2022年數(shù)理方程第二版-課后習(xí)題答案

..精品文本精品文本.精品文本第一章曲線論§1向量函數(shù)1.證明本節(jié)命題3、命題5中未加證明的結(jié)論。略2.求證常向量的微商等于零向量。證：設(shè)r=c，lim所以r'3.證明d證：d證畢4.利用向量函數(shù)的泰勒公式證明：如果向量在某一區(qū)間內(nèi)所有的點(diǎn)其微商為零，那么此向量在該區(qū)間上是常向量。證：設(shè)r=rt=x(t)rt在區(qū)間I上可導(dǎo)當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)量函數(shù)x(t)，y(t)和z(t)在區(qū)間I上可導(dǎo)。所以，?xyz其中θ1，θ2，θ3介于tr==上式為向量函數(shù)的0階Taylor公式，其中ε=x'θ1y'θ2z'θ35.證明r=rt證：必要性：設(shè)r=rt具有固定方向，那么r=rt可表示為r=充分性：如果r×r'=0，可設(shè)r≠0，令r=rr因?yàn)閞≠0，故ρ2e為常向量，于是，r=rt6.證明r=rt證：必要性：設(shè)r=rt平行于固定平面，那么存在一個(gè)常向量p，使得pr=0，對(duì)此式連續(xù)求導(dǎo)，依次可得pr'=0和pr"=0充分性：設(shè)r,r',r"=0，即r×r'r"=0，其中，如果r×r'=0，根據(jù)第5題的結(jié)論知，r=rt具有固定方向，那么r=rt可表示為r=rt=ρ(t)e，其中ρ(t)為某個(gè)數(shù)量函數(shù)，e其中ρ(t)，φ(t)為數(shù)量函數(shù)，令n=r×r'，那么n'=r×r"=φ(t)n，這說(shuō)明n與n'共線，從而n×n'=0，根據(jù)第5題的結(jié)論知，n§2曲線的概念1.求圓柱螺線r={cost解：r'={-sint,cost,1}，點(diǎn)r'={x-1法平面的方程為y+z=02.求三次曲線r=at,bt解：r'={a,2bt,3ct2}，當(dāng)t=t于是切線的方程為：x-a法平面的方程為a3.證明圓柱螺線r={acos證：r令θ為切線與z軸之間的夾角，因?yàn)榍芯€的方向向量為r'={-asint,acosθ=證畢4.求懸鏈線r=at,a解：rs=5.求拋物線y=bx2對(duì)應(yīng)于解：ys====6.求星形線x=acost3解：s=47.求旋輪線x=a(t-sint)，y=a(1-解：s=8.求圓柱螺線r={3acost,3a解：圓柱螺線r={3acost,3asint,4at}與Oxy平面z=0的交點(diǎn)為s=9.求曲線x3=3a2y，2xz=解：取x為曲線參數(shù)，曲線的向量參數(shù)方程為：rrr平面y=a3對(duì)應(yīng)于參數(shù)x=a，平面y=9a對(duì)應(yīng)于參數(shù)s=10.將圓柱螺線r={解：r'={s=s所以r11.求極坐標(biāo)方程ρ=ρ(θ)給定的曲線的弧長(zhǎng)表達(dá)式。解：極坐標(biāo)方程ρ=ρ(θ)給定的曲線的方程可化為向量參數(shù)形式：rrs=§3空間曲線1.求圓柱螺線r={解：密切平面的方程為X-即ab2.求曲線r={解：rrr原點(diǎn)(0,0,0)對(duì)應(yīng)于參數(shù)t=0,于是在t=0處，rrrαγβ密切平面的方程為X+Y-Z=0副法線的方程為X法平面的方程為：Y+Z切線的方程為X從切平面的方程為2主法線的方程為X3.證明圓柱螺線r={acos證：rrrαγβ一方面，主法線的方程為X-a另一方面，過(guò)圓柱螺線r={a作平面π與z軸垂直，π的方程為Z-bt=0，π與z軸的交點(diǎn)為N(0,0,bt)，過(guò)M與N的直線顯然與z軸垂直相交，而其方程為X-a這正是主法線的方程，故主法線和z軸垂直相交。證畢4．在曲線r={解：令a=cosC設(shè)C1的副法線向量為γγ根據(jù)題意，新曲線的方程可表示為C2將a=cosCρρρ于是新曲線C2sin+Z-(即：sin5.證明球面曲線的法平面通過(guò)球的中心。證：設(shè)曲線(C):r=r(s)為球心在原點(diǎn)，半徑為a的球面上的曲線,其中s為自然參數(shù)。曲線(C)上任意一點(diǎn)P〔P點(diǎn)的向徑為r〕處的根本向量為α1上式兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，得2設(shè)ρ為法平面上的點(diǎn)的向徑，那么曲線(C)上任意一點(diǎn)P處的法平面的向量方程為3根據(jù)(2)式ρ=06.證明過(guò)原點(diǎn)平行于圓柱螺線r={acos證：rrrαγ設(shè)過(guò)原點(diǎn)(0,0,0)且與γ平行的直線上的點(diǎn)為(X,Y,Z),那么直線的方程為X化為參數(shù)方程，得X那么有a這說(shuō)明直線上的點(diǎn)(X,Y,Z)都在錐面a27.求以下曲線的曲率和撓率。1r解:對(duì)于曲線(1)rkτ對(duì)于曲線(2)rkτ8.給定曲線r=(cost)3,解:對(duì)于給定曲線，有1234其中，ε5678910根據(jù)(5)(6)(8)式可得α=kβ，根據(jù)(6)(9)(10)式，可得另一方面，根據(jù)(4)(7)(8)(10)式，可得-從而，β=-9.證明：如果曲線的所有切線都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，那么此曲線是直線。證1：設(shè)曲線(C)的向量參數(shù)方程為：r=r(s)，其中s為自然參數(shù)。(C)上任意一點(diǎn)P〔P點(diǎn)的向徑為r〕處的根本向量為α，β，γ。因?yàn)?C)在P點(diǎn)處的切線都經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)Q〔Q點(diǎn)的向徑設(shè)為r0〕，所以r(1)r上式兩端關(guān)于s求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：(2)k(2)式中的k為(C)在P點(diǎn)處的曲率。又(2)式中r-r-r0×β=0，那么r-r0同時(shí)與α和β證2：設(shè)曲線的方程為，因?yàn)榍€上任一點(diǎn)的切線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，那么與共線，但，于是與共線，從而=0,由此可知具有固定的方向，即與一個(gè)常向量平行，于是=,或，這說(shuō)明曲線上的點(diǎn)都在以為方向向量，過(guò)點(diǎn)的直線上，所以曲線為直線。證畢10.證明：如果曲線的所有密切平面都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，那么此曲線是平面曲線。證：設(shè)曲線(C)的向量參數(shù)方程為：r=r(s)，其中s為自然參數(shù)。曲線(C)上任意一點(diǎn)P〔P點(diǎn)的向徑為r〕處的根本向量為α，β，γ。因?yàn)槲覀冎谎芯坎缓毫酎c(diǎn)的曲線〔參見(jiàn)教科書(shū)P.31的腳注〕，即而r即(C)上任何點(diǎn)的曲率k≠0。設(shè)(C)在P點(diǎn)處的密切平面都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)Q〔Q點(diǎn)的向徑設(shè)為r0〕，那么r-r0為(Cr(1)式兩端關(guān)于s求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：(2)τ(2)式中的τ為(C)在P點(diǎn)處的撓率。由(2)式可知，τ=0或者r但r-r0?β≠0(3)r(3)式兩端關(guān)于s求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：(4)k(4)式中的k為(C)在P點(diǎn)處的曲率。因?yàn)閗≠0，所以r-r0×β=0，結(jié)合(3)知r-r0這個(gè)矛盾說(shuō)明r-r0?β≠11.證明：如果曲線的所有法平面都包含常向量e，那么此曲線是平面曲線。證1：設(shè)曲線(C)的向量參數(shù)方程為：r=r(s)，其中s為自然參數(shù)。(C)上任意一點(diǎn)P〔P點(diǎn)的向徑為r〕處的根本向量為α，β，γ。因?yàn)?C)在P點(diǎn)處的法平面都包含常向量(1)e注意到α=r，(1)式兩端關(guān)于s從s0(2)e〔2〕式說(shuō)明曲線(C)在以常向量e為法向量且過(guò)點(diǎn)rs證2：設(shè)曲線(C)的向量參數(shù)方程為：r=r(s)，其中s為自然參數(shù)。(C)上任意一點(diǎn)P〔P點(diǎn)的向徑為r〕處的根本向量為α，β，γ。因?yàn)槲覀冎谎芯坎缓毫酎c(diǎn)的曲線〔參見(jiàn)教科書(shū)P.31的腳注〕，即而r即(C)上任何點(diǎn)的曲率k≠0。因?yàn)?C)在P點(diǎn)處的法平面都包含常向量e，那么(1)e上式兩端關(guān)于s求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：(2)k因?yàn)閗≠0，所以(3)eβ結(jié)合(1)式可知e與γ共線，從而(4)e(4)式兩端關(guān)于s求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：(5)τ(5)式中e×β≠0，否那么，根據(jù)(3)式，e×β=0和eβ=0將同時(shí)成立，即β既與12.證明曲率為常數(shù)的空間曲線的曲率中心的軌跡仍是曲率等于常數(shù)的曲線。證：設(shè)曲率為常數(shù)k的空間曲線(C)的向量參數(shù)方程為：r=r(s)，其中s為自然參數(shù)。(C)上任意一點(diǎn)P處的根本向量為α，β，γ，曲率半徑為R=1/k，又設(shè)(C)的曲率中心的軌跡為Γ，Γ的曲率記為k，根據(jù)題意，1(1)式兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，得234(4)式說(shuō)明Γ的曲率k也是常數(shù)且k=13.證明曲線(C)：r=解：rτ=由上式可知，(C)為平面曲線。令t=0，那么有rrr(C)所在平面的方程為2x-114.設(shè)在兩條曲線C1和C證：設(shè)曲線C1的方程為r1=r1(s)，s∈I1，其中s為C1的自然參數(shù)，曲線C2的方程為r2=r2(s)，s∈I2，其中s為曲線C2的自然參數(shù)。因?yàn)樗懻摰那€都是正那么曲線，于是曲線C1上的點(diǎn)1設(shè)α1，β1，和γ1為曲線C1在點(diǎn)P處的根本向量，α2，β2，和γ2為曲線C2在點(diǎn)Q處的根本向量，曲線C1在點(diǎn)P處的曲率和撓率分別記為k和τ，曲線C22α(2)式兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，得3從而，4(4)式說(shuō)明C1和C2在對(duì)應(yīng)點(diǎn)P與Q處的主法線平行。又因?yàn)?(5)式說(shuō)明C1和C2在對(duì)應(yīng)點(diǎn)P與15.設(shè)在兩條曲線C1和C證：設(shè)曲線C1的方程為r1=r1(s)，s∈I1，其中s為C1的自然參數(shù)，曲線C2的方程為r2=r2(s)，s∈I2，其中s為曲線C2的自然參數(shù)。因?yàn)樗懻摰那€都是正那么曲線，于是曲線C1上的點(diǎn)1設(shè)α1，β1，和γ1為曲線C1在點(diǎn)P處的根本向量，α2，β2，和γ2為曲線C2在點(diǎn)Q處的根本向量，曲線C1在點(diǎn)P處的曲率和撓率分別記為k和τ，曲線C22β根據(jù)(2)式，可得3設(shè)α1與α2之間的夾角為4(4)式說(shuō)明C1和C2在對(duì)應(yīng)點(diǎn)P與16.如果曲線C1的主法線是曲線C2的副法線，C1的曲率和撓率分別為k和τ，求證k=a(證：設(shè)曲線C1的方程為r1=r1(s)，s∈I1，其中s為C1的自然參數(shù)，曲線C2的方程為r2=r2(s)，s∈I2，其中s為曲線C2的自然參數(shù)。因?yàn)樗懻摰那€都是正那么曲線，于是曲線C1上的點(diǎn)1設(shè)α1，β1，和γ1為曲線C1在點(diǎn)P處的根本向量，α2，β2，和γ2為曲線C2在點(diǎn)Q處的根本向量，曲線C1在點(diǎn)P處的曲率和撓率分別記為k和τ，曲線C22γ23(3)式兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，得4整理(4)式，可得5利用(2)式，在(5)式兩邊與β16(6)式中由于ds故t=0，從而7(7)式兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，得8因?yàn)棣?=ε9根據(jù)(7)式，(9)式等價(jià)于k即k從而，k=a(k17.曲線r在哪些點(diǎn)的曲率半徑最大？解：解:對(duì)于給定曲線，有1=2asin234其中，ε567根據(jù)(7)式，當(dāng)t=(2k±1)π，k=0,±1,±2,?時(shí)，R=818.曲線(C)：r=r(s)∈C3上一點(diǎn)r(s)的鄰近一點(diǎn)r(s+?s)，求點(diǎn)r(s+?s)到點(diǎn)r(s)的密切平面、法平面的距離〔設(shè)(解：設(shè)曲線(C)在點(diǎn)r(s)的根本向量分別為α，β和γ，那么點(diǎn)r(s+?s)到點(diǎn)12其中，lim因?yàn)閞s=αr將它們代入(1)式和(2)式中，得3319.如果曲線C1：r=r(s)為一般螺線，其中s為C1的自然參數(shù)。α，β，γ為C1上任意一點(diǎn)P處的根本向量，R為C1ρ也是一般螺線。證：曲線C2的方程兩邊關(guān)于s123根據(jù)(1)式和(3)式，得5其中ε67因?yàn)榍€C1：r=r(s)為一般螺線，故存在一個(gè)常向量p8(8)式說(shuō)明曲線C220.證明：一條曲線(C)：r=r(s)為一般螺線的充要條件是證：充分性：如果r,r,r(4)=0，那么曲線(C')：r=r(s)的撓率為零，(C')為平面曲線，于是存在一個(gè)常向量p，使得pr=0，但必要性：如果(C)為一般螺線，存在一個(gè)常向量p使得pβ=0，但β=k-1α=k-1r,從而，pr21.證明：一條曲線的所有切線不可能同時(shí)都是另一條曲線的切線。證：因?yàn)槲覀冎谎芯坎缓毫酎c(diǎn)的曲線，故所討論的兩條曲線的曲率均不為0，設(shè)曲線C1的方程為r1=r1(s)，s∈I1，其中s為C1的自然參數(shù)，曲線C2的方程為r2=r2(s)，s∈I2，其中s為曲線C2的自然參數(shù)。因?yàn)樗懻摰那€都是正那么曲線，于是曲線C1上的點(diǎn)1設(shè)α1，β1，和γ1為曲線C1在點(diǎn)P處的根本向量，α2，β2，和γ2為曲線C2在點(diǎn)Q處的根本向量，曲線C1在點(diǎn)P處的曲率和撓率分別記為k和采用反正法來(lái)證明結(jié)論。如果曲線C1在點(diǎn)P的切線總是曲線C2的在對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q處的切線，那么點(diǎn)P與1上式兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，得2因?yàn)镻與Q共有同一條切線，于是α2=εα1，其中ε=±1，(2)式兩邊同時(shí)與β1作內(nèi)積，得tk=0，但k≠022.設(shè)在兩條曲線C1和C2的點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的切線平行，證明它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線以及副法線也分別平行，而且它們的撓率和曲率都成比例，因此如果C1證：設(shè)曲線C1的方程為r1=r1(s)，s∈I1，其中s為C1的自然參數(shù)，曲線C2的方程為r2=r2(s)，s∈I2，其中s為曲線C2的自然參數(shù)。因?yàn)樗懻摰?/p>