自動控制原理控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型課件

2.3傳遞函數(shù)

2.3.12.3.22.3.3傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)2.3傳遞函數(shù)

2.3.1傳遞函數(shù)的定義微分方程形式的數(shù)學(xué)模型在實(shí)際應(yīng)用中一般會遇到如下的困難：

1）微分方程式的階次一高，求解就有難度，且計算的工作量大。

2）對于控制系統(tǒng)的分析，不僅要了解它在給定信號作用下的輸出響應(yīng)，而且更重視系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與其性能間的關(guān)系。對于后者的要求，顯然用微分方程式去描述是難于實(shí)現(xiàn)的。在控制工程中，一般并不需要精確地求系統(tǒng)微分方程式的解，作出它的輸出響應(yīng)曲線，而是希望用簡單的辦法了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定及其在動態(tài)過程中的主要特征，能夠判別某些參數(shù)的改變或校正裝置的加入對系統(tǒng)性能的影響。微分方程形式的數(shù)學(xué)模型在實(shí)際應(yīng)用中一般會遇到如下的困難：下面以一個簡單的R-C電路為例，說明卷積積分的應(yīng)用。

已知一R-C電路如圖2-12所示，其中輸入電壓為，輸出為電容兩端的充電電壓。由基爾霍夫定律得因?yàn)?，則上式便改寫為這就是該電路的微分方程式。方程兩端進(jìn)行拉氏變換2.3.1傳遞函數(shù)(transferfunction)的定義下面以一個簡單的R-C電路為例，說明卷積積分的應(yīng)用。2.3若則有其中，

若則有若則有其中，若傳遞函數(shù)的圖示：當(dāng)初始電壓為零時，電路輸出函數(shù)的拉氏變換函數(shù)與輸入函數(shù)拉氏變換之比，是一個只與電路結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)的函數(shù)，稱為傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的圖示：當(dāng)初始電壓為零時，電路輸出函數(shù)的拉氏變換函數(shù)式中，為系統(tǒng)的輸入量；為系統(tǒng)的輸出量。在零初始條件下，對上式進(jìn)行拉氏變換得

設(shè)線性定常數(shù)系統(tǒng)的微分方程式為式中，為系統(tǒng)的輸入量；為系統(tǒng)的輸出量。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為與之比，即

于是得其中在零初始條件()下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。據(jù)此得出線性定常系統(tǒng)（或元件）傳遞函數(shù)的定義：

輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)，即t<0時，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為與之比，例2-1

R-L-C串聯(lián)電路方法一方法二運(yùn)算法傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)的求法先列寫系統(tǒng)的微分方程，然后根據(jù)傳遞函數(shù)的定義求取

畫出運(yùn)算電路模型，將電路元件變?yōu)檫\(yùn)算阻抗，利用電路分析方法求取。例2-1R-L-C串聯(lián)電路傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)的求法先列寫適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動規(guī)律只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號的大小和形式無關(guān)一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入與輸出之間的關(guān)系。對于多輸入—多輸出的系統(tǒng)，用傳遞函數(shù)矩陣去表征系統(tǒng)的輸入與輸出間的關(guān)系。2.3.2傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)傳遞函數(shù)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t).適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下傳遞函數(shù)矩陣描述輸出與輸入間的關(guān)系傳遞函數(shù)矩陣描述輸出與輸入間的關(guān)系如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)，就可以根據(jù)卷積積分求解系統(tǒng)在任意輸入r(t)作用下的輸出響應(yīng)，即因?yàn)榍笕∠到y(tǒng)時域響應(yīng)的兩種方法：對r(t)拉式變換得到R(s),由得到C(s)，然后進(jìn)行拉式反變換得到c(t).由傳遞函數(shù)的拉式反變換得到g(t),由得到c(t).如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)，就可以根據(jù)卷積積分求解系求取該電路在單位階躍輸入時的響應(yīng)。

方法1方法2求取該電路在單位階躍輸入時的響應(yīng)。方法1方法2RLC無源網(wǎng)絡(luò)(例2-10)RLC無源網(wǎng)絡(luò)(例2-10)N(s)=0系統(tǒng)的特征方程，特征根 特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。

N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。！從微分方程的角度看，此時相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。K——系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。當(dāng)s=0時系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益?zhèn)鬟f函數(shù)的特征方程N(yùn)(s)=0系統(tǒng)的特征方程，特征根！從微分方程的角度看，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。！系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。！零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。零點(diǎn)和極點(diǎn)M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根-2-31-1傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖：將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形。零點(diǎn)用“o”表示極點(diǎn)用“×”表示零、極點(diǎn)分布圖-2-31-1傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖：零、極點(diǎn)分布圖

2.3.3控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件。一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運(yùn)動特性共同組成。同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。典型環(huán)節(jié)(nominal(typical)element)2.3.3控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸入不失真、不延遲、成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號。它的運(yùn)動方程為對應(yīng)的傳遞函數(shù)是式中，是環(huán)節(jié)的輸出量；是環(huán)節(jié)的輸入量；K為常數(shù)。

1.比例環(huán)節(jié)[Proportionalelement(link)]kR(S)C(S)方框圖：這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸入不失真、不延遲、成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號。它例1：齒輪傳動例1：齒輪傳動例2：運(yùn)算放大器例2：運(yùn)算放大器該環(huán)節(jié)的輸出量與其輸入量對時間的積分成正比，即有對應(yīng)的傳遞函數(shù)為2．積分環(huán)節(jié)[Integralloop(link)]方框圖：k/sR(s)C(s)積分環(huán)節(jié)具有記憶功能和明顯的滯后作用該環(huán)節(jié)的輸出量與其輸入量對時間的積分成正比，即有2．積分環(huán)節(jié)例1：積分調(diào)節(jié)器CUc(t)RUr(t)i1i2A傳遞函數(shù)為：例1：積分調(diào)節(jié)器CUc(t)RUr(t)i1i2A傳遞函數(shù)為慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是其輸出量緩慢地反映輸入量的變化規(guī)律。它的微分方程為對應(yīng)的傳遞函數(shù)為式中，T是環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。3.慣性環(huán)節(jié)[Inertialloop(link)]

慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是其輸出量緩慢地反映輸入量的變化規(guī)律。它的微分例1：RC慣性環(huán)節(jié)例1：RC慣性環(huán)節(jié)理想的微分環(huán)節(jié)，其輸出與輸入信號對時間的微分成正比，即有對應(yīng)的傳遞函數(shù)為

4．微分環(huán)節(jié)[derivativeloop(link)]理想的微分環(huán)節(jié)，其輸出與輸入信號對時間的微分成正比，即有4．例1：RC微分網(wǎng)絡(luò)例1：RC微分網(wǎng)絡(luò)特點(diǎn)：這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸出量不僅與輸入量本身有關(guān)，而且與輸入量的變化率有關(guān)運(yùn)動方程對應(yīng)的傳遞函數(shù)是

一階微分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸出量不僅與輸入量本身有關(guān)，而且與輸入這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是，如輸入為一階躍信號，則其輸出成周期性振蕩形式。式中，T為時間常數(shù);K為放大系數(shù);ξ為阻尼比，其值為0<ξ<1。由于該傳遞函數(shù)有一對位于s左邊面的共軛極點(diǎn)，因而這種環(huán)節(jié)在階躍信號作用下，其輸出必必然會呈現(xiàn)出振蕩性質(zhì)。5．振蕩環(huán)節(jié)[oscillatoryloop(link)]這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是，如輸入為一階躍信號，則其輸出成周期性振蕩形

例1：

R-L-C電路傳遞函數(shù)微分方程例1：R-L-C電路傳遞函數(shù)微分方程例2：機(jī)械平移系統(tǒng)例2：機(jī)械平移系統(tǒng)

在有滯后作用的系統(tǒng)中，其輸出信號與輸入信號的形狀完全相同，只是延遲一段時間后重現(xiàn)原函數(shù)。其動態(tài)方程為它們之間的傳遞函數(shù)為

6.滯后環(huán)節(jié)[lag/delayloop(link)]—環(huán)節(jié)的時間常數(shù)6.滯后環(huán)節(jié)[lag/delayloop(link)]例1：水箱進(jìn)水管的延滯例1：水箱進(jìn)水管的延滯比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)！串聯(lián)純微分環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲建模modelling數(shù)學(xué)模型mathematicalmodel微分方程式differentialequation非線性的nonlinear線性化linearization輸入量input輸出量output傳遞函數(shù)transferfunction拉氏變換LaplacetransformWORDSANDPHARASES建模modellingWOR2.3傳遞函數(shù)

2.3.12.3.22.3.3傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)2.3傳遞函數(shù)

2.3.1傳遞函數(shù)的定義微分方程形式的數(shù)學(xué)模型在實(shí)際應(yīng)用中一般會遇到如下的困難：

1）微分方程式的階次一高，求解就有難度，且計算的工作量大。

2）對于控制系統(tǒng)的分析，不僅要了解它在給定信號作用下的輸出響應(yīng)，而且更重視系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與其性能間的關(guān)系。對于后者的要求，顯然用微分方程式去描述是難于實(shí)現(xiàn)的。在控制工程中，一般并不需要精確地求系統(tǒng)微分方程式的解，作出它的輸出響應(yīng)曲線，而是希望用簡單的辦法了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定及其在動態(tài)過程中的主要特征，能夠判別某些參數(shù)的改變或校正裝置的加入對系統(tǒng)性能的影響。微分方程形式的數(shù)學(xué)模型在實(shí)際應(yīng)用中一般會遇到如下的困難：下面以一個簡單的R-C電路為例，說明卷積積分的應(yīng)用。

已知一R-C電路如圖2-12所示，其中輸入電壓為，輸出為電容兩端的充電電壓。由基爾霍夫定律得因?yàn)椋瑒t上式便改寫為這就是該電路的微分方程式。方程兩端進(jìn)行拉氏變換2.3.1傳遞函數(shù)(transferfunction)的定義下面以一個簡單的R-C電路為例，說明卷積積分的應(yīng)用。2.3若則有其中，

若則有若則有其中，若傳遞函數(shù)的圖示：當(dāng)初始電壓為零時，電路輸出函數(shù)的拉氏變換函數(shù)與輸入函數(shù)拉氏變換之比，是一個只與電路結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)的函數(shù)，稱為傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的圖示：當(dāng)初始電壓為零時，電路輸出函數(shù)的拉氏變換函數(shù)式中，為系統(tǒng)的輸入量；為系統(tǒng)的輸出量。在零初始條件下，對上式進(jìn)行拉氏變換得

設(shè)線性定常數(shù)系統(tǒng)的微分方程式為式中，為系統(tǒng)的輸入量；為系統(tǒng)的輸出量。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為與之比，即

于是得其中在零初始條件()下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。據(jù)此得出線性定常系統(tǒng)（或元件）傳遞函數(shù)的定義：

輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)，即t<0時，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為與之比，例2-1

R-L-C串聯(lián)電路方法一方法二運(yùn)算法傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)的求法先列寫系統(tǒng)的微分方程，然后根據(jù)傳遞函數(shù)的定義求取

畫出運(yùn)算電路模型，將電路元件變?yōu)檫\(yùn)算阻抗，利用電路分析方法求取。例2-1R-L-C串聯(lián)電路傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)的求法先列寫適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動規(guī)律只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號的大小和形式無關(guān)一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入與輸出之間的關(guān)系。對于多輸入—多輸出的系統(tǒng)，用傳遞函數(shù)矩陣去表征系統(tǒng)的輸入與輸出間的關(guān)系。2.3.2傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)傳遞函數(shù)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t).適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下傳遞函數(shù)矩陣描述輸出與輸入間的關(guān)系傳遞函數(shù)矩陣描述輸出與輸入間的關(guān)系如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)，就可以根據(jù)卷積積分求解系統(tǒng)在任意輸入r(t)作用下的輸出響應(yīng)，即因?yàn)榍笕∠到y(tǒng)時域響應(yīng)的兩種方法：對r(t)拉式變換得到R(s),由得到C(s)，然后進(jìn)行拉式反變換得到c(t).由傳遞函數(shù)的拉式反變換得到g(t),由得到c(t).如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)，就可以根據(jù)卷積積分求解系求取該電路在單位階躍輸入時的響應(yīng)。

方法1方法2求取該電路在單位階躍輸入時的響應(yīng)。方法1方法2RLC無源網(wǎng)絡(luò)(例2-10)RLC無源網(wǎng)絡(luò)(例2-10)N(s)=0系統(tǒng)的特征方程，特征根 特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。

N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。！從微分方程的角度看，此時相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。K——系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。當(dāng)s=0時系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益?zhèn)鬟f函數(shù)的特征方程N(yùn)(s)=0系統(tǒng)的特征方程，特征根！從微分方程的角度看，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。！系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。！零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。零點(diǎn)和極點(diǎn)M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根-2-31-1傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖：將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形。零點(diǎn)用“o”表示極點(diǎn)用“×”表示零、極點(diǎn)分布圖-2-31-1傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖：零、極點(diǎn)分布圖

2.3.3控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件。一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運(yùn)動特性共同組成。同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。典型環(huán)節(jié)(nominal(typical)element)2.3.3控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸入不失真、不延遲、成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號。它的運(yùn)動方程為對應(yīng)的傳遞函數(shù)是式中，是環(huán)節(jié)的輸出量；是環(huán)節(jié)的輸入量；K為常數(shù)。

1.比例環(huán)節(jié)[Proportionalelement(link)]kR(S)C(S)方框圖：這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸入不失真、不延遲、成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號。它例1：齒輪傳動例1：齒輪傳動例2：運(yùn)算放大器例2：運(yùn)算放大器該環(huán)節(jié)的輸出量與其輸入量對時間的積分成正比，即有對應(yīng)的傳遞函數(shù)為2．積分環(huán)節(jié)[Integralloop(link)]方框圖：k/sR(s)C(s)積分環(huán)節(jié)具有記憶功能和明顯的滯后作用該環(huán)節(jié)的輸出量與其輸入量對時間的積分成正比，即有2．積分環(huán)節(jié)例1：積分調(diào)節(jié)器CUc(t)RUr(t)i1i2A傳遞函數(shù)為：例1：積分調(diào)節(jié)器CUc(t)RUr(t)i1i2A傳遞函數(shù)為慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是其輸出量緩慢地反映輸入量的變化規(guī)律。它的微分方程為對應(yīng)的傳遞函數(shù)為式中，T是環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。3.慣性環(huán)節(jié)[Inertialloop(link)]

慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是其輸出量緩慢地反映輸入量的變化規(guī)律。它的微分例1：RC慣性環(huán)節(jié)例1：RC慣性環(huán)節(jié)理想的微分環(huán)節(jié)，其輸出與輸入信號對時間的微分成正比，即有對應(yīng)的傳遞函數(shù)為

4．微分環(huán)節(jié)[derivativeloop(link)]理想的微分環(huán)節(jié)，其輸出與輸入信號對時間的微分成正比，即有4．例1：RC微分網(wǎng)絡(luò)例1：RC微分網(wǎng)絡(luò)特點(diǎn)：這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸出量不僅與輸入量本身有關(guān)，而且與輸入量的變化率有關(guān)運(yùn)動方程對應(yīng)的傳遞函數(shù)是

一階微分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸出量不僅與輸入量本身有關(guān)，而且與輸入這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)