高等數(shù)學(xué)第七章微分方程試題和復(fù)習(xí)資料

高等數(shù)學(xué)第七章微分方程試題和復(fù)習(xí)資料高等數(shù)學(xué)第七章微分方程試題和復(fù)習(xí)資料高等數(shù)學(xué)第七章微分方程試題和復(fù)習(xí)資料四．線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)五．二階和某些高階常系數(shù)齊次線性方程我們談?wù)摱A線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，其結(jié)論很簡單地實行到更高階的1．二階常系數(shù)齊次線性方程線性微分方程。2pqypyqy0其中p，q為常數(shù)，特色方程0二階齊次線性方程ypxyqxy0（1）特色方程根的三種不相同狀況對應(yīng)方程通解的三種形式二階非齊次線性方程ypxyqxyfx（2）（1）特色方程有兩個不相同的實根1，2則方程的通解為yCe1xCe122x1．若y1x，y2x為二階齊次線性方程的兩個特解，則它們的線性組合（2）特色方程有二重根12則方程的通解為yC1Cx2ex1C1y1xC2y2x（C1，C2為任意常數(shù)）仍為同方程的解，特別地，當(dāng)xcossin（3）特色方程有共軛復(fù)根i，則方程的通解為yeCxCx12y12（為常數(shù)），也即y1x與y2x線性沒關(guān)時，則方程的通解xyx2．n階常系數(shù)齊次線性方程ynn1n2p1ypypypy2n1n0其中pii1,2,,n為常數(shù)。為yCyxCyx1122nppppn1n2相應(yīng)的特色方程1012nn2．若y1x，y2x為二階非齊次線性方程的兩個特解，則y1xy2x為特色根與方程通解的關(guān)系同二階狀況很近似。對應(yīng)的二階齊次線性方程的一個特解。（1）若特色方程有n個不相同的實根,2,,1則方程通解n3．若yx為二階非齊次線性方程的一個特解，而yx為對應(yīng)的二階齊次線性yCe1xCeCenxx122n方程的任意特解，則yxyx為此二階非齊次線性方程的一個特解。（2）若0為特色方程的k重實根kn則方程通解中含有4．若y為二階非齊次線性方程的一個特解，而C1y1xC2y2x為對應(yīng)的二y=C1C2xk1Ckxe0x階齊次線性方程的通解（C1，C2為獨立的任意常數(shù)）則（3）若i為特色方程的k重共軛復(fù)根2kn，則方程通解中含有yyxC1y1xC2y2x是此二階非齊次線性方程的通解。ex1cossinkk1CCxCxxDDxDx12k12kx5．設(shè)y1x與y2x分別是ypxyqxyf1x與因此可知，常系數(shù)齊次線性方程的通解完好被其特色方程的根所決定，但是ypxyqxyf2x的特解，則y1xy2x是三次及三次以上代數(shù)方程的根不用然簡單求得，因此只能談?wù)撃承┖唵吻筇厣匠蘺pxyqxyf1xf2x的特解。的根所對應(yīng)的高階常系數(shù)齊次線性方程的通解。2.求微分方程dydxyxy4的通解2yyy2.2y''(y')，(0)2,'(0)1解：變形得：dxdyxyy41dx3即，是一階線性方程xydyy解：令dpdp2y'p，則y''p，獲取2ppydydy1111dydy3y3y4(y),Q(y)yxeyedyCyCyPy3du2,獲取uy令pudy為關(guān)于y的一階線性方程.三、伯努力方程xy3'yxy62y2up(0)['(0)]1，解得|x0uy1cey解：6y'yx53xy，dydxy5y6xx2，因此y0),c0.(2121uy(0)1cece|x05u6yu令,y5y'',u5uxx2，52u'u5x.x于是uy1,py155cx2解得)ux(，于是2四、可降階的高價微分方程55ycx523xdyy1dx,2y1xc1,y1x2c121.求(1x)yyln(x1)的通解cx1y(0)2,獲取1,得解y1122五、二階常系數(shù)齊次線形微分方程解：令yp,則yp,原方程化為(x1)ppln(x1)1ln(x1)pp屬于一階線性方程x1x111dxln(x1)dxx1x1peedxC1x1(5)y(4)yyyy1.y2'''2'''05432解：特色方程221022(1)(1)01,i,i，12,34,5x1C1ln(x1)dxCln(x1)111x1于是得解ycex(ccx)sinx(ccx)cosx12345C1yln(x1)1dxC(xC1)ln(x1)2xC22x1(4)yyy2.y5''10'60，y(0)1,y'(0)0,y''(0)6,y'''(0)1442解：特色方程510602,(1)(3)(22)01,23,3,41i1解聯(lián)立方程得__3131A,B，因此ycos2xsin2x10101010x3xx得通解為yc1ecee(ccosxcsinx)234312xxsin2故原方程的通解為yCeCexxcos2121010由y(0)1,y'(0)0,y''(0)6,y'''(0)143.y''yx3sin2x2cosx獲取1c,121c,c31,c4122解：特色根為i，齊次方程的通解為：yc1cosxc2sinx113xxx得特解(cossin)yeeexx22?0,1?y''yx，yccxccyx1212六、二階常系數(shù)非齊次線形微分方程?0xcossinsin2cos2y''y3sin2x，yxecxcxcxcx12121.求xy2y3y2e的通解?待入原式得出：1,0c1c，因此ysin2x2解：先求齊次方程的通解，特色方程為2230，特色根為3,11。2?1xcossin(cossin)y''y2cosx，yxecxcxcxcxx1212因此齊次方程通解為3xCexYCe21?待入原式得出：0,1c1c，因此yxsinx2設(shè)非齊次方程的特解為y,由于1為特色根，因此設(shè)xyxAe,代入原方程可得1A，故原方程的通解為2yCe113xCexexx22故原方程的通解為yccosxcsinxxsin2xxsinx12七、作變量代換后求方程的解2.求方程yy2y2cos2x的通解dy32(12)1.求微分方程2(yx)1xy的通解dx解：特色方程為220，特色根為2,11，2因此齊次方程的通解為2xCexYCe21設(shè)非齊次方程的特解為y,由于題目中0,2,i2i不是特色根，因此設(shè)yAcos2xBsin2x，代入原方程可得(2A2B4A)cos2x(2B2A4B)sin2x2cos2x2secudu3解：令ytanu,xtanv,原方程化為u(tanutanv)secvsec2secvdvdudzdu化簡為sin( )1uv再令zuv,則1,方程化為dvdvdvdzsinz(sinz1)1sinz1sinz，dzdvc,dzvc,dv1sinz1sinzz11sinzdz2sinzvc1sinz，dzvcz2coszztanzseczvc最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。6A2B2，6B2A02.x(y1)sin(xy)0，y( )021.設(shè)f（x）＝xsinx－x0(xt)f(t)dt，其中f（x）連續(xù)，求f（x）dydu解：設(shè)1xyuyuxdxdxdududxxsinu0lncscucotulnxlndxsinuxc解：由表達式可知f（x）是可導(dǎo)的，兩邊對x求導(dǎo)，則得fxxcosxsinxx0ftdt再對兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得fxxsinx2cosxf(x)c1cosxyccscucotu，由于xsinxyxx,y0c22即fxfxxsinx2cosx屬于常系數(shù)二階非齊次線性方程.1cosxsinxy因此11y2x2x2'sin22sin2213.xyyxyu'e2解：令usiny,u'y'sin2y則.獲取22xeu211x2xuxue,2'22'221x12x2x為一階線性方程對應(yīng)齊次方程通解yCcosxCsinx1，2__非齊次方程特解設(shè)yxAxBcosxxCxDsinx代入方程求出系數(shù)__123A,B,C,D則得yxcosxxsinx44，故f（x）的一般表達式132f(x)xcosxxsinxC1cosxC2sin44x由條件和導(dǎo)數(shù)表達式可知f（0）＝0，f00可確定出0,0C1C因此222cxx1x2解得ue(ln|1|).即sin(ln|1|)2ye2cxx2ye2cxx.21x2132f(x)xcosxxsin44x4.xy'lnxsinycosy(1xcosy)02.已知xe2xyxe1，xexy2xe，xe2exxy3xe是某二階線性非齊解：令cosyu,則u'y'siny.原方程化為u'xlnxu(1xu)0次常系數(shù)微分方程的三個解，求此微分方程及其通解.解：由線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理可得，u'xulnxuln2x,為貝奴利方程，u'1112.uxlnxulnxxyye1，32xexy1ye，2y1y3y1y22xe令z1uu',則2z'.方程化為u11z'z,為一階線性方程.xlnxlnx對應(yīng)的齊次方程的解，由解xe與2xe的形式，可得齊次方程為yy2y0.解得z(xlnc)x.即1cosxylncx,(xc)cosylnx.設(shè)該方程為yy2yf(x)，代入xe2xyxe1，得xfx12xe.八、綜合題因此，該方程為xyy2y12xe，其通解為xCexee2xx2xCe1.23.設(shè)F(x)f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在(,)內(nèi)滿足以下條件設(shè)方程（*）的特解為__y＝Acosx+Bsinx，xf(x)g(x),g(x)f(x),且f(0)0,f(x)g(x)2e代入方程（*）求得A＝0，B＝－12，故__y＝－12sinx，（1）求F(x)所滿足的一階和二階微分方程（2）求出F(x)的表達式xxsin1從而yysinx的通解是yxCeCex( )12.2解：F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x)f2(x)[f(x)g(x)]22f(x)g(x)(2ex)22F(x)由3y(0)0,y0，得C11,C21，2可知F(x)所滿足的一階微分方程為F(x)2F(x)4e2x1故所初值問題的解為yxexexsinx( ).2（2）F(x)e2dx4eedxce2x4e4dxcexce2x2dxx22x5.設(shè)(x)是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，(x)(x),(0)0,(2)0將F(0)f(0)g(0)0代入，可知c1于是F(x)2xee2x（1）求微分方程dydxcosxysinx(x)e的通解（2）以上這些解中，有沒有4.設(shè)函數(shù)yyx在,內(nèi)擁有二階導(dǎo)數(shù)，且y0,xxy是yyx的32dxdx反函數(shù)（1）試將xxy所滿足的微分方程sin0yx2dydy變換為以2為周期的解？若有，求出，若無，說明原由。解：（1）先解對應(yīng)的齊次方程：dydxysinx0ycxcoscoscosxxxsindyecxecxedxycosxecccosxex帶入上式cxxcxxdx，由于(x)(x)xxdxyyx滿足的微分方程；（2）求變換后的微分方程滿足初始條件y00，3y0的解。2cxxcyxcosxcecosxe解：（1）由反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式知dx1dyydx即y1，兩端關(guān)于x求導(dǎo)dy（2）若有以2為周期的解，滿足：fx2fx0fx2fxcosex2x2cfxdxy2dxdyy2dxdx2得y0，因此223y2dydydyyy。cosxcosxex2cexcx要點是看x可否為周期函數(shù)：xxdx0代入原微分方程得yysinx（*）20xdx200，x不是周期函數(shù)，因此沒有2為周期的解。（2）方程（*）所對應(yīng)的齊次方程yy0的通解為xCeYC1e2x6.已知曲線y＝f(x)（x>0）是微分方程2y//+y/-y=(4-6x)e-x的一條積分曲線，此曲線//+y/-y=(4-6x)e-x的一條積分曲線，此曲線解：yy(x)在點P(x,y)的切線方程為：YyxyxXx經(jīng)過原點，且在原點處的切線斜率為0，試求：（1）曲線y＝f(x)到x軸的最大距離。（2）計算0f(x)dxy它與x軸的交點為x,0，由于yx0,y01，因此yx0y1y111x2解：,1yy23xe01222222齊次方程通解為：1xx2yc1ec2e，依照已知條件特解為：?Yxa特解代入原式得：a0,b1，因此Y?2x，xebxex21yyxSxyx2，2S1S211，又由于Sytdt2y2y0于是有2yx2y0ytdt1，兩邊求導(dǎo)并化簡得：yyy2因此通解為：y1xx2x12，由已知得：f00,f002cecexe解上述微分方程：設(shè)py，則上述方程化為ypdpdyp2dppdyy2x因此0c1c，因此yxe2求yfx到x軸的最大距離，即求y的最大值。pC1y，即dydxC1yyCxe1C2，yex22xx，當(dāng)y0時，x0,x2，f00,f24e2依照01,011,0yyC1C。因此曲線方程為：2yxe2.設(shè)曲線L的極坐標(biāo)方程為rr( )，M(r,)為L任一點，M0(2,0)為L上必然f2xx2xlimxelimxex0點，若極徑OM0，OM與曲線L所圍成的曲邊扇形面積值等于L上M0M兩點2因此yfx到x軸的最大距離為九、微分方程的幾何和物理應(yīng)用f24e。2x2x（2）( )2022fxdxxdexeexdx0000間弧長值的一半，求曲線L的方程。12222ds1ydxrrdsrd211222由已知可得：rdrrrd，兩邊對求導(dǎo)可得：22001.設(shè)函數(shù)y(x)(x0)二階可導(dǎo)，且f(x)0,y(0)1,過曲線yy(x)上任意一點P(x,y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面dr2r2r22r，即rrr1d2rr1，設(shè)rsect，積記為,S區(qū)間0,x上以yy(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S1S21rdr2r1arcsin1rCarcsin1rCC6恒為1，求此曲線yy(x)的方程。rsin1rcscx3y662令ydyduduu,yxu,ux，x3uu1，當(dāng)u0,u1時xdxdxdx3.有一在原點處與x軸相切并在第一象限的圓滑曲線，P(x,y)為曲線上的任一點。設(shè)曲線在原點與P點之間的弧長為S1，曲線在P點處的切線在P點與切線跟y軸uduu13dxx兩邊積分后得u1u3cx，方程通解為的交點之間的長度為S2，且3S12S2=2(x1)x3，求該曲線的方程。yxcxy，再由2y，可得c1x29yx31xx2解：設(shè)曲線方程為yfx，Sydx1105.一個半球體狀的雪球，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比率常數(shù)K0，假設(shè)在融化過程中雪堆向來保持半球體狀，已知半徑為r0的雪堆開始融化曲線在P點的切線方程為：YyyXx7的3小時內(nèi)，融化了其體積的，問雪堆全部融化需要多少小時。8由于222因此與y軸的交點為：0,yyx，因此3S122(x1)=S2xS2xxyx213122，因此21yxxyx0232解：設(shè)雪堆在時辰t的體積dV由已知可得KsdtVr，表面積為S2r。32222，dV3rdrrdr3222兩邊求導(dǎo)得出：1y2x1yy，解方程得出：yx334.設(shè)函數(shù)fx在1,上連續(xù)，若曲線yfx，直線x1，xtt1與x軸2ftf圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積1Vtt，試求322drdr22rKr，于是KrKtC，由r0r0dtdt1r0，又由于0rKtV3V，82333121121r3Kr，Kr0030861rr0r0t6，雪球全部融化時，r0t6，即雪球全部融化需要6小時。36.有一房間容積為100m，開始時房間空氣中含有二氧化碳0.12%，為了改進房間yfx所滿足的微分方程，并求2y的解.x29的空氣質(zhì)量，用一臺風(fēng)量為103m/分的排風(fēng)扇通入含0.04%的二氧化碳的新鮮空解：由題意可知Vtt1f212xdxtftf3氣，同時以相同的風(fēng)量將混雜均勻的空氣排出，求排出10分鐘后，房間中二氧化碳含量的百分比？則t2122223fxdxtftf，兩邊對t求導(dǎo)，3fttfttft1解：設(shè)t時辰二氧化碳的濃度為x，在時間間隔t,tdt，濃度改變dx22tx,ftfxy，得xy3y2xy，dydx3yx22yx100.04%dx10xdt10xdt100dx0.004dt10xdt100dxdtdxdt，兩邊積分可得：4100x41010lnx410t4410Cx104Cet10可降至m0以內(nèi)。（設(shè)湖水中A的濃度是均勻的）。解：設(shè)從2000年初（令此時，t0）開始，第t年湖泊中污染物A的總量為mt，48104由于t0,x1210Ct44etx因此4108101010,0.07%x7.有一容積為5003m的水池，原有1003m的清水，現(xiàn)在每分鐘放進23m濃度為50%濃度為m0VV6mVdtm06drmVm，，排出量為：dtdtV33，則在時間間隔t,tdt上，，則在時間間隔t,tdt上，排入湖泊中A的量近似為的某溶液，同時每分鐘放出13m溶液，試求當(dāng)水池充滿時池中溶液濃度。tmmm0，分別變量解方程：03mt的改變量為：dmdtmCe632解：設(shè)t時辰溶液中溶質(zhì)的量為x，在時間間隔t,tdt，質(zhì)量改變dx250%1x100tdtdxdxdtx100t1，這是一階線性微分方程代入初始條件t9mm05m，m0meC，于是3219022先解對應(yīng)的齊次方程：x12ctt100tc2xc10012t，再解非齊次方程t2100tc100cxct100t令mm，t6ln3，即至多需要經(jīng)過t6ln3年，湖泊中污染物A的含量才03m0.12%，其中的空氣含的二氧化碳，現(xiàn)以可以降至m0以內(nèi)。9.已知某車間的容積為30306t0,x0c0x由于122t100100tt，當(dāng)水池充滿時，含二氧化碳0.04%的新鮮空氣輸入，問每分鐘應(yīng)輸入多少，才能在30分鐘后使車間空氣中二氧化碳的含量不高出0.06%，（假設(shè)輸入的新鮮空氣與原有空氣很快混合均勻，且以相同流量排出）。x100t500,t400分鐘，溶液濃度為48%