高等數(shù)學(xué)方明亮版數(shù)學(xué)課件傅立葉級數(shù)

第六節(jié)傅立葉級數(shù)第十章(FourierSeries)一、三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性二、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)四、周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)五、小結(jié)與思考練習(xí)10/29/20221一、三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性(Trigonometricseries)簡單的周期運動:(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運動:令得函數(shù)項級數(shù)為角頻率,φ為初相

)(諧波迭加)稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).10/29/20222證:同理可證:正交,上的積分等于0.即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在定理1組成三角級數(shù)的函數(shù)系10/29/20223上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在10/29/20224二、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)(ExpandingtoFourierseries)定理2

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且右端級數(shù)可逐項積分,則有證:由定理條件,①②對①在逐項積分,得10/29/20225(利用正交性)類似地,用sinkx乘①式兩邊,再逐項積分可得10/29/20226葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)①稱為的傅里葉系數(shù);由公式②確定的①②以的傅里的傅里葉級數(shù).稱為函數(shù)10/29/20227設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有

x為間斷點其中(證明略

)為f(x)

的傅里葉系數(shù).

x為連續(xù)點注意:

函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.定理3(收斂定理,展開定理)10/29/20228設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為解:先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級數(shù).例110/29/20229機動目錄上頁下頁返回結(jié)束10/29/2022101)根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于2)傅氏級數(shù)的部分和逼近f(x)的情況見右圖.說明:10/29/202211上的表達(dá)式為將f(x)展成傅里葉級數(shù).（由課本例2改編）解:設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在例210/29/202212說明:當(dāng)時,級數(shù)收斂于10/29/202213周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數(shù)其它定義在[–,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)展開法10/29/202214級數(shù).（自學(xué)課本例4）則解:將f(x)延拓成以展成傅里葉2為周期的函數(shù)F(x),例3將函數(shù)10/29/202215利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.當(dāng)x=0時,f(0)=0,得說明:10/29/202216設(shè)已知又10/29/202217三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1.正弦級數(shù)和余弦級數(shù)的概念定理4

對周期為2的奇函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為周期為2的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù)

,它的傅里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為(Sineseriesandcosineseries)10/29/202218的表達(dá)式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級數(shù).（課本例6）是周期為2的周期函數(shù),它在解:若不計周期為2的奇函數(shù),因此例4設(shè)10/29/202219n＝1根據(jù)收斂定理可得f(x)的正弦級數(shù):級數(shù)的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情況見右圖.n＝510/29/202220展成傅里葉級數(shù).解:是周期為2的周期偶函數(shù),因此例5將周期函數(shù)（課本例7）10/29/20222110/29/202222周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓正弦級數(shù)f(x)在[0,]上展成2.函數(shù)展開為正弦級數(shù)或余弦級數(shù)10/29/202223分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù).（課本例8）解:

先求正弦級數(shù).去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,例6將函數(shù)10/29/202224注意:在端點x=0,,級數(shù)的和為0,與給定函數(shù)因此得f(x)=x+1的值不同.10/29/202225將則有作偶周期延拓,再求余弦級數(shù).10/29/202226說明:令

x=0可得即10/29/20222710/29/202228四、周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)周期為2l函數(shù)f(x)周期為2

函數(shù)F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開f(x)的傅氏展開式10/29/202229設(shè)周期為2l

的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理條件,則它的傅里葉展開式為(在f(x)的連續(xù)點處)其中定理510/29/202230,則令則所以且它滿足收斂定理條件,將它展成傅里葉級數(shù):(在F(z)的連續(xù)點處)變成是以2為周期的周期函數(shù),證明:令10/29/202231其中令(在f(x)的連續(xù)點處)證畢10/29/202232其中(在f(x)的連續(xù)點處)如果

f(x)

為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點處)其中注:

無論哪種情況,在f(x)的間斷點x處,傅里葉級數(shù)收斂于如果f(x)為奇函數(shù),則有說明:10/29/202233展開成(1)正弦級數(shù);(2)余弦級數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k處級數(shù)收斂于何值?例8把10/29/202234作偶周期延拓,則有(2)將10/29/202235說明:此式對也成立,由此還可導(dǎo)出據(jù)此有（自行練習(xí)課本例10~11）10/29/202236方法1令即在上展成傅里葉級數(shù)周期延拓將在代入展開式上的傅里葉級數(shù)其傅里葉展開方法:當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,10/29/202237令在上展成正弦或余弦級數(shù)奇或偶式周期延拓將代入展開式在即上的正弦或余弦級數(shù)方法210/29/202238展成傅里葉級數(shù).解:令設(shè)將F(z)延拓成周期為10的周期函數(shù),理條件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定例9將函數(shù)（課本例12）10/29/202239內(nèi)容小結(jié)1.周期為2的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理其中注意:若為間斷點,則級數(shù)收斂于2.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)

奇函數(shù)正弦級數(shù)

偶函數(shù)余弦級數(shù)10/29/2022403.在[0,]上函數(shù)的傅里葉展開法

作奇周期延拓,展開為正弦級數(shù)

作偶周期延拓,展開為余弦級數(shù)為正弦級數(shù).4.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式(x

間斷點)其中當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時,(偶)(余弦)5.在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓10/29/202241課外練習(xí)習(xí)題10－61；2(1)；3(2)；4；6思考練習(xí)1.

在[0,]上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎?答:不唯一,延拓方式不同級數(shù)就不同.傅氏級數(shù)的和函數(shù).2.寫出函數(shù)答案:10/29/202242處收斂于則它的傅里葉級數(shù)在在處收斂于

.提示:設(shè)周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為

,3.10/29/202243又設(shè)求當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式.解:由題設(shè)可知應(yīng)對作奇延拓:由周期性:為周期的正弦級數(shù)展開式的和函數(shù),定義域4.設(shè)10/29/202244數(shù)展式為則其中系數(shù)提示:利用“偶倍奇零”(93考研)的傅里葉級5.10/29/202245是以2為周期的函數(shù),其傅氏系數(shù)為則的傅氏系數(shù)提示:令6.設(shè)10/29/202246立葉級數(shù),并由此求級數(shù)(91考研)

解:為偶函數(shù),因f(x)偶延拓后在展開成以2為周期的傅的和.故得7.10/29/202247得故10/29/202248傅里葉(1768–1830)法國數(shù)學(xué)家.他的著作《熱的解析理論》(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性書中系統(tǒng)的運用了三角級數(shù)和三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分.

最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的文獻(xiàn),他深信數(shù)學(xué)是解決實際問題傅里葉分析對近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.10/29/20