經(jīng)典高等數(shù)學(xué)D1-2數(shù)列的極限課件

1.鄰域:復(fù)習(xí)3.復(fù)合函數(shù)2.點(diǎn)a的去心的鄰域:分解方法：從外到內(nèi).4.基本初等函數(shù)和初等函數(shù)(應(yīng)認(rèn)識(shí)).1第一章二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、極限存在準(zhǔn)則一、數(shù)列極限的定義第二節(jié)數(shù)列的極限2回顧：1.數(shù)列的定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作或稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)).2.數(shù)列的分類:3問題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它?由于只要只要只要5一、數(shù)列極限的精確性定義定義：如果數(shù)列沒有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.表示每一個(gè)或任給的；表示至少有一個(gè)或存在.6注意：73.幾何解釋:至多有有限個(gè)點(diǎn)：有無(wú)限個(gè)點(diǎn)：當(dāng)n>N時(shí)，只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))落在其外.結(jié)論：對(duì)數(shù)列增刪有限項(xiàng),不影響數(shù)列極限的存在性,也不影響極限值.8例2.

已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故也可由取10例3.證:兩邊取自然對(duì)數(shù)得取12例4.

證明數(shù)列是發(fā)散的.

證:

用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a

存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在長(zhǎng)度為1的開區(qū)間使當(dāng)n>N

時(shí),有因此該數(shù)列發(fā)散.14定理2如果數(shù)列收斂，則該數(shù)列一定有界.證：由定義,2.收斂數(shù)列的有界性15說(shuō)明:例如,雖有界但不收斂.數(shù)列即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件.3)逆否命題：無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.注意：有界數(shù)列不一定收斂，但收斂必有界.2)此性質(zhì)的逆命題不一定成立.即有界數(shù)列不一定收斂.163.收斂數(shù)列的保號(hào)性定理3證：由定義,同理可證的情況.推論從某項(xiàng)起有(或局部保號(hào)性實(shí)際是保號(hào)性定理的逆否命題.則(或174.收斂數(shù)列與子數(shù)列的關(guān)系子數(shù)列定義：在數(shù)列中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列(或子列).例如，定理418三、極限的存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則(P50)證：則使得由條件(1)準(zhǔn)則Ⅰ:20例5.

證明證:

利用夾逼準(zhǔn)則.且由于(P57題4(2))21證：(舍去)的極限存在.例6.證明數(shù)列23內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“–N

”定義及應(yīng)用(證明極限)2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;

保號(hào)性;收斂數(shù)列與子數(shù)列的關(guān)系.3.極限存在準(zhǔn)