概率在金融中的應(yīng)用

概率在金融中的應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院概率統(tǒng)計研究所

黃宗媛

Email:huangzy@引言?什么是概率？

研究隨機(jī)現(xiàn)象（事件）規(guī)律的科學(xué)引言?什么是金融？

金融=引言?什么是金融？

傳統(tǒng)金融的概念是研究貨幣資金的流通的學(xué)科?；窘忉專贺泿诺陌l(fā)行、流通和回籠,貸款的發(fā)放

和收回,存款的存入和提取,匯兌的往來

等經(jīng)濟(jì)活動。現(xiàn)代的金融本質(zhì)就是經(jīng)營活動的資本化過程。金融中的隨機(jī)事件?必然事件與隨機(jī)事件

存款：0時刻放入S貨幣，一段時間后取出

（S+r）貨幣。金融中的隨機(jī)事件?必然事件與隨機(jī)事件

金融中的隨機(jī)事件?必然事件與隨機(jī)事件

8單階段二叉樹：多階段二叉樹：用數(shù)學(xué)描繪金融?二叉樹模型

用數(shù)學(xué)描繪金融?股票價格模型-SDE

今天的確定狀態(tài)明天的不確定狀態(tài)實現(xiàn)金融目標(biāo)--簡化模型債券（無風(fēng)險）：今天1美元，明天1.1美元股票（有風(fēng)險）：“好運(yùn)天”—今天1美元，明天1.5美元

“壞運(yùn)天”—今天1美元，明天0.9美元10明天的金融目標(biāo)：如果“好運(yùn)天”希望得到a美元，

如果是“壞運(yùn)天”希望得到b美元問題：今天應(yīng)該投資多少才能實現(xiàn)此金融目標(biāo)？實現(xiàn)金融目標(biāo)--簡化模型11求解：假設(shè)今天一共投資y美元，其中z美元投資股票，

顯然，此問題有唯一解我們注意到：投資者不僅要決定今天的總投資y

美元，同時要決定其中投資z美元于股票，即風(fēng)險部分，我們將其稱為投資組合(portfolio)。12實現(xiàn)金融目標(biāo)--簡化模型使未來的不確定目標(biāo)變成今天的確定狀態(tài)，從而做出今天的策略。實現(xiàn)金融目標(biāo)--連續(xù)模型13?期權(quán)定價問題

幾個定義：期權(quán)：一份合約，賦予合約持有人一份權(quán)利而非義務(wù)，

在某個特定時期以特定價格去購買或出售特定

資產(chǎn)期權(quán)價格：這份權(quán)利的價值定價方式：資產(chǎn)組合復(fù)制期權(quán)無套利原理：市場是無套利情形，期權(quán)價值就是復(fù)制

的資產(chǎn)組合的價值14實現(xiàn)金融目標(biāo)--連續(xù)模型套利(arbitrage)：無本生利信息完備市場下，無套利產(chǎn)生15實現(xiàn)金融目標(biāo)--連續(xù)模型16實現(xiàn)金融目標(biāo)--連續(xù)模型?Black-Scholes公式

期權(quán)定價模型基于對沖證券組合的思想。投資者可建立期權(quán)與其標(biāo)的股票的組合來保證確定報酬。C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)其中:d1=[ln(S/X)+(r+σ^2/2)T]/(σ√T)，d2=d1-σ·√TC-期權(quán)初始合理價格，X-期權(quán)執(zhí)行價格S-所交易金融資產(chǎn)現(xiàn)價，T-期權(quán)有效期r-連續(xù)復(fù)利計無風(fēng)險利率

σ-股票回報率的年度波動率（標(biāo)準(zhǔn)差）N(d1)，N(d2）-正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)17?金融風(fēng)險控制

金融數(shù)學(xué)的一個一般工具金融的市場組成：銀行、證券、保險等動態(tài)博弈中存在著大量隨機(jī)不確定性；

各類數(shù)據(jù)：海量、不完全、不充足；各種模型、技術(shù)等。發(fā)達(dá)國家在金融風(fēng)險度量和控制及金融創(chuàng)新開發(fā)方面

有不少成功經(jīng)驗和失敗教訓(xùn)：成功應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的前沿成果，極大提高了金融風(fēng)險防范和金融產(chǎn)品競爭能力由于不恰當(dāng)?shù)亩▋r法則和風(fēng)險度量方式也造成巨大損失18金融數(shù)學(xué)的一個一般工具經(jīng)驗與教訓(xùn)19國外金融風(fēng)險案例：東京銀行/三菱公司(BankofTokyo/Mitsubishi)[1997]，

損失83億美元；國民威斯敏斯特銀行資本市場(NatWestCapitalMarkets)[1997]，損失9050萬英鎊；不凋花對沖基金(Amaranth)[2006]，損失92.5億美元。中國金融風(fēng)險暴露事件：中航油[2004]，損失5.5億美元；中儲棉[2005]，損失6億元；國儲局銅期貨[2005]，損失9.2億元。金融數(shù)學(xué)的一個一般工具20金融數(shù)學(xué)的一個一般工具?倒向隨機(jī)微分方程（BSDE）

彭實戈院士，BSDE創(chuàng)始人之一這里ξ

是

FT

可測隨機(jī)變量，只有在T

時刻才能確定取值，(yt,zt)可同時解出。21EtiennePardoux，BSDE創(chuàng)始人之一NicoleElKaroui，金融工程教母金融數(shù)學(xué)的一個一般工具22?SDE和BSDE有本質(zhì)區(qū)別

金融數(shù)學(xué)的一個一般工具方程基本形式和意義不同23?SDE和BSDE有本質(zhì)區(qū)別

金融數(shù)學(xué)的一個一般工具方程解的結(jié)構(gòu)完全不同SDE的解是一個隨機(jī)過程BSDE的解是一對隨機(jī)過程方程解的性質(zhì)不完全相同BSDE只有在一定（較強(qiáng)）條件下才有解24?數(shù)學(xué)無處不在