高三線性及不等式應(yīng)用

精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講學(xué) 級(jí)：高 數(shù)學(xué) 輔導(dǎo)科目：數(shù) 學(xué)科教師授課類

T（簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題

C（幾種非線性規(guī)劃

T（不等式綜合運(yùn)用授課日期及教學(xué)內(nèi)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問作二元一次不等式ax＋by＋c＞0(或ax＋by＋c＜0)表示的平面區(qū)域的方法步驟在直線的一側(cè)任取一點(diǎn)P(x0，y0)，特別地，當(dāng)c≠0時(shí)，常 作為此特殊點(diǎn)若ax0＋by0＋c＞0，則包含點(diǎn)P的半平面為不等式 所表示的平面區(qū)域，不包含點(diǎn)P的半平面為不等式 的解 組成的集合 取得最大值或最小值的可行解在約束條件下，當(dāng)b＞0時(shí)，求目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解程序?yàn)榇_定l0的平移方向，依可行域判斷取得最優(yōu)解的點(diǎn) ，不可將范圍盲目擴(kuò)大

直線Ax＋By＋C＝0上直線Ax＋By＋C＝0下直線Ax＋By＋C＝0下直線Ax＋By＋C＝0上AxB＋C≥＋ByC≤Axy＋C0[難點(diǎn)疑點(diǎn)一般地說，直線不過原點(diǎn)時(shí)用原點(diǎn)判斷法或B值判斷法，直線過原點(diǎn)時(shí)用B值判斷法或用(1,0)點(diǎn)判斷AxBy≥0(Axy＋C0AxB＋C＝0求二元一次函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式 ax＋z，通過求直線 截距zzb>0時(shí)，截距z取最大值時(shí)，z也取最大值；截距z取最小值時(shí)，z b<0時(shí)，截距z取最大值時(shí)，z取最小值；截距z取最小值時(shí)，z 題型1：二元一次不等式表示的區(qū)[分析](1)用特殊點(diǎn)，如原點(diǎn)確定不等式表示的平面區(qū)域；[解析](13x＋2y＋6＝0(畫成虛線)，取原點(diǎn)(0,0∴(0,0)在3x＋2y＋6>0表示的平面區(qū)域內(nèi)，(2)不等式x<3表示x＝3左側(cè)點(diǎn)的集合，不等式2y≥xx－2y＝0其左上方點(diǎn)的集合．不等式3x＋2y≥63x＋2y－6＝0不等式3y<x＋9表示直線3y－x－9＝0右下方點(diǎn)的集合．綜上可得：不等式組表示的平面區(qū) 舉一反三：（1）若點(diǎn)(1,3)和(－4，－2)在直線2x＋y＋m＝0的兩側(cè)，則m的取值范圍 (2×1＋3＋m)[2×(－4)－2＋m]<0，

，表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是 43

D．0<a≤13[答案]l：x＋y＝al1、l2l32：設(shè)變量x，y滿足約束條件

則其所表示的平面區(qū)域的面積 [答案]舉一反三：（1）x，y的不等式組x＋y－2≥0，

所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為 C．1或 kk[答案][解析]其中平面區(qū)域kx－y＋2≥0kx－y＋2＝0 ，根據(jù)平面區(qū)域面積為4，得A(2,4)，代入直線方程，得k＝1.（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域 x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B＝{＋y，x－y)(x，y)∈A}的面積為 2 2 [答案][解析]

x－y＝n

2，y＝2 即

中的整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）共有 A.85 B.88 C.91D.94[分析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用， 不等式 表示的平面區(qū)域如下圖 示y=116y=214個(gè)整點(diǎn)；y=313y=411個(gè)整點(diǎn)；y=510y=68個(gè)整點(diǎn)；y=77y=85個(gè)整點(diǎn)；y=94y=102個(gè)整點(diǎn)；y=111個(gè)整點(diǎn)；91個(gè)整點(diǎn)，C 表示的平面區(qū)域是W，若W中的整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）共有91個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ A. [分析]考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃 可以先畫出足約束條 的平面區(qū)域，再分析 滿足約束條 的平面區(qū)域如下圖其中當(dāng)a=1時(shí)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為=91個(gè)0＜a≤1設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足不等式 ，若x、y為整數(shù)，則3x+4y的最小值是 A. B. C. D.，[分析]本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用 后分析平面區(qū)域里各個(gè)整點(diǎn)，然后將其代入3x+4y中，求出3x+4y的最小值．， 依題意作出可行性區(qū) 題型2：求目標(biāo)函數(shù)的值1：x，y滿足條件

4x－3y[分析]z＝4x－3y[解答]不等式組x＋7y－11≤0

表示的區(qū) 得 解方程組

，得 則B(－3,2)，因此4x－3y的最大值和最小值分別為[點(diǎn)評(píng)]1.求目標(biāo)函數(shù)的最值，必須先準(zhǔn)確地作出線性可行域再作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，據(jù)題意確定取得最優(yōu)線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by取最大值時(shí)的最優(yōu)解與b的正負(fù)有關(guān)，當(dāng)b>0時(shí)，最優(yōu)解是將直線ax＋by＝0在可b<0提醒：在移動(dòng)直線ax＋by＝0時(shí)，要注意斜率和邊界直線斜率的關(guān)系舉一反三：（1）若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式

且x＋y的最大值為9，則實(shí)數(shù) [答案][解析]

5由

平移y＝－x，當(dāng)其經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，x＋y取最大值，即

－1

取值范圍

畫出x、y滿足條件的可行 ，要使目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則直線1的斜率應(yīng)小于直線x＋2y－3＝0的斜率，即

，∴a> 給出平面區(qū)域如下圖所示若使目標(biāo)函數(shù)Z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個(gè)則a的值為 554

3[答案]Z＝ax＋y(a>0)lAC5 5即－a＝KAC＝1－55

，∴a＝5 [答案][解析]∵a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z即2x＋3y－z＝0.又|x|＋|y|≤1表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分∴當(dāng)2x＋3y－z＝0過點(diǎn)B(0，－1)時(shí)，zmin＝－3，當(dāng)2x＋3y－z＝0過點(diǎn)A(0,1)時(shí)題型3：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)1：某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)做總時(shí)間不超過300分鐘的，總費(fèi)用不超過9萬元．甲、乙電視臺(tái)的500元/200元/分鐘．假定甲、乙兩個(gè)為該公司所做的每分鐘，能給0.30.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)的 [解答]設(shè)公司在 和 的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意500x＋200y≤90z＝3000x＋2

l：3000x＋2平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為∴zmax＝3000x＋2000y＝700000即該公司在 做100分 ，在 ，公司 （1） ，種植面積不超過50畝，投入 年產(chǎn)量/年種植成本/41.20.5560.90.3為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜 的種植面積(單位：畝)分別 用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品，甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小每千克B產(chǎn)品獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過480小時(shí)，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為( [答案] [解析](1)設(shè)種植黃瓜x畝 y畝，則由題意可知

求目標(biāo)函數(shù)z＝x＋0.9y當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線l向右平移，移至點(diǎn)A(30,20)處時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)黃瓜種植30畝， （2）設(shè)甲每天加工x箱，乙每天加工y箱，利潤為則

，即畫出可行 ，作直線l0：7x＋5y＝0，并平移至經(jīng)過點(diǎn)A(15,55)時(shí)，z取最大值，∴選設(shè)A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三角形的三邊長}，則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是 答案11解析由已知得解析由已知得即1y<

22

)2x＋y－10＝0與不等式組

表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有 A．0 B．1 C．2 答案解析2x＋y－10＝01(2012·山東)x，y滿足約束條件

z＝3x－y

答案

解析3x－y＝0A時(shí)，z＝3x－yB時(shí)，z＝3x－y由

由

∴z＝3x－y的取值范圍是當(dāng)點(diǎn)M(x，y)在 的三角形ABC區(qū)域內(nèi)(含邊界)運(yùn)動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y取得最大值的一個(gè)最優(yōu)解為(1,2)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( [答案]B－k≤kAC＝10≥－k≥kBC＝－1，即已知x，y滿足

，如果目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，則實(shí)數(shù)m等于 [答案]Bm>0z＝x－yy＝x－zA時(shí)，－z取z取最小值－1.

由

A(3

31＋m2m－1∴z＝3－3＝3

所表示的平面區(qū)域被直線 k的值是

答案

解析不等式組表示的平面區(qū) y＝kx＋3過定點(diǎn)，3.ABy＝kx＋3A(1,1)，B(0,4)AB

某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸．銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元、每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得的最大利潤是 答案解析xy噸，z＝5x＋3y.由題意得x、yA點(diǎn)取值時(shí)，zx＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(萬元(10分)2x－3<y≤3解先將所給不等式轉(zhuǎn)化為x，y即求

所給不等式等價(jià)于依照二元一次不等式表示平面區(qū)域可得如圖2x－3<y≤3的正整數(shù)解，再畫出y≤3，

表示的平面區(qū)域．如圖(2) 率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.若投資人計(jì) 額不超過10萬元，要求確保可能的 虧損不超過1.8萬元，問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少 解x萬元、y由題意知

上述不等式組表示的平面區(qū) z＝x＋0.5yy＝－2x＋2z，這是斜率為－2zy＝－2x＋2z經(jīng)過可行域內(nèi)My＝－2x＋2zy2z最大，z也最大．Mx＋y＝100.3x＋0.1y＝1.8解方程組

∵7>0，∴x＝4，y＝6時(shí)，z4萬元投資甲項(xiàng)目、61.8萬元的前提下，使可能的

例1：變量x、y滿足 設(shè) z的最小值＝xz＝x2＋y2zz＝x2＋y2＋6x－4y＋13z審題視角(x，y)

(x，y)與點(diǎn)(0,0)連線的斜率．(2)x2＋y2x－0(x，y)與點(diǎn)(0,0)連線距離的平方．(3)x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2可以理解為點(diǎn)(x，y)與(－3,2)的距離的解由約束條件

由 由

，5

由

B(5,2)．[4分 ∴zO5zmin＝kOB＝2.[6分5dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.∴2≤z≤29.[9分z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(－3,2)的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到(－3,2)的距離中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝－3－52＋2－22＝8.∴16≤z≤64.[12分

舉一反三：設(shè)變量x，y滿足約束條件

則 的取值范圍

(x，y)與點(diǎn)(－3，－3)連線的斜率的取值范圍[解析]畫出可行域如圖，z表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，yE(－3，－3)連線的斜率，則由圖像可知，連線過點(diǎn)CB時(shí)斜率最大．0＋3 ＝

2＋3 3所以z的取值范圍是

53[答案]

5b[點(diǎn)評(píng)]此類題可以歸類為求x的取值范圍，即求點(diǎn)(b，a)(注：點(diǎn)(b，ab

2D是不等式組

所表示的平面區(qū)域，則區(qū)域D中的點(diǎn)P(x，y)到直線x＋y＝10的距的最大值 [答案]4(1,1)x＋y＝104

稱．對(duì)于Ω1中的任意點(diǎn)A與Ω2中的任意點(diǎn)B，|AB|的最小值等于 55答案

5

不等式組

，所表示的平面區(qū) ，解方程組

，得 A(1,1)3x－4y－9＝0

二、專題過

P在平面區(qū)域

Qx2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ| 2 42C．2 D.答案

解析P取點(diǎn)，2，Q取點(diǎn)(0，－1)時(shí)，|PQ|有最小值為

則實(shí)數(shù)m的最大值為 22答案

解析y＝2x

m≤1m1.

，所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖像過區(qū)M的a的取值范圍是 B．[2， D．[[答案][解析]由二元一次不等式組

得所表示的平面區(qū)域M為圖中陰影部分∴使函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖像過區(qū)域Ma的取值范圍為[2,9]．故選已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－2，＋∞)，部分對(duì)應(yīng)值如下表x0411f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖 ．若兩正數(shù)a、b滿足f(2a＋b)<1，求

[解析]由y＝f′(x)圖像知，f(x)在[－2,0]為減函數(shù)，在[0,4]∴－2<2a＋b<4，且a>0，b>0，可行域如圖陰影部分．而

可看作(a，b)與(－3，－3)兩點(diǎn)連線的斜率35

，kPB＝3

3 的取值范圍為5

已知x，y滿足z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值yz＝zx[解析]不等式組

表示的平面區(qū) ．圖中陰影部分即為可行域

過原點(diǎn)(0,0)作直線l垂直于直線x＋y－3＝0，垂足為N，則直線l的方程為

3由 得

∴N2，3322

3N2

AB上，也在可行域內(nèi) 92此時(shí)可行域內(nèi)點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離最大，點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離最小．又OM＝ 92

2≤x＋y≤22

≤x＋y9所以，z13，z2由圖象可得，原點(diǎn)與可行域內(nèi)的點(diǎn)A的連線的斜率值最大，與點(diǎn)B的連線的斜率值最小1

，∴

21∴z2，z2三、學(xué)法提1、專題特點(diǎn)：2(1)x2＋y2表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)x－a2＋y－b2表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，by

表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率xax－表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率a3一、能力培

不等式的綜合運(yùn)1、已知a＞b＞0，求a2+的最小值b（a﹣b）范圍，進(jìn)而代入原式，進(jìn)一步利用基本不等式求得問題答案．解答解：∵b（a﹣b）≤（）2=，∴a2+≥a2+當(dāng)且僅 ， 時(shí)取等號(hào)2、已知函數(shù)f（x）=x2﹣blnx在（1，2]是增函數(shù)，g（x）=x﹣b在（0，1）為減函數(shù)求b設(shè)函數(shù)φ（x）=2ax﹣是區(qū)間（0，1]上的增函數(shù)，且對(duì)于（0，1]內(nèi)的任意兩個(gè)變量s、t，f（s）≥?（t）a的取值范圍．（2）由于函數(shù)在x∈（0，1]上為增函數(shù)，則φ'（x）≥0在（0，1]上恒成立，即（0，1]a解答解：（1）∵f′（x）≥0x∈（1，2]b≤2x2x∈（1，2]∴b≤2（3分，，∴b≥2（5分∴b=2（6分∴f（x）1（8分 ， ∵函數(shù)在x∈（0，1]上為增函數(shù)∴φ'（x）≥0在（0，1] ∴a≥﹣1，且的最大值為2a﹣1（10分）依題意，解得﹣1≤a≤1為所求范圍（12分）3（2008?南通模擬）2的等邊△ABCDE把草坪分成面積相等的兩部分，DAB上，EAC上．AD=x（x≥0），ED=yxyDE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DEDE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應(yīng)在哪里？請(qǐng)予證明．分析（1）先根據(jù)S△ADE=S△ABC求得x和AE的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)余弦定理把x和AE的關(guān)系代入求得x和解答解（1）在△ADE中，y2=x2+AE2﹣2x?AE?cos60°?y2=x2+AE2﹣x?AE，①又S△ADE=S△ABC=22=x?AE?sin60°?x?AE=2．②②代入①得y2=x2+ （2）如果DE是水管 當(dāng)且僅當(dāng)x2=，即x= 時(shí)“=”成立，故DE∥BC，且DE= 如果DE是參觀線路，記f（x）=x2+，DEABAC中線時(shí)，DE最長．二、能力點(diǎn)學(xué)法升一、知識(shí)收二、方法總

z過求直線的截距bz

＝－b＋b三、技巧提3、解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖應(yīng)盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范．求最優(yōu)解時(shí)，若沒有特殊要求一般為邊界交點(diǎn)若實(shí)際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解而 利用圖解法得到的解為非整數(shù)解應(yīng)作適當(dāng)調(diào)整其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)直線的距離為依據(jù)在直線附近尋求與直線距離最近的整點(diǎn)但必須是在可行域內(nèi)尋找.但考慮到圖畢竟還是會(huì)有誤差假若圖上的最優(yōu)解并不明顯易辨時(shí)應(yīng)將最優(yōu)解附近的整點(diǎn)都找出來然后逐一檢查，以“驗(yàn)明正身．課后作

文)設(shè)x，y滿足約束條件

則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y的最大值是 [答案]C[解析]該題考查線性規(guī)劃知識(shí)，求線性目標(biāo)函數(shù) 作z＝0時(shí)：x＋y＝0的直線，在可行域內(nèi)平移，當(dāng)移至A(6,0)時(shí)，x＋y－z＝0的截距最大，此時(shí)z值最大2．(2010·山東理)設(shè)變量x、y滿足約束條件

，則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－4y的最大值和最小值別為 [答案]A3x－4y＝0(3,5)時(shí)，z取最小值－11，平移至點(diǎn)(5,3)取最大3.若直線y＝kx＋1x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P、Q關(guān)于x＋y＝0對(duì)稱，則不等組

表示的平面區(qū)域的面積是 2 24

[答案]P、Qx＋y＝0y＝kx＋1x＋y＝0

kx＋y＝0

2∴m＝－1，則不等式組 1如圖，A坐標(biāo)為(－1,0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為

，21

＝ 24．(2009·陜西)若x，y滿足約束條件

，目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，則的取值范圍是 [解析]本小題主要考查線性規(guī)劃問題．解

得 a2

∴－4<a<2，故選

xy1a≥0，b≥0，且當(dāng)xy

答案2、已知平面區(qū)域D由以A