差和數(shù)列,這對考題考察是最根本的。簡單題里的數(shù)列問題看起來好象有點難度,但實際上同學們要分析的話,其實這道題并沒有超出我們平時復習,或者我們常常做的數(shù)列題的難度。我們來看這道題,如果我們不做,看一下這兩個問題可以發(fā)現(xiàn),如果第一問求出,就是BN,就是AN分之AN,你知道一個數(shù)列的通項公式當然也就可以求出同類項。這個問題解決難度大一點,第一個問題解決了第二問比擬順利。問題其實綜合給的條件是等式是這道題最關(guān)鍵的地方,你注意分析求什么數(shù)列,AN分之AN是數(shù)列的第一項,要把等式的右邊括號進行整理,整理出N分之AN乘以N+1,加上2的7次方的N+1,這么一通分之后,左邊兩項都有一個N+1,就可以等于兩邊通除N+1。對于這樣的關(guān)系式,同學們做題就容易一些了,這非常像等比數(shù)列的關(guān)系。但有一個問題,這是2的N次方分之一,怎么辦呢?我們只要在等式兩邊同乘2的N次方或者2的N次方加1,設(shè)一個乘數(shù)的大小,就會得出一個等比數(shù)量。即使簡答題的二十題已經(jīng)很靠后的題目,但考察的內(nèi)容都是非常根本的,只要這一天中復習到位,復習比擬扎實的話,這樣的數(shù)列問題我們是能夠拿下來的。我剛剛談到了,從這些卷子來看,包括第十九題概率題也是這樣,很常規(guī),兩個人圍棋比賽,做了一個規(guī)定,三局就是獲勝,給甲獲勝的概率,乙獲勝的概率,比擬獨立。前兩局中甲乙勝了一局,現(xiàn)在問你甲獲勝的概率比例是多少?你需要把情況分清楚,甲幾種情況就可以獲勝,因為它已經(jīng)勝了一局,特別注意乙已經(jīng)勝了一局,把題目條件想明白就行了,比方甲輸一場,不可能最后就輸,再贏兩場,或者先輸一局再贏兩局,都有可能的。甲再輸兩局呢?就不可能了,因為已經(jīng)勝了一局。這樣我們就把時機問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學的想法來思考,這樣題目也就比擬順利地能夠解決。從整個試卷的分析來看,我感覺