哈爾濱工程大學(xué)場(chǎng)論

第0章場(chǎng)論（FIELD）目的：場(chǎng)論是描述物理流動(dòng)的數(shù)學(xué)工具。內(nèi)容：介紹力學(xué)中的場(chǎng)論知識(shí)。場(chǎng)：

具有物理量的空間。流場(chǎng)：充滿流體物理量的空間。

xyzM(x,y,z)1物理量作為空間點(diǎn)位置M和時(shí)間t的函數(shù)，t作為參變量。流體力學(xué)中常見的物理量densitytemperaturepressurestressvelocitystrain向量場(chǎng)（函數(shù)）標(biāo)量場(chǎng)（函數(shù)）張量場(chǎng)（函數(shù)）field

1:1

func.xyzM(x,y,z)rospacepoint2向量(vector)：3個(gè)元素表示的既有大小又有方向的量0.1標(biāo)量、向量、張量（1）概念標(biāo)量（scalar）：1個(gè)元素表示的只有大小沒有方向的量二階張量（tensorof2ndorder）：9個(gè)元素表示的量n階張量（tensorofnthorder）：3n個(gè)元素表示的量3（2）場(chǎng)的幾何描述標(biāo)量場(chǎng)的等值線（面）：

時(shí)刻場(chǎng)中數(shù)值相同的點(diǎn)組成的曲面。

（c值不同對(duì)應(yīng)不同等值面）

等值面其方程為等值線在某一高度上沿什么方向高度變化最快？表示標(biāo)量在場(chǎng)中的分布。4向量場(chǎng)的向量線：向量線上每一點(diǎn)處曲線與對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)的向量相切。

描述向量在場(chǎng)中的分布。向量線連續(xù)分布，一般互不相交。向量線微分方程：

M點(diǎn)位置向量線l微段向量（場(chǎng)）圖0.1.2向量線arMxyzol5(1)Einstein求和符號(hào)：式子中成對(duì)出現(xiàn)的啞指標(biāo)。0.2向量及張量的基本運(yùn)算0.2.1向量運(yùn)算符號(hào)規(guī)定6式中i,j是自由指標(biāo)，表示坐標(biāo)方向?？蓪懽?任意兩個(gè)正交坐標(biāo)軸單位向量的點(diǎn)積(2)Kronecker

δ符號(hào)：δ參與表達(dá)式運(yùn)算的結(jié)果：沖掉一個(gè)自由指標(biāo)7置換法則：

3個(gè)自由指標(biāo)順時(shí)針排列為正，否則為負(fù)。任意2個(gè)自由指標(biāo)對(duì)換后差一個(gè)負(fù)號(hào)，如式中i,j是自由指標(biāo)，稱為置換符號(hào)。

(3)Ricci（置換）符號(hào)：任意兩個(gè)正交單位向量的叉積和δ符號(hào)之間有關(guān)系

兩個(gè)自由指標(biāo)相同，如

自由指標(biāo)偶次置換，如

自由指標(biāo)奇次置換，如

13280.2.2向量運(yùn)算的常用公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）90.2.3向量分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換討論新、老坐標(biāo)軸中單位向量及向量分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

(i,j=1,2,3)

或表0.1坐標(biāo)軸間方向余弦又

點(diǎn)乘

得

單位向量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：10即可得如下六個(gè)關(guān)系式或

向量分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：表0.1坐標(biāo)軸間方向余弦a與坐標(biāo)系無關(guān)，有110.2.4二階張量及其基本運(yùn)算式中是二階張量的基二階張量是兩個(gè)向量的并積。表示為二階對(duì)稱張量各元素關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱，只有六個(gè)獨(dú)立分量。二階反對(duì)稱張量主對(duì)角線分量為零，只有三個(gè)獨(dú)立分量。12二階張量及其基本運(yùn)算規(guī)則

①

②

③

④

⑤13二階張量的坐標(biāo)變換()()

eg.14方向?qū)?shù)：

l方向單位向量0·3標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度剃度表示物理量在一點(diǎn)鄰域內(nèi)的變化。

M0Mdl（1）梯度的定義15Hamilton算子（Nabla）記M0Mdl則當(dāng),即與方向一致時(shí),為最大。注：算子具有微分和向量雙重運(yùn)算性質(zhì)，適用于任意正交坐標(biāo)系，在不同坐標(biāo)系中表達(dá)形式不同。推導(dǎo)或證明公式時(shí)用直角坐標(biāo)系簡(jiǎn)便。

剃度、方向?qū)?shù)與等值面梯度(Gradient)16高度場(chǎng)的梯度與過該點(diǎn)的等位線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；（2）梯度的物理意義標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)向量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);

梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向.梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù);例1三維高度場(chǎng)的梯度

與過該點(diǎn)的等高線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；

指向地勢(shì)升高的方向。圖三維高度場(chǎng)的梯度例2電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度指向電位增加的方向。圖電位場(chǎng)的梯度17②梯度垂直于標(biāo)量φ的等值面，且指向φ增大的方向。（3）梯度的應(yīng)用（性質(zhì)）①梯度在方向的投影等于標(biāo)量φ在該方向的方向?qū)?shù)計(jì)算增量

計(jì)算曲面法線

由梯度可計(jì)算物理量φ沿l方向經(jīng)過dl距離的增量。剃度、方向?qū)?shù)與等值面18（為常數(shù)）

①②

④

⑤

（為常數(shù)）③（5）向量的梯度是一個(gè)二階張量（4）梯度運(yùn)算的基本公式19Example0.2Given:Prove:

Example

0.1：求曲面的法線單位向量Solution:

Solution:（書p4）20稱為向量a通過曲面S的通量。若a為流速v，Q＝流量。0·4向量場(chǎng)的通量和散度

通量：在向量場(chǎng)a中曲面S的法向量為n，則圖0.4.1通量Sl物理量的散度可用來判別向量場(chǎng)是否有源。

若S為閉合曲面，可根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):>0(有正源)<0(有負(fù)源)=0

(無源)21若向量場(chǎng)中?a=0，稱之為有源場(chǎng)，稱為源（強(qiáng)）密度；若向量場(chǎng)中處處?a=0，稱之為無源場(chǎng)。散度的物理意義散度代表向量場(chǎng)的通量源的分布特性?a==0(無源）?a=<0(負(fù)源，匯)?a=0(正源)向量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間點(diǎn)的函數(shù)；它表示單位體積內(nèi)向量通過其表面的通量。散度:若包圍點(diǎn)M的閉合面S所圍體積V以任意方式縮向點(diǎn)M時(shí),通量與體積之比的極限定義為散度(divergence)圖0.4.2散度anM22⑴

（為常數(shù)）

散度的基本運(yùn)算公式：（2)(為標(biāo)量）（3)230·5向量場(chǎng)的環(huán)量和旋度物理量的旋度可用來判別向量場(chǎng)是否有旋。環(huán)量(circulation)

：向量a沿空間有向閉曲線l的積分n環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。例：流速場(chǎng)均勻直線流動(dòng)非均勻直線流動(dòng)=0，無渦旋運(yùn)動(dòng)0，有產(chǎn)生渦旋的源旋度(curl)：向量a在點(diǎn)M處沿n方向的環(huán)量面密度;取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。

l與n滿足右手螺旋法則旋度是一個(gè)向量，模值等于μ的最大值；方向?yàn)樽畲螃痰姆较颉?4旋度的物理意義旋度表示向量場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度的分布特性向量的旋度a仍為向量，是空間點(diǎn)的函數(shù)；向量場(chǎng)中，若a=Ω0,稱之為有旋場(chǎng)(旋渦場(chǎng))，Ω為旋度源(渦強(qiáng))；

向量場(chǎng)中，若處處a=0，稱之為無旋場(chǎng)。反之，有勢(shì)場(chǎng)必為無旋場(chǎng)。無旋場(chǎng)的性質(zhì)稱為向量的勢(shì)函數(shù);可由上式兩邊點(diǎn)乘后積分得到(積分與路徑無關(guān))無旋場(chǎng)必為有勢(shì)場(chǎng)25（為標(biāo)量）

旋度運(yùn)算基本公式（為常數(shù)）①

②

③⑤

⑥④無源無旋的向量場(chǎng)是調(diào)和場(chǎng)（Laplaceoperator）（Laplace方程）

滿足Laplace方程,且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)，這時(shí)向量場(chǎng)a稱為調(diào)和場(chǎng)。26Gauss公式——JonhanGauss(1777-1855)n為體積V閉邊界面S的單位外法向量，若物理量a或φ在V+S上一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則有散度與通量anM散度定理源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，體積分后，為穿出閉合面S的通量0·6廣義Gauss公式及Stokes公式函數(shù)體積分與面積分互換27Stokes公式——SirGeorgeStokes(1819-1903）若l為曲面S的邊界線，且可縮，向量a在S+l上一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則Sln與l符合右手螺旋法則環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。其面積分后，環(huán)量為:斯托克斯定理函數(shù)面積分與線積分互換280.7Hamilton算子、梯度、散度、旋度和調(diào)和量

——在正交曲線坐標(biāo)系中的表示式用的坐標(biāo)面表示空間位置的參考系稱為曲線坐標(biāo)系。坐標(biāo)面彼此正交，稱正交曲線坐標(biāo)系。例如：柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)。0.7.1正交曲線坐標(biāo)系向量：（正交曲線坐標(biāo)系）O而直角系中是常矢。坐標(biāo)軸單位向量（坐標(biāo)的函數(shù)）：290.7.2正交曲線坐標(biāo)系中的弧微分和拉梅系數(shù)空間曲線的弧微分：（直角坐標(biāo)系）O曲線坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間有變換關(guān)系:30當(dāng)為坐標(biāo)曲線上的微分弧長(zhǎng)時(shí)，O坐標(biāo)線的弧微分：（i=1,2,3不是亞