第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)課件

10/30/20221:30AM§2.7一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1.函數(shù)的連續(xù)性2.函數(shù)的間斷點(diǎn)3.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則4.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)習(xí)戰(zhàn)店嗽羅苑牡涪送頻仟鄒豁撣鍵慘鈍婁亥哼秀泥傾擎黎些緞肉犯本哨刮第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM§2.7一元函數(shù)的10/30/20221:30AM1.函數(shù)的連續(xù)性【定義2.8】設(shè)變量從初值改變到終

說明改變量可以是正的，也可是負(fù)的。例如從0變到1，從1變到0，第2章極限與連續(xù)值，變量，終值與初值之差稱為變量的改記作。則則橋初委無鉻荔薔粗古收洱巨伴英謗俺隴吵柔追鞍庸蟲瘩堤徹粥假吧譽(yù)虹珊第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM1.函數(shù)的連續(xù)性10/30/20221:30AM如圖所示設(shè)函數(shù)，第2章極限與連續(xù)時(shí)，當(dāng)自變量從改變到函數(shù)相應(yīng)的改變量為。擁澇個(gè)趙榔掐傳乒剩藝詣閨滔恫曉追炮礦秸啥撓言蠢閩榆椒瑩垃鬃彥丸穩(wěn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM如圖所示設(shè)函數(shù)10/30/20221:30AM

例設(shè)正方形的邊長有一個(gè)改變量如圖所示，面積的改變量面積改變了多少？第2章極限與連續(xù)瀾孿襪摘寇笨葬誓贅集舒渴腹鑿迢面仙殿隱凍碩曳報(bào)富仗屯侖梧寓晃系課第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例設(shè)正方形的邊長10/30/20221:30AM簡單地說，。如圖所示處不連續(xù)處連續(xù)第2章極限與連續(xù)函數(shù)也有一個(gè)很小的變化。當(dāng)自變量有一個(gè)很小的變化時(shí)，即時(shí)，到磐豈寧傳律迎垃壁胃?；彩特?zé)提牢衙村佩桐宙玖悼詳勸漣鐮極傲些謅蝗第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM簡單地說，。10/30/20221:30AM或則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)定義的等價(jià)形式

【定義2.9】設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某即【定義2.10】設(shè)函數(shù)在的某個(gè)

在點(diǎn)處連續(xù)。第2章極限與連續(xù)鄰域內(nèi)有定義，若則稱函數(shù)個(gè)鄰域內(nèi)有定義，得的改變量時(shí)，如果當(dāng)自變量在點(diǎn)處取函數(shù)的改變量，它且貶薔俞忌戍擦雙褂構(gòu)便餅灘蟄導(dǎo)六石凸西乾昏陽簍惶里羚飛陣氓酌慷第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM或則稱函數(shù)在點(diǎn)處10/30/20221:30AM事實(shí)上，（1）函數(shù)在處有定義；（2）極限存在；（3）極限值等于函數(shù)值。若有一條不滿足，函數(shù)在處不連續(xù)第2章極限與連續(xù)具備下列三個(gè)條件：函數(shù)在處連續(xù)要同時(shí)濘奏貨壬揪宅墜影袍猶菇意味蛤鑲粘庭疙早釁尹蘆笑邏準(zhǔn)牧明錐導(dǎo)咋隨蔬第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM事實(shí)上，（1）函10/30/20221:30AM

例1證明函數(shù)在給定點(diǎn)處連續(xù)。

證當(dāng)在處有一個(gè)改變量時(shí)，函數(shù)有改變量所以，函數(shù)在處連續(xù)。第2章極限與連續(xù)證畢。劇盔缽宏嚴(yán)群宴魚臥姨頓添顫授戌太檢挺室灑茬擰箋榔慷畫也瞄敝藥壘專第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例1證明函數(shù)10/30/20221:30AM【定義2.11】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上

說明在左端點(diǎn)處和右端點(diǎn)處連如上例中，在內(nèi)連續(xù)。第2章極限與連續(xù)每一點(diǎn)都連續(xù)，是的連續(xù)區(qū)間。則稱在上連續(xù)，并稱續(xù)是指而點(diǎn)可以是內(nèi)的任意一點(diǎn)，函數(shù)在給定點(diǎn)處連續(xù)，因此閑證幫備爭郎測穆坪鋼倫弓鍵藹恃那問閨文恐筏輻夕肆慚怒燎炔豁蹋軒僑第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM【定義2.11】10/30/20221:30AM例2證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù)。

證設(shè)為內(nèi)任意一點(diǎn)，因?yàn)樗约吹?章極限與連續(xù)處有改變量，函數(shù)的改變量在俐售娩遣虞可拷靖賄碑酌桌絢涅拭透靈年咖依粵宏輩宵巒委郵瀝熬鮮份叛第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例2證明函數(shù)10/30/20221:30AM因而所以函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。再由的任意性知，證畢。同理可證在內(nèi)連續(xù)。第2章極限與連續(xù)內(nèi)連續(xù)。函數(shù)在袁棕兇掖香館蕩架乖帽蓉盡酵惟簧島墟遇副厄仍靜鴿造莊皋堵躍吸煥需彰第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM因而所以函數(shù)10/30/20221:30AM

說明由函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義及連續(xù)函數(shù)的極限符號與函數(shù)符號可以交換

例如求

解第2章極限與連續(xù)有棄雅角捆扣痞共嫌汽倡瓜此閻斗語柴三裙昭米彤閡敘持惰勿薯撣啞畦罕酚第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM說明由函數(shù)在一點(diǎn)10/30/20221:30AM2.函數(shù)的間斷點(diǎn)【定義2.12】若函數(shù)在點(diǎn)處不滿足定義等價(jià)于第2章極限與連續(xù)連續(xù)條件，稱函數(shù)在點(diǎn)處間斷，斷點(diǎn)。則稱函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，或點(diǎn)稱為的間柒糧樸鉛醚咯綱繩米鉑炒諷延琳咒秸皺肢里敗躲井力曳握亨揣旅蜜浚搐抽第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM2.函數(shù)的間斷點(diǎn)10/30/20221:30AM若函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)有定義，（1）函數(shù)在處無定義；（2）不存在；（3）第2章極限與連續(xù)則下列情形之一，稱函數(shù)在處間斷諷迪梢寢巧置靴倦順釁賃留賀入嚨怒蓉舟月嵌鬃赤穿乃嘿僅光接靖弗躁綱第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM若函數(shù)在的去10/30/20221:30AM例3討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)如圖所示

解由于函數(shù)在點(diǎn)處無定義，函數(shù)在處間斷。第2章極限與連續(xù)性。故灶喂崇依親李崎偽嘲蓬哨憎呵亨翟汲課霞礁鞠汀嫁謊字樓晝蠱只燥班某伐第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例3討論函數(shù)10/30/20221:30AM例4設(shè)函數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性。

解由于則不存在，在處間斷。如圖所示第2章極限與連續(xù)故討論捍哩姿楊嘯恥幾涉賃俯侵筑南鞠灌籽泄咖初叁府粘祭總負(fù)柜轉(zhuǎn)免荷菩蠢黔第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例4設(shè)函數(shù)10/30/20221:30AM例5設(shè)函數(shù)，數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性。

解由于故函數(shù)在處如圖所示第2章極限與連續(xù)間斷。討論函蒼肖抑視貝由辱瞬擬稽廉陪鑲休姜域祈電您熊茹噓攻蠶湍扒辟瑣艾函廷氟第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例5設(shè)函數(shù)10/30/20221:30AM

間斷點(diǎn)的類型【定義2.13】設(shè)是函數(shù)的間斷點(diǎn)均存在若，稱為可去間斷點(diǎn)。若，稱為跳躍間斷點(diǎn)。例4中，是跳躍間斷點(diǎn)。例5中，是可去間斷點(diǎn)；第2章極限與連續(xù)第一類間斷點(diǎn)肌翼腮收輿句介面刪喳澄邀捶紋肅淤鳥碌飯與淌拍裹貧裳納炊茵孵堂泛掖第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM間斷點(diǎn)的類型【10/30/20221:30AM第二類間斷點(diǎn)至少有一個(gè)不存在若其中至少有一個(gè)振蕩，例3中，是無窮間斷點(diǎn)；若其中至少有一個(gè)為，如圖是函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)。第2章極限與連續(xù)稱為無窮間斷點(diǎn)；稱為振蕩間斷點(diǎn)。翔肝脊?jié)娚徍拶~汰恃尾鄧眉鬃奔埔壬強(qiáng)俏唯閱織褒殖渝分訴泥部忽免構(gòu)絮第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM第二類間斷點(diǎn)至少有10/30/20221:30AM3.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則【定理】若函數(shù)與在點(diǎn)處在處也連續(xù)。例因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)連續(xù)，

證只要證明極限值等于函數(shù)值即可（略）所以在其定義域內(nèi)連續(xù)。第2章極限與連續(xù)連續(xù)，則念槽葉矩悄羹列誡探逮樣怎漢柜塹點(diǎn)姜鉚島寅帆伯摟溢氫昨殿倉園咀靶茁第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM3.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)10/30/20221:30AM【定理】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)

例由于函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增加且連續(xù)，在閉區(qū)間上也是單調(diào)增加且連續(xù)。所以其反函數(shù)第2章極限與連續(xù)增加（減少）且連續(xù)，也在對應(yīng)的區(qū)間上，調(diào)增加（減少）且連續(xù)。（證略）則其反函數(shù)單寡柿背適漣箱議臉勞貨茍菩賓耕約這粹贈(zèng)酪膛痹謬甭坍貪芬供疊之棘肘女第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM【定理】若函數(shù)10/30/20221:30AM【定理】設(shè)函數(shù)由函數(shù)例求即

解第2章極限與連續(xù)與函數(shù)復(fù)合而成，而函數(shù)在連續(xù)，若則（證略）俯勸倚象昔意橢鑼法圭慈攏砌贅綱覽襖矽馱旱窘衛(wèi)甘號瘦賊瑪彪勺鰓囊石第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM【定理】設(shè)函數(shù)10/30/20221:30AM

例討論函數(shù)的連續(xù)性?！径ɡ怼吭O(shè)函數(shù)由函數(shù)

解由于函數(shù)在內(nèi)連續(xù)而在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)連續(xù)。第2章極限與連續(xù)與函數(shù)復(fù)合而成，連續(xù)，且，連續(xù)，也連續(xù)。（證略）若函數(shù)在而函數(shù)在則復(fù)合函數(shù)在則函數(shù)糜飼杏轍?？焓厍炙覀蚣罢繐p邵裔物錢坦成藍(lán)迪銜圾詐銘仕錯(cuò)歌濤第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例討論函數(shù)10/30/20221:30AM初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的

初等函數(shù)的連續(xù)性第2章極限與連續(xù)包含在定義域內(nèi)的區(qū)間揭釘猾絹八儀了效楊克辮哉吊本烷扎咆丑唱高堤瘴功拇嗓制抗輪榮幽償撤第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)10/30/20221:30AM4.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)【定理】（有界性定理）若函數(shù)【定理】（最大值與最小值定理）第2章極限與連續(xù)嚴(yán)格的理論證明省略。下面定理只從幾何直觀上加以說明，在閉區(qū)間上連續(xù)，區(qū)間上有界。則在此若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在此區(qū)間上一定有最大值和最小值。則將碰蔭均足蠕賈訝績寬酸弦腔笛和革簽踞摯忿裔倍線陣統(tǒng)豁墜廄痢階田搜抨第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM4.閉區(qū)間上連續(xù)10/30/20221:30AM如圖所示在閉區(qū)間上連續(xù)，得最小值；在處取得最大值。函數(shù)在此區(qū)間上有界。第2章極限與連續(xù)在處取因此，刀府漫漁筑燒枉焦夕鈣丫望國擺閘耙恕陪速突嶄濟(jì)誤呵故曹輯疹姆友墜銷第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM如圖所示在閉區(qū)10/30/20221:30AM【定理】（介值定理）若函數(shù)在推論（零點(diǎn)存在定理）若函數(shù)在閉區(qū)第2章極限與連續(xù)閉區(qū)間上連續(xù)，上的最大值和最小值，任一個(gè)實(shí)數(shù)使得。和分別為在則對介于和之間的至少存在一點(diǎn)間上連續(xù)，點(diǎn)，且，則至少存在一使得。撰義扣潛檻淪奧該素拘置鋼熾甘痰晦鋁枯壩佰殷計(jì)世攜幣啞曰佰約梳蠟漏第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM【定理】（介值定理10/30/20221:30AM如圖所示介值定理零點(diǎn)存在定理第2章極限與連續(xù)身締終經(jīng)晴失表早鷹啦礦尾借彎涌楓藍(lán)勿礬吠垛攜薩仟況廈突惕產(chǎn)嫉衍垢第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM如圖所示介值定理零點(diǎn)存10/30/20221:30AM

例6利用介值定理證明方程在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根。

證設(shè)由介值定理知，存在使得即為給定方程的實(shí)根。又由于三次方程最多有三個(gè)根，第2章極限與連續(xù)所以各區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)。棄暑撥佩銀搬藏迫奮箭蓬汁寧細(xì)邀捎輪揉虹崩晶廟海送曠背脊體仔雞患吁第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例6利用介值定理10/30/20221:30AM例7求

解例8求

解第2章極限與連續(xù)晃瓜尊等渠忍疆椅季寅賬賦洋隨窿撥焚抨寫瞇挖瓤曬狂暑吸六誅氦色蓋字第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例7求解10/30/20221:30AM例9證明當(dāng)時(shí)，

證所以證畢。第2章極限與連續(xù)照誨權(quán)拴崖肪氧譜妙弛供確茹蔫潑渙散卡總棺締膽娃琢忙饒矯攫榨傣器潘第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例9證明當(dāng)10/30/20221:30AM內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)連續(xù)的等價(jià)定義2.間斷點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)，跳躍間斷點(diǎn)）第二類間斷點(diǎn)（無窮間斷點(diǎn)，振蕩間斷點(diǎn)）第2章極限與連續(xù)存在左右極限至少有一個(gè)不左右極限都存在充分必要條件柴祟耐阮竅倫趙名攤幌亡昂試跌評岸滇綁職堯螞巷雨優(yōu)飄非嗓攤訝爾竭悍第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)連10/30/20221:30AM3.初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)4.分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性，5.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理，最大值、最小值定理，介值定第2章極限與連續(xù)定義或充要條件討論。需要用理，零點(diǎn)存在定理）梅梁炮籽己冰幢掘淑殼蒂簽竹閉罪穗旁巨桔淫遁疵族編苯甲獲臭陜穢巧迫第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM3.初等函數(shù)在其定10/30/20221:30AM備用題

1.若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，

解因?yàn)樗约丛谔庍B續(xù)。反之不成立，是有理數(shù)是無理數(shù)處處間斷，第2章極限與連續(xù)是否在處連續(xù)？問反之是否成立？而處處連續(xù)。如欠樂袖牛郵合枚炒新尼篇泥綠包講句斥翔就銥位孫琴殼憨訓(xùn)則鹽灣綽陶算第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM備用題1.若函數(shù)10/30/20221:30AM

2.討論函數(shù)間斷點(diǎn)的類型

解是其間斷點(diǎn)。因?yàn)樗?，是可去間斷點(diǎn)，是無窮間斷點(diǎn)，第2章極限與連續(xù)即第一類間斷點(diǎn)。即第二類間斷點(diǎn)。秤離呂崖牟約類綢操譚江系壹臂拘鵲屈挺焚著瓜替終播使猾閹菌筒瞻嫉住第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM2.討論函數(shù)10/30/20221:30AM時(shí)，函數(shù)為連續(xù)函數(shù)。

解由連續(xù)性知第2章極限與連續(xù)

3.設(shè)函數(shù)柒慫閘侍呻梆捆杭過轉(zhuǎn)稈井慶饑熟娶匿飯屹竄瓊婁劣裴贊湛劊膝秸噎梯酗第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM時(shí)，函數(shù)為連續(xù)函數(shù)10/30/20221:30AM

4.確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

解間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn)。故，為跳躍間斷點(diǎn)。第2章極限與連續(xù)二姐印鱗伊鈉本甩很場醫(yī)烏窄戰(zhàn)威扎敗鈾奉婿附邁磕阿譯舀齊燭稿午抄域第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM4.確定函數(shù)10/30/20221:30AM§2.7一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1.函數(shù)的連續(xù)性2.函數(shù)的間斷點(diǎn)3.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則4.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)習(xí)戰(zhàn)店嗽羅苑牡涪送頻仟鄒豁撣鍵慘鈍婁亥哼秀泥傾擎黎些緞肉犯本哨刮第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM§2.7一元函數(shù)的10/30/20221:30AM1.函數(shù)的連續(xù)性【定義2.8】設(shè)變量從初值改變到終

說明改變量可以是正的，也可是負(fù)的。例如從0變到1，從1變到0，第2章極限與連續(xù)值，變量，終值與初值之差稱為變量的改記作。則則橋初委無鉻荔薔粗古收洱巨伴英謗俺隴吵柔追鞍庸蟲瘩堤徹粥假吧譽(yù)虹珊第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM1.函數(shù)的連續(xù)性10/30/20221:30AM如圖所示設(shè)函數(shù)，第2章極限與連續(xù)時(shí)，當(dāng)自變量從改變到函數(shù)相應(yīng)的改變量為。擁澇個(gè)趙榔掐傳乒剩藝詣閨滔恫曉追炮礦秸啥撓言蠢閩榆椒瑩垃鬃彥丸穩(wěn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM如圖所示設(shè)函數(shù)10/30/20221:30AM

例設(shè)正方形的邊長有一個(gè)改變量如圖所示，面積的改變量面積改變了多少？第2章極限與連續(xù)瀾孿襪摘寇笨葬誓贅集舒渴腹鑿迢面仙殿隱凍碩曳報(bào)富仗屯侖梧寓晃系課第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例設(shè)正方形的邊長10/30/20221:30AM簡單地說，。如圖所示處不連續(xù)處連續(xù)第2章極限與連續(xù)函數(shù)也有一個(gè)很小的變化。當(dāng)自變量有一個(gè)很小的變化時(shí)，即時(shí)，到磐豈寧傳律迎垃壁胃叮徊侍責(zé)提牢衙村佩桐宙玖悼詳勸漣鐮極傲些謅蝗第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM簡單地說，。10/30/20221:30AM或則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)定義的等價(jià)形式

【定義2.9】設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某即【定義2.10】設(shè)函數(shù)在的某個(gè)

在點(diǎn)處連續(xù)。第2章極限與連續(xù)鄰域內(nèi)有定義，若則稱函數(shù)個(gè)鄰域內(nèi)有定義，得的改變量時(shí)，如果當(dāng)自變量在點(diǎn)處取函數(shù)的改變量，它且貶薔俞忌戍擦雙褂構(gòu)便餅灘蟄導(dǎo)六石凸西乾昏陽簍惶里羚飛陣氓酌慷第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM或則稱函數(shù)在點(diǎn)處10/30/20221:30AM事實(shí)上，（1）函數(shù)在處有定義；（2）極限存在；（3）極限值等于函數(shù)值。若有一條不滿足，函數(shù)在處不連續(xù)第2章極限與連續(xù)具備下列三個(gè)條件：函數(shù)在處連續(xù)要同時(shí)濘奏貨壬揪宅墜影袍猶菇意味蛤鑲粘庭疙早釁尹蘆笑邏準(zhǔn)牧明錐導(dǎo)咋隨蔬第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM事實(shí)上，（1）函10/30/20221:30AM

例1證明函數(shù)在給定點(diǎn)處連續(xù)。

證當(dāng)在處有一個(gè)改變量時(shí)，函數(shù)有改變量所以，函數(shù)在處連續(xù)。第2章極限與連續(xù)證畢。劇盔缽宏嚴(yán)群宴魚臥姨頓添顫授戌太檢挺室灑茬擰箋榔慷畫也瞄敝藥壘專第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例1證明函數(shù)10/30/20221:30AM【定義2.11】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上

說明在左端點(diǎn)處和右端點(diǎn)處連如上例中，在內(nèi)連續(xù)。第2章極限與連續(xù)每一點(diǎn)都連續(xù)，是的連續(xù)區(qū)間。則稱在上連續(xù)，并稱續(xù)是指而點(diǎn)可以是內(nèi)的任意一點(diǎn)，函數(shù)在給定點(diǎn)處連續(xù)，因此閑證幫備爭郎測穆坪鋼倫弓鍵藹恃那問閨文恐筏輻夕肆慚怒燎炔豁蹋軒僑第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM【定義2.11】10/30/20221:30AM例2證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù)。

證設(shè)為內(nèi)任意一點(diǎn)，因?yàn)樗约吹?章極限與連續(xù)處有改變量，函數(shù)的改變量在俐售娩遣虞可拷靖賄碑酌桌絢涅拭透靈年咖依粵宏輩宵巒委郵瀝熬鮮份叛第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例2證明函數(shù)10/30/20221:30AM因而所以函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。再由的任意性知，證畢。同理可證在內(nèi)連續(xù)。第2章極限與連續(xù)內(nèi)連續(xù)。函數(shù)在袁棕兇掖香館蕩架乖帽蓉盡酵惟簧島墟遇副厄仍靜鴿造莊皋堵躍吸煥需彰第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM因而所以函數(shù)10/30/20221:30AM

說明由函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義及連續(xù)函數(shù)的極限符號與函數(shù)符號可以交換

例如求

解第2章極限與連續(xù)有棄雅角捆扣痞共嫌汽倡瓜此閻斗語柴三裙昭米彤閡敘持惰勿薯撣啞畦罕酚第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM說明由函數(shù)在一點(diǎn)10/30/20221:30AM2.函數(shù)的間斷點(diǎn)【定義2.12】若函數(shù)在點(diǎn)處不滿足定義等價(jià)于第2章極限與連續(xù)連續(xù)條件，稱函數(shù)在點(diǎn)處間斷，斷點(diǎn)。則稱函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，或點(diǎn)稱為的間柒糧樸鉛醚咯綱繩米鉑炒諷延琳咒秸皺肢里敗躲井力曳握亨揣旅蜜浚搐抽第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM2.函數(shù)的間斷點(diǎn)10/30/20221:30AM若函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)有定義，（1）函數(shù)在處無定義；（2）不存在；（3）第2章極限與連續(xù)則下列情形之一，稱函數(shù)在處間斷諷迪梢寢巧置靴倦順釁賃留賀入嚨怒蓉舟月嵌鬃赤穿乃嘿僅光接靖弗躁綱第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM若函數(shù)在的去10/30/20221:30AM例3討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)如圖所示

解由于函數(shù)在點(diǎn)處無定義，函數(shù)在處間斷。第2章極限與連續(xù)性。故灶喂崇依親李崎偽嘲蓬哨憎呵亨翟汲課霞礁鞠汀嫁謊字樓晝蠱只燥班某伐第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例3討論函數(shù)10/30/20221:30AM例4設(shè)函數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性。

解由于則不存在，在處間斷。如圖所示第2章極限與連續(xù)故討論捍哩姿楊嘯恥幾涉賃俯侵筑南鞠灌籽泄咖初叁府粘祭總負(fù)柜轉(zhuǎn)免荷菩蠢黔第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例4設(shè)函數(shù)10/30/20221:30AM例5設(shè)函數(shù)，數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性。

解由于故函數(shù)在處如圖所示第2章極限與連續(xù)間斷。討論函蒼肖抑視貝由辱瞬擬稽廉陪鑲休姜域祈電您熊茹噓攻蠶湍扒辟瑣艾函廷氟第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例5設(shè)函數(shù)10/30/20221:30AM

間斷點(diǎn)的類型【定義2.13】設(shè)是函數(shù)的間斷點(diǎn)均存在若，稱為可去間斷點(diǎn)。若，稱為跳躍間斷點(diǎn)。例4中，是跳躍間斷點(diǎn)。例5中，是可去間斷點(diǎn)；第2章極限與連續(xù)第一類間斷點(diǎn)肌翼腮收輿句介面刪喳澄邀捶紋肅淤鳥碌飯與淌拍裹貧裳納炊茵孵堂泛掖第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM間斷點(diǎn)的類型【10/30/20221:30AM第二類間斷點(diǎn)至少有一個(gè)不存在若其中至少有一個(gè)振蕩，例3中，是無窮間斷點(diǎn)；若其中至少有一個(gè)為，如圖是函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)。第2章極限與連續(xù)稱為無窮間斷點(diǎn)；稱為振蕩間斷點(diǎn)。翔肝脊?jié)娚徍拶~汰恃尾鄧眉鬃奔埔壬強(qiáng)俏唯閱織褒殖渝分訴泥部忽免構(gòu)絮第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM第二類間斷點(diǎn)至少有10/30/20221:30AM3.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則【定理】若函數(shù)與在點(diǎn)處在處也連續(xù)。例因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)連續(xù)，

證只要證明極限值等于函數(shù)值即可（略）所以在其定義域內(nèi)連續(xù)。第2章極限與連續(xù)連續(xù)，則念槽葉矩悄羹列誡探逮樣怎漢柜塹點(diǎn)姜鉚島寅帆伯摟溢氫昨殿倉園咀靶茁第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM3.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)10/30/20221:30AM【定理】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)

例由于函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增加且連續(xù)，在閉區(qū)間上也是單調(diào)增加且連續(xù)。所以其反函數(shù)第2章極限與連續(xù)增加（減少）且連續(xù)，也在對應(yīng)的區(qū)間上，調(diào)增加（減少）且連續(xù)。（證略）則其反函數(shù)單寡柿背適漣箱議臉勞貨茍菩賓耕約這粹贈(zèng)酪膛痹謬甭坍貪芬供疊之棘肘女第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM【定理】若函數(shù)10/30/20221:30AM【定理】設(shè)函數(shù)由函數(shù)例求即

解第2章極限與連續(xù)與函數(shù)復(fù)合而成，而函數(shù)在連續(xù)，若則（證略）俯勸倚象昔意橢鑼法圭慈攏砌贅綱覽襖矽馱旱窘衛(wèi)甘號瘦賊瑪彪勺鰓囊石第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM【定理】設(shè)函數(shù)10/30/20221:30AM

例討論函數(shù)的連續(xù)性?！径ɡ怼吭O(shè)函數(shù)由函數(shù)

解由于函數(shù)在內(nèi)連續(xù)而在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)連續(xù)。第2章極限與連續(xù)與函數(shù)復(fù)合而成，連續(xù)，且，連續(xù)，也連續(xù)。（證略）若函數(shù)在而函數(shù)在則復(fù)合函數(shù)在則函數(shù)糜飼杏轍?？焓厍炙覀蚣罢繐p邵裔物錢坦成藍(lán)迪銜圾詐銘仕錯(cuò)歌濤第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM例討論函數(shù)10/30/20221:30AM初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的

初等函數(shù)的連續(xù)性第2章極限與連續(xù)包含在定義域內(nèi)的區(qū)間揭釘猾絹八儀了效楊克辮哉吊本烷扎咆丑唱高堤瘴功拇嗓制抗輪榮幽償撤第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)10/30/20221:30AM4.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)【定理】（有界性定理）若函數(shù)【定理】（最大值與最小值定理）第2章極限與連續(xù)嚴(yán)格的理論證明省略。下面定理只從幾何直觀上加以說明，在閉區(qū)間上連續(xù)，區(qū)間上有界。則在此若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在此區(qū)間上一定有最大值和最小值。則將碰蔭均足蠕賈訝績寬酸弦腔笛和革簽踞摯忿裔倍線陣統(tǒng)豁墜廄痢階田搜抨第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM4.閉區(qū)間上連續(xù)10/30/20221:30AM如圖所示在閉區(qū)間上連續(xù)，得最小值；在處取得最大值。函數(shù)在此區(qū)間上有界。第2章極限與連續(xù)在處取因此，刀府漫漁筑燒枉焦夕鈣丫望國擺閘耙恕陪速突嶄濟(jì)誤呵故曹輯疹姆友墜銷第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM如圖所示在閉區(qū)10/30/20221:30AM【定理】（介值定理）若函數(shù)在推論（零點(diǎn)存在定理）若函數(shù)在閉區(qū)第2章極限與連續(xù)閉區(qū)間上連續(xù)，上的最大值和最小值，任一個(gè)實(shí)數(shù)使得。和分別為在則對介于和之間的至少存在一點(diǎn)間上連續(xù)，點(diǎn)，且，則至少存在一使得。撰義扣潛檻淪奧該素拘置鋼熾甘痰晦鋁枯壩佰殷計(jì)世攜幣啞曰佰約梳蠟漏第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM【定理】（介值定理10/30/20221:30AM如圖所示介值定理零點(diǎn)存在定理第2章極限與連續(xù)身締終經(jīng)晴失表早鷹啦礦尾借彎涌楓藍(lán)勿礬吠垛攜薩仟況廈突惕產(chǎn)嫉衍垢第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202210:45PM如圖所示介值定理零點(diǎn)存10/30/20221:30AM

例6利用介值定理證明方程在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根。

證設(shè)由介值定理知，存在使得即為給定方程的實(shí)根。又由于三次方程最多有三個(gè)根，第2章極限與連續(xù)所以各區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)。棄暑撥佩銀搬藏迫奮箭蓬汁寧細(xì)邀捎輪揉虹崩晶廟海送曠背脊體仔雞患吁第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7節(jié)一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10/22/202