《基本不等式的證明》錯(cuò)誤解題分析

5.3《基本不等式的證明》錯(cuò)誤解題分析一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1、比較法：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡(jiǎn)稱為求差法)和商值比較法(簡(jiǎn)稱為求商法)。(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個(gè)整體；②變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形，或變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號(hào)，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法。(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若ａ，ｂ∈R+，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式；③判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時(shí)，一般使用商值比較法。2、綜合法：利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч保瑥摹耙阎笨础靶柚保鸩酵瞥觥敖Y(jié)論”。即從已知Ａ逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論Ｂ。3、分析法：是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個(gè)條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。用分析法證明書寫的模式是：為了證明命題Ｂ成立，只需證明命題Ｂ1為真，從而有…，這只需證明Ｂ2為真，從而又有…，……這只需證明Ａ為真，而已知Ａ為真，故Ｂ必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。4、反證法：有些不等式的證明，從正面證不好說(shuō)清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式Ａ>Ｂ，先假設(shè)Ａ≤Ｂ，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定Ａ>Ｂ。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反證法。5、換元法：換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來(lái)新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示。此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題；(2)增量換元法：在對(duì)稱式(任意交換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過換元達(dá)到減元，使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ進(jìn)行換元。二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1、在用商值比較法證明不等式時(shí)，要注意分母的正、負(fù)號(hào)，以確定不等號(hào)的方向。2、分析法與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面，前者執(zhí)果索因，利于思考，因?yàn)樗较蛎鞔_，思路自然，易于掌握；后者是由因?qū)Ч?，宜于表述，因?yàn)樗鼦l理清晰，形式簡(jiǎn)潔，適合人們的思維習(xí)慣。但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因?yàn)樗鼣⑹鲚^繁，如果把“只需證明”等字眼不寫，就成了錯(cuò)誤。而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程。因而證明不等式時(shí)，分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式，難以入手時(shí)常用分析法探索證題的途徑，之后用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應(yīng)人們習(xí)慣的思維規(guī)律。還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題的目的。這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系。分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn)。3、分析法證明過程中的每一步不一定“步步可逆”，也沒有必要要求“步步可逆”，因?yàn)檫@時(shí)僅需尋找充分條件，而不是充要條件。如果非要“步步可逆”，則限制了分析法解決問題的范圍，使得分析法只能使用于證明等價(jià)命題了。用分析法證明問題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語(yǔ)。4、反證法證明不等式時(shí)，必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出矛盾。5、在三角換元中，由于已知條件的限制作用，可能對(duì)引入的角有一定的限制，應(yīng)引起高度重視，否則可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。這是換元法的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，且要注意整體思想的應(yīng)用。三、經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1]已知a>b(ab),比較與的大小?！惧e(cuò)解】a>b(ab)，<?！惧e(cuò)因】簡(jiǎn)單的認(rèn)為大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大。正確的結(jié)論是：當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí)，大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大?！菊狻浚謅>b(ab)，(1)當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，即a>b>0或b<a<0時(shí)，則ab>0,b－a<0,,<。(2)當(dāng)a、b異號(hào)時(shí)，則a>0,b<0,>0,<0>。[例2]當(dāng)a、b為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式中最小的是（）A、B、C、D、【錯(cuò)解】所以選B?！惧e(cuò)因】是由于在、、中很容易確定最小，所以易誤選B。而事實(shí)上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正確的結(jié)論，就需要全面比較，不可遺漏與前三者的大小比較。【正解】由均值不等式及a2+b22ab,可知選項(xiàng)A、B、C中，最小，而＝，由當(dāng)ab時(shí)，a+b>2,兩端同乘以，可得（a+b）·＞2ab,＜，因此選D。[例3]已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值?！惧e(cuò)解】(a+)2+(b+)2=a2+b2+∴(a+)2+(b+)2的最小值是8。++4≥2ab++4≥4+4=8,【錯(cuò)因】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=,第二次等號(hào)成立的條件是ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值?！菊狻吭?a2+b2+)+4，++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4=(1－2ab)(1+由ab≤()2=得：1－2ab≥1－=,且≥16，1+≥17，∴原式≥×17+4=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)，∴(a+)2+(b+)2的最小值是。[例4]已知0<x<1,0<a<1，試比較的大小。解法一：∵0<1-x2<1,∴∴解法二：∵0<1-x2<1,1+x>1,∴∴∴解法三：∵0<x<1,∴0<1-x<1,1<1+x<2,∴∴左-右=∵0<1-x2<1,且0<a<1∴∴[例5]已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd證法一（分析法）∵a,b,c,d,x,y都是正數(shù)∴要證：xy≥ac+bd只需證：(xy)2≥(ac+bd)2即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd展開得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd即：a2d2+b2c2≥2abcd由基本不等式，顯然成立∴xy≥ac+bd證法二（綜合法）xy=≥證法三（三角代換法）∵x2=a2+b2，∴不妨設(shè)a=xsinα,b=xcosαy2