全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一考試大綱

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高等數學一、函數、極限、連續(xù)

考試內容：函數的概念及表示法函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性復合函數、反函數、分段函數和隱函數基本初等函數的性質及其圖形初等函數函數關系的建立

數列極限與函數極限的定義及其性質函數的左極限與右極限無窮小量和

無窮大量的概念

及其關系無窮

小量的性質及無

窮小量的比較

極限的四則運算

極限存在的兩個

準則：單調有界

準則和夾逼準則

兩個重要極限:，

函數連續(xù)的

概念函數間斷

點的類型初等

函數的連續(xù)性

閉區(qū)間上連續(xù)函

數的性質

考試要求

1．理解函數的概

念，掌握函數的

表示法，會建立

應用問題的函數

關系.

2．了解函數的有

界性、單調性、

周期性和奇偶

性．

3．理解復合函數

及分段函數的概

念，了解反函數

及隱函數的概

念．

4．掌握基本初等

函數的性質及其

圖形，了解初等

函數的概念.

5．理解極限的概

念，理解函數左

極限與右極限的

概念以及函數極

限存在與左、右

極限之間的關

系．

6．掌握極限的性

質及四則運算法

則.

7．掌握極限存在

的兩個準則，并

會利用它們求極

限，掌握利用兩

個重要極限求極

限的方法．

8．理解無窮小

量、無窮大量的

概念，掌握無窮

小量的比較方

法，會用等價無

窮小量求極限．

9．理解函數連續(xù)

性的概念（含左

連續(xù)與右連續(xù)），

會判別函數間斷

點的類型．

10．了解連續(xù)函

數的性質和初等

函數的連續(xù)性，

理解閉區(qū)間上連

續(xù)函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質．

二、一元函數微分學

考試內容：導數和微分的概念導數的幾何意義和物理意義函數的可導性與連續(xù)性之間的關系平面曲線的切線和法線導數和微分的四則運算基本初等函數的導數復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法高

階導數一階微

分形式的不變性

微分中值定理

洛必達法則函

數單調性的判別

函數的極值函

數圖形的凹凸

性、拐點及漸近

線函數圖形的

描繪函數的最

大值和最小值

弧微分曲率的

概念曲率圓與

曲率半徑

考試要求

1.理解導數和微

分的概念，理解

導數與微分的關

系，理解導數的

幾何意義，會求

平面曲線的切線

方程和法線方

程，了解導數的

物理意義，會用

導數描述一些物

理量，理解函數

的可導性與連續(xù)

性之間的關系．

2．掌握導數的四

則運算法則和復

合函數的求導法

則，掌握基本初

等函數的導數公

式．了解微分的

四則運算法則和

一階微分形式的

不變性，會求函

數的微分．

3．了解高階導數

的概念，會求簡

單函數的高階導

數．

4．會求分段函數

的導數，會求隱

函數和由參數方

程所確定的函數

以及反函數的導

數.

5．理解并會用羅

爾(Rolle)定理、

拉格朗日

(Lagrange)中值

定理和泰勒

(Taylor)定理，

了解并會用柯西

中值定理．

6．掌握用洛必達

法則求未定式極

限的方法．

7．理解函數的極

值概念，掌握用

導數判斷函數的

單調性和求函數

極值的方法，掌

握函數最大值和

最小值的求法及其應用．

8．會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形．9．了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑．

三、一元函數積分學

考試內容：原函數和不定積分的概念不定積分的基本性質基本積分公式定積分的概念和基本性質定積

分中值定理積

分上限的函數及

其導數牛頓一

萊布尼茨公式

不定積分和定積

分的換元積分法

與分部積分法

有理函數、三角

函數的有理式和

簡單無理函數的

積分反常（廣

義）積分定積

分的應用

考試要求

1．理解原函數的

概念，理解不定

積分和定積分的

概念．

2．掌握不定積分

的基本公式，掌

握不定積分和定

積分的性質及定

積分中值定理，

掌握換元積分法

與分部積分法．

3．會求有理函

數、三角函數有

理式和簡單無理

函數的積分．

4．理解積分上限

的函數，會求它

的導數，掌握牛

頓－萊布尼茨公

式．

5．了解反常積分

的概念，會計算

反常積分．

6．掌握用定積分

表達和計算一些

幾何量與物理量

（平面圖形的面

積、平面曲線的

弧長、旋轉體的

體積及側面積、

平行截面面積為

已知的立體體

積、功、引力、

壓力、質心、形

心等）及函數的

平均值．

四、向量代數和

空間解析幾何

考試內容：

向量的概念向

量的線性運算

向量的數量積和

向量積向量的

混合積兩向量

垂直、平行的條

件兩向量的夾

角向量的坐標

表達式及其運算

單位向量方向

數與方向余弦

曲面方程和空間

曲線方程的概念平面方程、直線方程平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件點到平面和點到直線的距離球面柱面旋轉曲面常用的二次曲面方程及其圖形空間曲線的參數方程和一般方程空間曲線在坐標面上的投影曲線方程

考試要求1.理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的運

算（線性運算、

數量積、向量積、

混合積），了解兩

個向量垂直、平

行的條件.

3.理解單位向

量、方向數與方

向余弦、向量的

坐標表達式，掌

握用坐標表達式

進行向量運算的

方法.

4.掌握平面方程

和直線方程及其

求法.

5．會求平面與平

面、平面與直線、

直線與直線之間

的夾角，并會利

用平面、直線的

相互關系（平行、

垂直、相交等）

解決有關問題.

6．會求點到直線

以及點到平面的

距離.

7.了解曲面方程

和空間曲線方程

的概念.

8.了解常用二次

曲面的方程及其

圖形，會求簡單

的柱面和旋轉曲

面的方程.

9.了解空間曲線

的參數方程和一

般方程.了解空

間曲線在坐標平

面上的投影，并

會求該投影曲線

的方程.

五、多元函數微

分學

考試內容：多元

函數的概念二

元函數的幾何意

義二元函數的

極限與連續(xù)的概

念有界閉區(qū)域上

多元連續(xù)函數的

性質多元函數

的偏導數和全微

分全微分存在

的必要條件和充

分條件多元復

合函數、隱函數

的求導法二階

偏導數方向導

數和梯度空間

曲線的切線和法

平面曲面的切

平面和法線二

元函數的二階泰

勒公式多元函

數的極值和條件

極值多元函數的最大值、最小值及其簡單應用考試要求

1．理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義.

2．了解二元函數的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質.

3．理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.4．理解方向導數與梯度的概念，

并掌握其計算方

法.

5．掌握多元復合

函數一階、二階

偏導數的求法.

6．了解隱函數存

在定理，會求多

元隱函數的偏導

數.

7．了解空間曲線

的切線和法平面

及曲面的切平面

和法線的概念，

會求它們的方

程.

8．了解二元函數

的二階泰勒公

式.

9．理解多元函數

極值和條件極值

的概念，掌握多

元函數極值存在

的必要條件，了

解二元函數極值

存在的充分條

件，會求二元函

數的極值，會用

拉格朗日乘數法

求條件極值，會

求簡單多元函數

的最大值和最小

值，并會解決一

些簡單的應用問

題.

六、多元函數積

分學

考試內容：

二重積分與三重

積分的概念、性

質、計算和應用

兩類曲線積分的

概念、性質及計

算兩類曲線積

分的關系格林

公式平面曲線

積分與路徑無關

的條件二元函

數全微分的原函

數兩類曲面積

分的概念、性質

及計算兩類曲

面積分的關系

高斯公式斯托

克斯公式散

度、旋度的概念

及計算曲線積

分和曲面積分的

應用

考試要求

1．理解二重積

分、三重積分的

概念，了解重積

分的性質，了解

二重積分的中值

定理.

2．掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）.

3．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系.4．掌握計算兩類曲線積分的方法.

5．掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數全微分的原函數.6．了解兩類曲面積分的概念、性

質及兩類曲面積

分的關系，掌握

計算兩類曲面積

分的方法，掌握

用高斯公式計算

曲面積分的方

法，并會用斯托

克斯公式計算曲

線積分.

7．了解散度與旋

度的概念，并會

計算.

8．會用重積分、

曲線積分及曲面

積分求一些幾何

量與物理量（平

面圖形的面積、

體積、曲面面積、

弧長、質量、質

心、形心、轉動

慣量、引力、功

及流量等）.

七、無窮級數

考試內容：

常數項級數的收

斂與發(fā)散的概念

收斂級數的和的

概念級數的基

本性質與收斂的

必要條件幾何

級數與級數及

其收斂性正項

級數收斂性的判

別法交錯級數

與萊布尼茨定理

任意項級數的絕

對收斂與條件收

斂函數項級數

的收斂域與和函

數的概念冪級

數及其收斂半

徑、收斂區(qū)間（指

開區(qū)間）和收斂

域冪級數的和

函數冪級數在

其收斂區(qū)間內的

基本性質簡單冪

級數的和函數的

求法初等函數

的冪級數展開式

函數的傅里葉系

數與傅里葉級數

狄利克雷定理

函數的傅里葉級

數函數的正弦

級數和余弦級數

考試要求

1．理解常數項級

數收斂、發(fā)散以

及收斂級數的和

的概念，掌握級

數的基本性質及

收斂的必要條

件.

2．掌握幾何級數

與p級數的收斂與發(fā)散的條件.3．掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法.

4．掌握交錯級數的萊布尼茨判別法.

5.了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系.6．了解函數項級數的收斂域及和函數的概念.7．理解冪級數收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的

求法.

8．了解冪級數在

其收斂區(qū)間內的

基本性質（和函

數的連續(xù)性、逐

項求導和逐項積

分），會求一些冪

級數在收斂區(qū)間

內的和函數，并

會由此求出某些

數項級數的和.

9．了解函數展開

為泰勒級數的充

分必要條件.

10．掌握ex,

sinx,cosx,

ln(1+x)及

(1+x)α的麥克勞

林展開式，會用

它們將一些簡單

函數間接展開成

冪級數.

11．了解傅里葉

級數的概念和狄

利克雷收斂定

理，會將函數展

開為傅里葉級

數，會將函數展

開為正弦級數與

余弦級數，會寫

出傅里葉級數的

和函數的表達

式.

八、常微分方程

考試內容：

常微分方程的基

本概念變量可

分離的微分方程

齊次微分方程

一階線性微分方

程伯努利

（Bernoulli）方

程全微分方程

可用簡單的變量

代換求解的某些

微分方程可降

階的高階微分方

程線性微分方

程解的性質及解

的結構定理二

階常系數齊次線

性微分方程高

于二階的某些常

系數齊次線性微

分方程簡單的

二階常系數非齊

次線性微分方程

歐拉（Euler）方

程微分方程的

簡單應用

考試要求

1．了解微分方程

及其階、解、通

解、初始條件和

特解概念.

2．掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程解法．

3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程

4．會用降階法解下列形式的微分方程：．5．理解線性微分方程解的性質及解的結構．6．掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程.7．會解自由項為

多項式、指數函

數、正弦函數、

余弦函數以及它

們的和與積的二

階常系數非齊次

線性微分方程．

8．會解歐拉方

程．

9．會用微分方程

解決一些簡單的

應用問題．

線性代數

一、行列式

考試內容

行列式的概念和

基本性質行列

式按行（列）展

開定理

考試要求

1．了解行列式的

概念，掌握行列

式的性質．

2．會應用行列式

的性質和行列式

按行（列）展開

定理計算行列

式．

二、矩陣

考試內容：

矩陣的概念矩

陣的線性運算

矩陣的乘法方

陣的冪方陣乘

積的行列式矩

陣的轉置逆矩

陣的概念和性質

矩陣可逆的充分

必要條件伴隨

矩陣矩陣的初

等變換初等矩

陣矩陣的秩

矩陣的等價分

塊矩陣及其運算

考試要求

1．理解矩陣的概

念，了解單位矩

陣、數量矩陣、

對角矩陣、三角

矩陣、對稱矩陣

和反對稱矩陣，

以及它們的性

質．

2．掌握矩陣的線

性運算、乘法、

轉置以及它們的

運算規(guī)律，了解

方陣的冪與方陣

乘積的行列式的

性質.

3．理解逆矩陣的

概念，掌握逆矩

陣的性質，以及

矩陣可逆的充分

必要條件，理解

伴隨矩陣的概

念，會用伴隨矩陣求逆矩陣．

4．理解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法．5．了解分塊矩陣及其運算．三、向量

考試內容：向量的概念向量的線性組合與線性表示向量組的線性相關與線性無關向量組的極大線性無關組等價向量組向量組的秩

向量組的秩與矩

陣的秩之間的關

系向量空間及其

相關概念維向

量空間的基變換

和坐標變換過

渡矩陣向量的

內積線性無關

向量組的正交規(guī)

范化方法規(guī)范

正交基正交矩

陣及其性質

考試要求

1．理解維向量、

向量的線性組合

與線性表示的概

念．

2．理解向量組線

性相關、線性無

關的概念，掌握

向量組線性相

關、線性無關的

有關性質及判別

法．

3．理解向量組的

極大線性無關組

和向量組的秩的

概念，會求向量

組的極大線性無

關組及秩

4．理解向量組等

價的概念，理解

矩陣的秩與其行

(列)向量組的秩

之間的關系.

5．了解維向量

空間、子空間、

基底、維數、坐

標等概念．

6．了解基變換和

坐標變換公式，

會求過渡矩陣．

7．了解內積的概

念，掌握線性無

關向量組正交規(guī)

范化的施密特

（Schmidt）方

法．

8．了解規(guī)范正交

基、正交矩陣的

概念以及它們的

性質．

四、線性方程組

考試內容:

線性方程組的克

萊姆法則齊次

線性方程組有非

零解的充分必要

條件非齊次線

性方程組有解的

充分必要條件線

性方程組解的性

質和解的結構

齊次線性方程組

的基礎解系和通

解解空間非齊

次線性方程組的

通解

考試要求l．會用克萊姆法則．

2．理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件．3．理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法.4．理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念．

5．掌握用初等行變換求解線性方

程組的方法．

五、矩陣的特征

值和特征向量

考試內容:

矩陣的特征值和

特征向量的概

念、性質相似變

換、相似矩陣的

概念及性質矩

陣可相似對角化

的充分必要條件

及相似對角矩陣

實對稱矩陣的特

征值、特征向量

及其相似對角矩

陣

考試要求:

1．理解矩陣的特

征值和特征向量

的概念及性質，

會求矩陣的特征

值和特征向量.

2．理解相似矩陣

的概念、性質及

矩陣可相似對角

化的充分必要條

件，掌握將矩陣

化為相似對角矩

陣的方法.

3．掌握實對稱矩

陣的特征值和特

征向量的性質．

六、二次型

考試內容：

二次型及其矩陣

表示合同變換

與合同矩陣二

次型的秩慣性

定理二次型的

標準形和規(guī)范形

用正交變換和配

方法化二次型為

標準形二次型

及其矩陣的正定

性

考試要求

1．掌握二次型及

其矩陣表示，了

解二次型秩的概

念，了解合同變

換與合同矩陣的

概念，了解二次

型的標準形、規(guī)

范形的概念以及

慣性定理．

2．掌握用正交變

換化二次型為標

準形的方法，會

用配方法化二次

型為標準形．

3．理解正定二次

型、正定矩陣的

概念，并掌握其

判別法．

考研老師私人扣

扣：

概率論與數理統(tǒng)

計

一、隨機事件和概率

考試內容：隨機事件與樣本空間事件的關系與運算完備事件組概率的概念概率的基本性質古典型概率幾何型概率條件概率概率的基本公式事件的獨立性獨立重復試驗

考試要求1．了解樣本空間(基本事件空間)的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關系及運算．

2．理解概率、條

件概率的概念，

掌握概率的基本

性質，會計算古

典型概率和幾何

型概率，掌握概

率的加法公式、

減法公式、乘法

公式、全概率公

式，以及貝葉斯

公式．

3．理解事件獨立

性的概念，掌握

用事件獨立性進

行概率計算；理

解獨立重復試驗

的概念，掌握計

算有關事件概率

的方法．

二、隨機變量及

其分布

考試內容

隨機變量隨機

變量分布函數的

概念及其性質

離散型隨機變量

的概率分布連

續(xù)型隨機變量的

概率密度常見

隨機變量的分布

隨機變量函數的

分布

考試要求

1．理解隨機變量

的概念，理解分

布函數

的概念及性質，

會計算與隨機變

量相聯(lián)系的事件

的概率．

2．理解離散型隨

機變量及其概率

分布的概念，掌

握0－1分布、二

項分布、幾何分

布、超幾何分布、

泊松分布及其應

用．

3.了解泊松定理

的結論和應用條

件，會用泊松分

布近似表示二項

分布.

4．理解連續(xù)型隨

機變量及其概率

密度的概念，掌

握均勻分布、正

態(tài)分布、指數分

布及其應用，

5．會求隨機變量

函數的分布．

三、多維隨機變

量及其分布

考試內容：

多維隨機變量及

其分布二維離

散型隨機變量的

概率分布、邊緣

分布和條件分布

二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度隨機變量的獨立性和不相關性常用二維隨機變量的分布兩個及兩個以上隨機變量簡單函數的分布

考試要求1．理解多維隨機變量的概念，理解多維隨機變量的分布的概念和性質.理解二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、邊緣

密度和條件密

度，會求與二維

隨機變量相關事

件的概率．

2．理解隨機變量

的獨立性及不相

關性的概念，掌

握隨機變量相互

獨立的條件.

3．掌握二維均勻

分布，了解二維

正態(tài)分布的概率

密度，理解其中

參數的概率意

義．

4．會求兩個隨機

變量簡單函數的

分布，會求多個

相互獨立隨機變

量簡單函數的分

布.

四、隨機變量的

數字特征

考試內容

隨機變量的數學

期望（均值）、方

差、標準差及其

性質隨機變量

函數的數學期望

矩、協(xié)方差、相

關系數及其性質

考試要求

1．理解隨機變量

數字特征（數學

期望、方差、標

準差、矩、協(xié)方

差、相關系數）

的概念，會運用

數字特征的基本

性質，并掌握常

用分布的數字特

征

2.會求隨機變量

函數的數學期