高等數(shù)學電子教案-第三章

一、弧微分NTRAx0M設函數(shù)f

(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有連續(xù)導數(shù).基點:A(x0

,y0

),M

(x,y)為任意一點,xyo規(guī)定：(1)曲線的正向與x增大的方向一致;(2)

AM

s,

當AM的方向與曲線正向一致時,s取正號,相反時,s取負號.單調(diào)增函數(shù)

s

s(

x).設N

(x

x,y

y),如圖，MN

MN

MT

NT當x

0時,x

1

(

y

)2

x

1

y2

dx

,MN

(x)2

(y)2MN

s

ds

,MT

(dx)2

(dy)2NT

y

dy

0,

1

y2

dx

,故

ds

1

y2

dx

.

s

s(x)為單調(diào)增函數(shù),故

ds

1

y2

dx.弧微分公式NMTRAxyo二、曲率及其計算公式1.曲率的定義曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量。M322MS1M1MM

1S2SNN

弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大1S2轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大S

S)

M

MCM0yxos弧段MM的平均曲率為K

.設曲線C是光滑的，0M

是基點.MM

s

,M

M

切線轉(zhuǎn)角為

.定義s0

sK

lim曲線C在點M處的曲率s0

sds

ds在lim

d

存在的條件下,

K

d

.注意:(1)

直線的曲率處處為零;(2)圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大.2.曲率的計算公式設y

f

(

x)二階可導,tan

y,dx,y1

y2有

arctan

y,

d

3

.(1

y2

)2y

k

ds

1

y2

dx.二階可導,

x

(t

),設

y

(t

),

k

(t

)

(t

)

(t

)

(t

)

.3[

2

(t

)

2

(t

)]2

dy

(t

)

,dx

(t

).

3

(t

)d

2

y

(t

)

(t

)

(t

)

(t

)dx2例1

拋物線

y

ax2

bx

c

上哪一點的曲率最大?解

y

2ax

b,

y

2a,[1

(2ax

b)2

]22a

k

3

.2a顯然,

當x

b

時,

k最大.又(b22a

4a

4ac,

)為拋物線的頂點,b拋物線在頂點處的曲率最大.點擊任意處\暫停到1

(R為圓弧軌道R的半徑).的曲率突然改變,容易發(fā)生事故，為了行駛平穩(wěn)，往往在直道和彎道之間接入一段緩沖段(如圖),使曲率連續(xù)地由零過渡例2

鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎道時，若接頭處.16Rl103，RA

的曲率近似為Rl

1)(時，在終端R為零,并且當

l

很小緩沖段OA，其中l(wèi)

為OA

的長度，驗證緩沖段OA

在始端O

的曲率通常用三次拋物線y

．作為xyRA(

x0

,

y0

)o

C(

x0

,0)lxyA(

x0

,

y0

)o

C(

x0

,0)證

如圖x的負半軸表示直道ROA是緩沖段,AB是圓弧軌道.在緩沖段上,1y

2Rl

Rlx2

,

y

1

x.在x

0處,

y

0,

y

0,

故緩沖始點的曲率k0

0.實際要求

l

x0

,l0x22Rl1x

x0y有l(wèi)

22Rl1l

,2R0x

x0Rl

1

xyRlR

1

l

1

,故在終端A的曲率為x

x03(1

y2

)2Ayk

3)24R2l

2(1

1Rl

1,R1得kA

R

.l

2略去二次項

,4R2xyRA(

x0

,

y0

)o

C(

x0

,0)l三、曲率圓與曲率半徑y(tǒng)

f

(

x)kMD

1定義

設曲線

y

f

(

x)

在點M

(

x,

y)

處的曲率為k(k

0).在點

M處的曲線的法線上,在凹的一側(cè)取一點D,

使

DMk作圓(如圖),稱此圓為曲線在點M

處的曲率圓.

1

.以D

為圓心,

為半徑D

曲率中心,

曲率半徑.xyo注意:1.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù).k即

1

,

k

1

.曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點處的曲率越小(曲線越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似).例3

飛機沿拋物線y

xyoQP4000體重70千克.求俯沖到原點時,

對座椅的壓力.單位為米

俯沖飛行,)在(

原點O

處速度為v

秒,x2解如圖,受力分析F

Q

P,視在點o作勻速圓周運動,.mv

2

F

O點處拋物線軌道的曲率半徑2000

x0x0yx

0,20001

.x0y.20001x

x0得曲率為

k

曲率半徑為

2000

米.2000

F

70

400

25600(牛) 571.4(千克),

Q

70

千克力

.45千(71克)(力),

641.5(千克力).即:

對座椅的壓力為641.5千克力.四、小結(jié)運用微分學的理論,研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學分支——微分幾何學.基本概念:

弧微分,曲率,曲率圓.曲線彎曲程度的描述——曲率;曲線弧的近似代替曲率圓(弧).思考題橢圓x

2cos

t

,些點處曲率最大？y

3sin

t上哪思考題解答3[1

(

y)2

]26|

y

|k

3(4sin

2

t

9cos2

t

)263(4

5cos2

t

)23要使k

最大，必有(4

5cos2

t

)2

最小，2

23

t

,此時k

最大，一、填空題：1、曲率處處為零的曲線為

；曲率處處相等的曲線為

.2、拋

物

線

在

(2,-1)

處

的

曲

率

為

；曲率半徑為

.3、曲線

.二、求曲線徑.在(0,0)處的曲率為在點處的曲率及曲率半三、求曲線在

處的曲率

.在任何一點處曲率半徑為

.四、證明曲線練習題五、曲線弧

y

sin

x

(0

x

)

上哪一點處的曲率半徑最?。壳蟪鲈擖c處的曲率半徑

.六、曲線上曲率最大的點稱為此曲線的頂點，試求指數(shù)曲線y

e

x