三要素法和復(fù)頻域分析法計(jì)算線性暫態(tài)電路的比較

三要素法和復(fù)頻域分析法計(jì)算線性暫態(tài)電路的比較一階暫態(tài)電路中，三要素公式為ft=fpt+[f0+-fp(0+)]e—* (1)其中，f(t)為響應(yīng)，f(0+)為初始值，T為時(shí)間常數(shù)，fp(t)為特解(通常用強(qiáng)制分量作為特解)。欲求響應(yīng)f(t)，只需求出初始值f(0+)，時(shí)間常數(shù)T，特解fp(t)即可。且外加激勵(lì)是直流或階躍電源時(shí)，有TOC\o"1-5"\h\zfpt=fp0+=fp8 (2)此時(shí)三要素公式變?yōu)閒t=f8+[f0+-f(8)]e-t (3)當(dāng)用三要素公式求解一階暫態(tài)電路的響應(yīng)f(t)時(shí)，初始值f(0)+與特解fp(t)并不難求，關(guān)鍵是如何求出時(shí)間常數(shù)T。時(shí)間常數(shù)為t=RC或t=GL (4)故應(yīng)將電路進(jìn)行等效，求出等效電路的等效電阻后即可求出時(shí)間常數(shù)。卜面我們通過一道例題來加深對(duì)三要素公式的理解:如圖所示電路t<0時(shí)處于穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)開關(guān)接通。求t>0時(shí)的電壓uc和電流i解：由電路圖求得：Uc(0)=30V由換路定律求得uc(0-)=Uc(0+)=30V當(dāng)t一8所示，列節(jié)點(diǎn)電壓方程：(1+1)u(8)=2A+30V30Q600c 600得：Uc(8)=50V將兩個(gè)獨(dú)立源置零，再計(jì)算等效電得：R=30x60o=20o30+60時(shí)間常數(shù)t=RC=20ox0.5F=10s將uc(8),uc(0+)和丁帶入三要素公式得電容電壓u(t)=u(8)+[u(0)-u(8)]e-*=(50-20e-0-1t)V(t^0)c c c+ci(t)=uc-30V=1-e—MA(t>0)60Q 3通過對(duì)三要素法的擴(kuò)展，從數(shù)學(xué)推導(dǎo)和物理概念上揭示了用三要素法和用解微分方程的方法分析一階動(dòng)態(tài)電路的內(nèi)在聯(lián)系。典型的三要素法具有較強(qiáng)的使用性，每個(gè)要素可根據(jù)其物理概念在電路中求得，但應(yīng)用范圍有限。通過微分方程特解的方法求得第三個(gè)要素可擴(kuò)大其應(yīng)用范圍，便于從本質(zhì)上理解其物理含義，但應(yīng)用較繁瑣，因此，掌握它們的內(nèi)在聯(lián)系是很有必要的。但是利用三要素公式求解高階線性暫態(tài)電路時(shí)，求解過程將會(huì)十分復(fù)雜。因此，有必要引入一種新的方法求解高階線性暫態(tài)電路。我們可以采用拉普拉斯變換，將各個(gè)時(shí)間函數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)變量S的函數(shù)，從而使常微分方程問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程問題，此方法成為復(fù)頻域分析法。拉普拉斯變換式為：F(s)=L[f(t)]=Rf(t)e-stdt (5)—s由F(s)求f(t)的變換成為拉普拉斯逆變換，在數(shù)學(xué)計(jì)算中逆變換的一般公式是f(t)=L-i{F(s)}=4。+林F(s)estds (6)2njo—js此外，還要用到拉普拉斯變換的一些性質(zhì)，如線性性質(zhì)、微分性質(zhì)、積分性質(zhì)、延遲性質(zhì)、位移性質(zhì)等，在這里便不一一贅述。為了更好地理解拉普拉斯變換，我們用復(fù)頻域分析法來解一道二階線性暫態(tài)電路的例題:、如圖所示電路中，R=1Q，L=1H，C=0.2F，g=1S，us=6￡(t)V，is=4Cx6(t)o試求t>0時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)七及uCo+?L解：對(duì)節(jié)點(diǎn)列方程如下土+1Us-1Us=住-gU(s)sLR1RC sL C-1U1s+sC+1UCs=IS(s)其中電源的像函數(shù)為4s=LUs=絲 I、s=Lis=4A-s

將電源的像函數(shù)帶入方程，得:s+1U1s=6-Us+0.2s+1S=41聯(lián)立解得：UisfUs=20s2+20s+30C ss+1(s+5)UL(s)及UC(s)的展開式為ULs=USs-U1s=捋Ucs=6V—7.5VUcs逆變換得所求響應(yīng)為ul=L-1{Ul(s)}=6e-tV(t>0)uc=L-i{Uc(s)}=(6-7.5e-t+21.5e-5t)V(t>0)若是本例題用三要素法求解，由于是二階線性暫態(tài)電路，過程會(huì)相當(dāng)繁瑣。但是當(dāng)用拉普拉斯變換將時(shí)域電路模型變換為復(fù)頻域電路模型，使得動(dòng)態(tài)電路轉(zhuǎn)換成為電阻形式的電路時(shí)，問題便簡(jiǎn)單得多。拉普拉斯變換法對(duì)分析動(dòng)態(tài)電路具有重要意義，它的變換域法思想對(duì)分析其它問題也具有