新人教數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)74直線平面平行的判定及性質(zhì)(含答案解析)

第4課時(shí)直線、平面平行的判斷及性質(zhì)1．以立體幾何的定義、公義和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)和判判定理．2．能運(yùn)用公義、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P119]【梳理自測(cè)】一、直線與平面平行的判斷與性質(zhì)1．設(shè)

m，l

表示直線，α表示平面，若

m?

α，則

l∥α是

l∥m

的(

)A．充分不用要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不用要條件2．若兩條直線都與一個(gè)平面平行，則這兩條直線的地址關(guān)系是

(

)A．平行

B．訂交C．異面

D．以上均有可能AMAN3．如圖，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若MB＝ND，則直線MN與平面BDC的地址關(guān)系是________．答案：1.D2.D3.平行◆以上題目主要觀察了以下內(nèi)容：判斷性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝?a?α，b?αa∥ba∥αa?α，a?βα∩β＝b結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b二、平面與平面平行的判斷與性質(zhì)1．以下條件中，能判斷兩個(gè)平面平行的是()A．一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面B．一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面C．一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面D．一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面2．已知α∥β，a?α，B∈β，則在β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的所有直線中( )A．不用然存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一一條與a平行的直線3．給出以下關(guān)于互不相同的直線l、m、n和平面α、β、γ的三個(gè)命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題為_(kāi)_______．答案：1.D2.D3.③◆以上題目主要觀察了以下內(nèi)容：判斷性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝?結(jié)論α∥β

a?β，b?βa∩b＝Pa∥α，b∥αα∥β

α∥βα∩γ＝α∥β，a?βa，β∩γ＝ba∥ba∥α【指點(diǎn)迷津】1．一個(gè)基本點(diǎn)線線平行是空間中所有平行的基本點(diǎn)．2．一其中心線面平行是空間所有平行關(guān)系的中心，由此可得線線平行，線面平行．3．三種方法面面平行判斷的落腳點(diǎn)是線面平行，因此掌握線面平行的判斷方法是必要的，判斷線面平行的三種方法：(1)利用定義：判斷直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)(一般結(jié)合反證法進(jìn)行)；(2)利用線面平行的判判定理；(3)利用面面平行的性質(zhì)，即當(dāng)兩平面平行時(shí)，其中一平面內(nèi)的任素來(lái)線平行于另一平面．4．六個(gè)平行轉(zhuǎn)變關(guān)系[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P120]考向素來(lái)線與平面平行的判斷與性質(zhì)(2013·山東高考改編)如圖，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．(1)求證：MN∥AB；(2)求證：CE∥面PAD.【審題視點(diǎn)】(1)由中點(diǎn)聯(lián)想中位線MN∥DC∥AB.(2)可在PAD中尋作與CE平行的線，也許利用面CEF∥面PAD，證CE∥面PAD.【典例精講】(1)∵M(jìn)、N為PD、PC的中點(diǎn)，MN∥DC，又∵DC∥AB，MN∥AB.(2)證法一：如圖(1)，取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH.因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，1因此EH∥AB，EH＝2AB.1又AB∥CD，CD＝2AB，因此EH∥CD，EH＝CD.因此四邊形DCEH是平行四邊形．因此CE∥DH.又DH?平面PAD，CE?平面PAD，因此CE∥平面PAD.證法二：如圖(2)，連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，1因此AF＝2AB.1又CD＝2AB，因此AF＝CD.又AF∥CD，因此四邊形AFCD為平行四邊形．因此CF∥AD.又CF?平面PAD，因此CF∥平面PAD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，因此EF∥PA.又EF?平面PAD，因此EF∥平面PAD.因?yàn)镃F∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE?平面CEF，因此CE∥平面PAD.【類題通法】(1)證明直線與平面平行的要點(diǎn)是想法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特色，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，也許構(gòu)造平行四邊形、搜尋比率式證明兩直線平行．注意說(shuō)明已知的直線不在平面內(nèi)．(2)證明直線與平面平行的方法：①利用定義結(jié)合反證；②利用線面平行的判判定理；③利用面面平行的性質(zhì)．1．(2014·江模擬湛)如圖，在直三棱柱(側(cè)菱與底面垂直的三棱柱)ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．求證：AC1∥平面CDB1.證明：設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連接DE，∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)，DE∥AC1.DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.考向二平面與平面平行的判斷與性質(zhì)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，若Q是CC1上的中點(diǎn)．證明：平面D1BQ∥平面PAO.【審題視點(diǎn)】利用OP∥D1B，AP∥BQ，證明結(jié)論．【典例精講】∵Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，∴QB∥PA.∵P，O分別為DD1，DB的中點(diǎn)，∴D1B∥PO.又∵D1B?平面PAO，PO?平面PAO，QB?平面PAO，PA?平面PAO，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB?平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.【類題通法】(1)要證面面平行需證線面平行，要證線面平行需證線線平行，因此“面面平行”問(wèn)題最后轉(zhuǎn)變成“線線平行”問(wèn)題來(lái)解決．(2)利用面面平行時(shí)，要作輔助面，使之與兩面有交線得出線線平行．2．以下列圖，ABCD－A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，APa，過(guò)P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________．3解析：∵面ABCD∥面A1B1C1D1且面ABCD∩面PMNQ＝PQ，面A1B1C1D1∩面PMNQ＝MN.MN∥PQ，MB1∥QD∴∠B1MN＝∠DQP＝45°，PDQ＝∠MB1N＝90°.又∵AP＝a，∴PD＝2a，∴PQ＝22a.333答案：223a考向三空間平行的研究問(wèn)題(2014·東城區(qū)綜合練習(xí)

)一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖以下列圖，

其中

M，N

分別是

AB，AC

的中點(diǎn)，

G是

DF上的一動(dòng)點(diǎn)．(1)求該多面體的體積與表面積；(2)當(dāng)FG＝GD時(shí)，在棱AD上確定一點(diǎn)P，使得GP∥平面FMC，并給出證明．【審題視點(diǎn)】

(1)由三視圖得出幾何體的特色，計(jì)算體積．(2)猜想

P在

AD

上的地址來(lái)證明

GP∥面

FMC.【典例精講】

(1)由題中圖可知該多面體為直三棱柱，在

△ADF

中，AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a，因此該多面體的體積為

1a3，表面積為2

1a2×2＋2

2a2＋a2＋a2＝(3＋

2)a2.(2)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，GP∥平面FMC.取FC的中點(diǎn)H，連接GH，GA，MH.1∵G是DF的中點(diǎn)，∴GH綊2CD.又M是AB的中點(diǎn)，1∴AM綊2CD.∴GH∥AM且GH＝AM，∴四邊形GHMA是平行四邊形．∴GA∥MH.MH?平面FMC，GA?平面FMC，∴GA∥平面FMC，即當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，GP∥平面FMC.【類題通法】解決研究性問(wèn)題一般要采用執(zhí)果索因的方法，假設(shè)求解的結(jié)果存在，這個(gè)結(jié)果出發(fā)，搜尋使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，若是找到了吻合題目結(jié)果要求的條件，存在；若是找不到吻合題目結(jié)果要求的條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在．

從則3．如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上可否存在一點(diǎn)F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求點(diǎn)F的地址；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原由．解：存在這樣的點(diǎn)F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此時(shí)點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，證明以下：AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四邊形AFCD是平行四邊形，∴AD∥CF，又AD?平面ADD1A1，CF?平面ADD1A1，CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1，CC1∥平面ADD1A1，又CC1、CF?平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P121]空間平行關(guān)系的轉(zhuǎn)變研究(2013·高考陜西卷)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的體積．【方法解析】①題目條件：斜四棱柱中有很多平行關(guān)系：側(cè)棱BB1∥DD1，底面內(nèi)AB∥DC，相對(duì)側(cè)面平行，上下底面平行．垂直有A1O⊥面ABCD，DA⊥AB.邊長(zhǎng)有AB＝AA1＝2.②解題目標(biāo)：(ⅰ)證明截面A1BD∥CD1B1；(ⅱ)求棱柱體積．③關(guān)系研究：(ⅰ)BB1綊DD1?DB∥D1B1?DB∥面CD1B1，同理A1B∥面CD1B1可推證結(jié)論．(ⅱ)A1O⊥底面ABCD?V＝Sh.【解題過(guò)程】(1)證明：由題設(shè)知，BB1綊DD1，∴四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.A1D1綊B1C1綊BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．1又AO＝2AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－OA2＝1.1又S△ABD＝2×2×2＝1，V三棱柱ABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.1．(2013高·考廣東卷)設(shè)l為直線，α，β是兩個(gè)不相同的平面．以下命題中正確的選項(xiàng)是

(

)A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析：選B.利用相應(yīng)的判判定理或性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，可以參照教室內(nèi)存在的線面關(guān)系輔助解析．選項(xiàng)A，若l∥α，l∥β，則α和β可能平行也可能訂交，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)選項(xiàng)選項(xiàng)

B，若C，若D，若

l⊥α，l⊥β，則α∥β，故正確；l⊥α，l∥β，則α⊥β，故錯(cuò)誤；α⊥β，l∥α，則l與β的地址關(guān)系有三種可能：

l⊥β，l∥β，

l?

β，故錯(cuò)誤．應(yīng)選

B.2．(2012

高·考四川卷

)以下命題正確的選項(xiàng)是

(

)A．若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C．若一條直線平行于兩個(gè)訂交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行解析：選

C.利用線面地址關(guān)系的判斷和性質(zhì)解答．A錯(cuò)誤，如圓錐的任意兩條母線與底面所成的角相等，但兩條母線訂交；

B錯(cuò)誤，△ABC

的三個(gè)極點(diǎn)中，

A、B在α的同側(cè)，而點(diǎn)

C在α的另一側(cè)，且

AB

平行于α，此時(shí)可有A、B、C

三點(diǎn)到平面

α距離相等，但兩平面訂交；

D錯(cuò)誤，如教室中兩個(gè)相鄰墻面都與地面垂直，但這兩個(gè)面訂交，應(yīng)選

C.3．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于________．解析：∵EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F為DC的中點(diǎn)．1故EF＝AC＝2.2答案：24．(2013高·考安徽卷)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則以下命題正確的選項(xiàng)是________(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))．①當(dāng)0<CQ<12時(shí)，S為四邊形；1②當(dāng)CQ＝時(shí)，S為等腰梯形；③當(dāng)CQ＝3時(shí)，S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R＝1；433④當(dāng)4<CQ<1時(shí)，S為六邊形；6⑤當(dāng)CQ＝1時(shí)，S的面積為2.解析：利用平面的基本性質(zhì)結(jié)合特別四邊形的判斷與性質(zhì)求解．①當(dāng)0<CQ<12時(shí)，如圖(1)．在平面AA1D1D內(nèi)，作AE∥PQ，顯然E在棱DD1上，連接EQ，則S是四邊形APQE.1②當(dāng)CQ＝時(shí)，如圖(2)．顯然PQ∥BC1∥AD1，連接D1Q，則S是等腰梯形．③當(dāng)CQ＝3時(shí)，如圖