深究習(xí)例開拓能力 論文

Word-10-深究習(xí)例開拓能力論文

深究是一種重要的思想辦法和學(xué)習(xí)辦法。

老師充分挖掘課本習(xí)、例題的潛能，不僅能開辟同學(xué)的解題思路，激活同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好，而且還能有效地開辟同學(xué)的本事，提升教學(xué)質(zhì)量。

一、變形創(chuàng)新，培養(yǎng)思維轉(zhuǎn)換本事

思維轉(zhuǎn)換本事是指：由一種思維對(duì)象轉(zhuǎn)移到另一種思維對(duì)象，由一種思維方式過渡到另一種思維方式的能力，也就是通常所說的思維的靈便性。適當(dāng)?shù)匕褑栴}引伸、變形，對(duì)于調(diào)動(dòng)同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好，學(xué)習(xí)的樂觀性和主動(dòng)性，激活同學(xué)的求知欲望，拓寬解題思路、培養(yǎng)思維轉(zhuǎn)換本事，有著重要意義。如：

例1，如圖1，MN是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，求證：點(diǎn)A，B與MN的距離和等于⊙O的直徑。（第三冊(cè)P116第8題）

（附圖{圖}）

圖1

此題是很一般的習(xí)題，但經(jīng)過深究，不難發(fā)覺它的內(nèi)涵之豐盛。

（一）解題辦法

1.連結(jié)OC，證實(shí)半徑OC是直角梯形的中位線。

2.過C作CG⊥AB，連結(jié)AC、BC，證實(shí)△ADC≌△AGC，△BEC≌△BGC得AD=AG，BE=BG

BEADOC

3.如圖2，連結(jié)OC，延伸AB交MN于P，明顯sinP=──=──=──?

PBPDOPBE+ADOCBE+ADOC───=──，即───=──PB+PDOP2OPOP

從而BE+AD=2OC

（附圖{圖}）

圖2

（二）變形創(chuàng)新

假如MN不是切線，而是割線，則有

例2，如圖3，AB是⊙O的直徑，MN交⊙O于E、F（E、F在AB的同側(cè)）兩點(diǎn)，AD⊥MN，BC⊥MN，垂足分離為D、C，連結(jié)AF、AE，設(shè)AD=a，CD=b，BC=c，求證：tg∠DAF和tg∠DAE是方程：ax[2,]-bx+c=0的根

DF+DEDF+DE

證實(shí)：①證tg∠DAF+tg∠DAE=───=────

ADa

b

②過O作OG⊥EF，證DF=CE，得tg∠DAF+tg∠DAE=──，

a

BC

③連結(jié)BE，證∠CEB=∠DAE，tg∠DAE=tg∠CEB=──，得

CE

c

tg∠DAF·tg∠DAE=tg∠DAF·tg∠CEB=──結(jié)論已明。

a

（附圖{圖}）

圖3

二、創(chuàng)設(shè)反面，培養(yǎng)逆向思維本事

所謂逆向思維，就是與原有些思維方向徹低相反的思維。逆向思維能有效地打破思維定勢(shì)，啟動(dòng)思維轉(zhuǎn)換機(jī)制。當(dāng)我們的思維陷入某種逆境時(shí)，逆向思維往往使人茅塞頓開。因此，創(chuàng)設(shè)命題的逆命題，是深究問題的又一重要方面。如：

例3，如圖4，Rt△ABC的兩條直角邊AC、BC的長分離為3cm和4cm，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點(diǎn)D，求：BD的長。（第三冊(cè)P128第2題）

（附圖{圖}）

（附圖{圖}）

圖4

此題是很容易的解答題，但經(jīng)深究，可創(chuàng)設(shè)：

命題：如圖5，Rt△ABC中，兩條直角邊是AC、BC，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點(diǎn)D，過D作圓的切線，交BC于E，求證：E是BC中點(diǎn)。

證實(shí)：連結(jié)CD、OD，證EB=ED

從而得：E是BC中點(diǎn)。

（附圖{圖}）

圖5

逆命題：BC、AC是Rt△ABC的兩條直角邊，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點(diǎn)D，E是BC中點(diǎn)，求證：DE是圓的切線。

證實(shí)：連結(jié)OD、CD、OE，證△ODE≌OCE?∠ODE=∠OCE=90°，結(jié)論得證。

充分挖掘這種習(xí)、例題的潛能，創(chuàng)設(shè)新穎課題，使同學(xué)在樂觀的探索中學(xué)到了學(xué)問，進(jìn)展了智力，提升了本事。

三、由此及彼，培養(yǎng)思維的廣大性

思維的廣大性，也稱為思維的廣度，是指思路的寬廣，富有想象力，擅長從多角度、多方向、多層次去思考問題，熟悉問題和解決問題。

數(shù)學(xué)習(xí)題浩如煙海，如何從“題?！敝薪饷摮鰜恚嵘虒W(xué)本事呢？這就要求我們對(duì)課本的習(xí)、例題不僅僅滿足于詳細(xì)辦法，而應(yīng)當(dāng)挖掘題目中的豐盛內(nèi)涵，訓(xùn)練同學(xué)思維的靈便性、廣大性，提升規(guī)律思維本事和發(fā)展制造本事。如：

例4，如圖6，△ABC中，E是內(nèi)心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于D，求證：DE=DB。（第三冊(cè)P117第12題）

證實(shí)：連結(jié)BE，證∠BED=∠DBE?DE=DB。

（附圖{圖}）

圖6

例5，如圖7，△ABC中，∠A和∠B的平分線相交于I，AI交邊BC于D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E，求證；IE[2,]=AE·DE。

證實(shí)：連結(jié)BE，證△BED∽△AEB?BE[2,]=AE·DE，再證IE=BE，即得：IE[2,]=AE·DE。

（附圖{圖}）

圖7

例6，如圖8，△ABC中，∠A的平分線交BC于F，交△ABC的外接圓于D，連結(jié)BD，過D作△ABC的外接圓的切線，交AC的延伸線于E，假如AB:AC=3:2，BD=3?，DE+EC=6，求：BF的長。

（附圖{圖}）

圖8

解：連結(jié)CD，證BD[2,]=BF·DE，

36-2EC

再證AC=───，

EC

12

后證AC=──，從而求得：BF=4.5。

EC

假如AD不是∠A的平分線，而是△ABC外接圓的直徑，那么有

例7，如圖9，AE是△ABC外接圓的直徑，AE交BC于D，求證：tgB·

p;ADtgC=──

DE

證實(shí)：連結(jié)BE、CE，

AC

證tgB=tgCEA=──

CE

AB

tgC=tgBEA=──

BE

ADAB·ACAD

再證──=────，從而得tgB·tgC=──

DEBE·CEDE

（附圖{圖}）

圖9

如上所述，抓住題目的特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)难莼⒁?、拓寬，不僅交流了學(xué)問間的內(nèi)在聯(lián)系，使同學(xué)思維活動(dòng)始終處于一種由淺入深，由此及彼，由一題到一路的“動(dòng)態(tài)”進(jìn)程之中，而且充分調(diào)動(dòng)了同學(xué)學(xué)習(xí)的樂觀性和主動(dòng)性，激活了他們的求知欲望和學(xué)習(xí)愛好，進(jìn)一步進(jìn)展了思維本事。

四、拋磚引玉，特別摸索，進(jìn)展智力，提升本事

為了解題的需要，用一些特別的數(shù)、式、圖形位置摸索，從而得到解題思路。如：

例8，如圖10，△ABC中，∠A的平分線和外接圓相交于D，BE是圓的切線，DF⊥BC，DG⊥BE，垂足分離為F，G。

求證：DF=DG（第三冊(cè)P131第6題）。

設(shè)R是BD上一點(diǎn)（不包括點(diǎn)B）。

求證：S△RGB:S△RBC=1:2

證實(shí)：連結(jié)BD，證∠CBD=∠EBD，即得DF=DG。

分析：這是個(gè)定值的論證，且定值為1:2，如何尋求這個(gè)定值呢？一個(gè)命題在普通狀況下是正確的，則在特別狀況下也必定正確。本題動(dòng)點(diǎn)R在BD上，那么把點(diǎn)R取在點(diǎn)D處，DF⊥BC，垂足為F，不難證實(shí)BF:BC=1:2，也簡(jiǎn)單證實(shí)BD是∠CBE的平分線，點(diǎn)R在BD上，由于點(diǎn)R到∠CBE兩邊的距離相等，所以△RBG與△RBC的面積比與R在BD所取的位置無關(guān)，現(xiàn)在只要證實(shí)BG=BF。

1

證實(shí)：①證BF=──BC，

2

②證BG=BF，

③設(shè)點(diǎn)R到BG、BC的距離分離為h[,1]、h[,2]，則h[,1]=h[,2]

所以，S△RGB:S△RBC=1:2。

（附圖{圖}）

圖10

又如例9，如圖11，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分離和⊙O切于點(diǎn)A、B，PA=PB=4cm，∠APB=40°，C是弧AB上任意一點(diǎn)，過C作⊙O的切線，分離交PA、PB于D、E。求：△PDE的周長，∠DOE的度數(shù)。（第三冊(cè)P133第2題）

解：連結(jié)OA、OB、OC，①證DC=DA，EC=EB，可求得△PAB的周長=PA+PB=8，②證

11

∠DOC=─∠AOC，∠EOC=─∠BOC

22

可求得∠DOE=70°

（附圖{圖}）

圖11

本題難度不大，但在原題基礎(chǔ)上加以變換更新，能使題目新穎，更有效地培養(yǎng)同學(xué)的智力，提升解題本事。如：

例10，如圖12，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分離和⊙O切于點(diǎn)A，B，PA=PB=L，∠APB=n°，C是弧AB上隨意一點(diǎn)，過C作⊙O的切線分離交PA、PB于D、E，求證：△PDE的周長和∠DOE的度都為定值。

分析：定值問題中的所求“定”而無“值”，證實(shí)方向不明，這是這類問題最大的難處，如何突破這個(gè)難關(guān)呢？能夠這樣引領(lǐng)和引發(fā)同學(xué)：C是弧AB上隨意一點(diǎn)，那么把點(diǎn)C取在弧AB的中點(diǎn)上，射線PCO是∠APB的對(duì)稱軸，射線DO是∠ADC的對(duì)稱軸，由此可得△PDE的周為定值2L，∠DOE

1的定值為90°-──n°，那么普通地就要證實(shí)：PD+DC+CE+PE=2L

2

1和∠DOC+∠EOC=90°-─n°成立。從求證式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，簡(jiǎn)單想

2到，證實(shí)中必需用切線長定理。

連結(jié)OA、OB、OC

∵DA、DC分離切⊙O于A、C

1

∴DC=DA，∠DOC=─∠AOC，

2

1

同理：CE=EB，∠EOC=─∠BOC

2

∴PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=2L

11

∠DOC+∠EOC=──=90°-──n°

22

1

即PD+DE+PE=2L，∠DOE=90°-──n°