人教版初中數(shù)學(xué)《行程類問題與分式方程》專題突破含答案解析

專題06行程類問題與分式方程【強(qiáng)化基礎(chǔ)與理解記憶】1.行程問題等量關(guān)系：路程=速度×?xí)r間以及它的兩個(gè)變式；2.解決問題注意事項(xiàng)：（1）注意關(guān)鍵詞“提速”與“提速到”的區(qū)別；（2）明確兩個(gè)“主人公”的行程問題中三個(gè)量用代數(shù)式表示出來；（3）行程問題中的等量關(guān)系通常抓住“時(shí)間線”來建立方程.3．解應(yīng)用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．列分式方程解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意檢驗(yàn)有兩層：驗(yàn)根和驗(yàn)題意．【試題類型與例題解析】【例題1】甲、乙兩地相距828km，一列普通快車與一列直達(dá)快車都由甲地開往乙地，直達(dá)快車的平均速度是普通快車平均速度的1.5倍．直達(dá)快車比普通快車晚出發(fā)2h，比普通快車早4h到達(dá)乙地，求兩車的平均速度．【答案】普通快車車的平均速度為46km／h，直達(dá)快車的平均速度為69km／h．【解析】這是一道實(shí)際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時(shí)間，基本關(guān)系是路程=速度×?xí)r間，應(yīng)根據(jù)題意，找出追擊問題總的等量關(guān)系，即普通快車走完路程所用的時(shí)間與直達(dá)快車由甲地到乙地所用時(shí)間相等．設(shè)普通快車車的平均速度為km／h，則直達(dá)快車的平均速度為1.5km／h，依題意，得=，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，且符合題意．∴，，即普通快車車的平均速度為46km／h，直達(dá)快車的平均速度為69km／h．【點(diǎn)撥】列分式方程與列整式方程一樣，注意找出應(yīng)用題中數(shù)量間的相等關(guān)系，設(shè)好未知數(shù)，列出方程．不同之處是：所列方程是分式方程，最后進(jìn)行檢驗(yàn)，既要檢驗(yàn)其是否為所列方程的解，要要檢驗(yàn)是否符合題意，即滿足實(shí)際意義．【例題2】一隊(duì)學(xué)生去校外參觀．他們出發(fā)30分鐘時(shí)，學(xué)校要把一個(gè)緊急通知傳給帶隊(duì)老師，派一名學(xué)生騎車從學(xué)校出發(fā)，按原路追趕隊(duì)伍．若騎車的速度是隊(duì)伍行進(jìn)速度的2倍，這名學(xué)生追上隊(duì)伍時(shí)離學(xué)校的距離是15千米，問這名學(xué)生從學(xué)校出發(fā)到追上隊(duì)伍用了多少時(shí)間？

【答案】30分鐘．【解析】騎自行車的學(xué)生從學(xué)校到追上隊(duì)伍所用時(shí)間等于隊(duì)伍出發(fā)時(shí)間加上繼續(xù)出發(fā)到被追上所用時(shí)間。設(shè)步行速度為x千米／時(shí)，騎車速度為2x千米／時(shí)，依題意，得：

方程兩邊都乘以2x，去分母，得

30-15＝x，所以，x＝15．

檢驗(yàn)：當(dāng)x＝15時(shí)，2x＝2×15≠0，

所以x＝15是原分式方程的根，并且符合題意．

∵，∴騎車追上隊(duì)伍所用的時(shí)間為30分鐘．【例題3】朋友們約著一起開著2輛車自駕去黃山玩，其中面包車為領(lǐng)隊(duì)，小轎車車緊隨其后，他們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)面包車車行駛了200公里時(shí)，發(fā)現(xiàn)小轎車車只行駛了180公里，若面包車的行駛速度比小轎車快10km/h,請問面包車，小轎車的速度分別為多少km/h？【答案】見解析?！窘馕觥吭O(shè)小轎車的速度為x千米/小時(shí)列表格如下：路程速度時(shí)間面包車200X+10200/(x+10)小轎車180x180/x等量關(guān)系：面包車的時(shí)間=小轎車的時(shí)間解：設(shè)小轎車的速度為x千米/小時(shí)，則面包車速度為x+10千米/小時(shí)，依題意得解得x＝90經(jīng)檢驗(yàn)，x＝90是原方程的解，且x=90，x+10=100，符合題意.答：面包車的速度為100千米/小時(shí)，小轎車的速度為90千米/小時(shí).【強(qiáng)化訓(xùn)練與基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】一、選擇題1．（2021山東淄博）甲、乙兩人沿著總長度為10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分鐘走完全程．設(shè)乙的速度為xkm/h，則下列方程中正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)乙的速度為xkm/h，則甲的速度為1.2xkm/h，根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度結(jié)合甲比乙提前12分鐘走完全程，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．12分鐘＝h＝0.2h，設(shè)乙的速度為xkm/h，則甲的速度為1.2xkm/h，根據(jù)題意，得：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．2．（2020·湖北荊州）八年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校10千米的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20分鐘后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍．設(shè)騎車學(xué)生的速度為x千米/小時(shí)，則所列方程正確的是（）A．-=20 B．-=20 C．-= D．=【答案】C【解析】根據(jù)八年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校10千米的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20分鐘后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以得到哪個(gè)選項(xiàng)是正確的．由題意可得，-=，故選：C．3．（2020·廣西中考真題）甲、乙兩地相距，提速前動(dòng)車的速度為，提速后動(dòng)車的速度是提速前的倍，提速后行車時(shí)間比提速前減少，則可列方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】行駛路程都是600千米；提速前后行駛時(shí)間分別是：；因?yàn)樘崴俸笮熊嚂r(shí)間比提速前減少，所以，提速前的時(shí)間-提速后的時(shí)間=．根據(jù)提速前的時(shí)間-提速后的時(shí)間=，可得即故選：A【點(diǎn)睛】應(yīng)用題中一般有三個(gè)量，求一個(gè)量，明顯的有一個(gè)量，一定是根據(jù)另一量來列等量關(guān)系的．本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題1.某校學(xué)生到離學(xué)校15km處植樹，部分學(xué)生騎自行車出發(fā)40min后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，汽車速度是自行車速度的2倍，全體學(xué)生同時(shí)到達(dá)目的地．設(shè)自行車速度是xkm/h，則根據(jù)題意列得方程．【答案】15x【解析】根據(jù)時(shí)間關(guān)系，可以列出相應(yīng)的分式方程，本題得以解決．由題意可得，15x即152.(2019黑龍江綏化)甲乙兩輛汽車同時(shí)從A地出發(fā),開往相距200km的B地,甲,乙兩車的速度之比是4:5,結(jié)果乙車比甲車早30分鐘到達(dá)B地,則甲車速度為______km/h.【答案】80【解析】分式方程的應(yīng)用。設(shè)甲車速度為4x,乙車速度為5x,根據(jù)題意得:,解之,得x＝20,∴甲車速度為4x＝80.三、解答題1．（2020·江蘇泰州）近年來，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線為全程的普通道路，路線包含快速通道，全程，走路線比走路線平均速度提高，時(shí)間節(jié)省，求走路線的平均速度．【答案】75km/h【分析】根據(jù)題意，設(shè)走線路A的平均速度為，則線路B的速度為，由等量關(guān)系列出方程，解方程即可得到答案．【解析】解：設(shè)走線路A的平均速度為，則線路B的速度為，則，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原分式方程的解；∴走路線的平均速度為：（km/h）；【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，以及理解題意的能力，解題的關(guān)鍵是以時(shí)間做為等量關(guān)系列方程求解．2．（2021內(nèi)蒙古烏蘭察布）小剛家到學(xué)校的距離是1800米．某天早上，小剛到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)作業(yè)本忘在家中，此時(shí)離上課還有20分鐘，于是他立即按原路跑步回家，拿到作業(yè)本后騎自行車按原路返回學(xué)校．已知小剛騎自行車時(shí)間比跑步時(shí)間少用了4.5分鐘，且騎自行車的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小剛跑步的平均速度；（2）如果小剛在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分鐘，他能否在上課前趕回學(xué)校？請說明理由．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）根據(jù)題意，列出分式方程即可求得小剛的跑步平均速度；（2）先求出小剛跑步和騎自行車的時(shí)間，加上取作業(yè)本和取自行車的時(shí)間，與上課時(shí)間20分鐘作比較即可．解：（1）設(shè)小剛跑步的平均速度為x米/分，則小剛騎自行車的平均速度為1.6x米/分，根據(jù)題意，得，解得：x＝150，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝150是所列方程的根，所以小剛跑步的平均速度為150米/分．（2）由（1）得小剛跑步的平均速度為150米/分，則小剛跑步所用時(shí)間為1800÷150＝12（分），騎自行車所用時(shí)間為12﹣4.5＝7.5（分），∵在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分，∴小剛從開始跑步回家到趕回學(xué)校需要12+7.5+3＝22.5（分）．又∵22.5＞20，所以小剛不能在上課前趕回學(xué)校．3.農(nóng)機(jī)廠職工到距工廠15千米的生產(chǎn)隊(duì)檢修農(nóng)機(jī)，一部分人騎自行車先走，40分鐘后，其余的人乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，已知汽車的速度是自行車的3倍，求兩車的速度．

【答案】自行車的速度是15千米/小時(shí)，汽車的速度為45千米/小時(shí)．【解析】設(shè)自行車的速度為x千米/小時(shí)，那么汽車的速度為3x千米/小時(shí)，依題意，得：解得x＝15．

經(jīng)檢驗(yàn)x＝15是這個(gè)方程的解．

當(dāng)x＝15時(shí)，3x＝45．

即自行車的速度是15千米/小時(shí)，汽車的速度為45千米/小時(shí)．4.（2019湖南湘西）某列車平均提速80km/h，用相同的時(shí)間，該列車提速前行駛300km，提速后比提速前多行駛200km，求該列車提速前的平均速度．【答案】該列車提速前的平均速度為120km/h．【解析】設(shè)該列車提速前的平均速度為xkm/h，則提速后的平均速度為（x+80）km/h，根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度結(jié)合提速前行駛300km和提速后行駛500km（300+200）所用時(shí)間相等，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．設(shè)該列車提速前的平均速度為xkm/h，則提速后的平均速度為（x+80）km/h，依題意，得：300x解得：x＝120，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝120是原方程的解，且符合題意．5．（2020?泰州）近年來，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線A為全程25km的普通道路，路線B包含快速通道，全程30km，走路線B比走路線A平均速度提高50%，時(shí)間節(jié)省6min，求走路線B的平均速度．【答案】見解析?！窘馕觥吭O(shè)走路線A的平均速度為xkm/h，則走路線B的平均速度為（1+50%）xkm/h，根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度結(jié)合走路線B比走路線A少用6min，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．設(shè)走路線A的平均速度為xkm/h，則走路線B的平均速度為（1+50%）xkm/h，依題意，得：25x解得：x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的解，且符合題意，∴（1+50%）x＝75．答：