棱錐與棱臺教案-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第四冊

5/5棱錐和棱臺【教學(xué)目標(biāo)】借助棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘虒W(xué)重難點】1．棱錐、棱臺的定義和結(jié)構(gòu)特征。（重點）2．棱錐、棱臺中構(gòu)造恰當(dāng)?shù)奶卣鲌D形，研究其中的線段數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。（難點）【教學(xué)過程】一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入思考1：長方體、正方體是多面體嗎？[提示]是。長方體是由6個矩形圍成的，正方體是由6個正方形圍成的，均滿足多面體的定義。思考2：最簡單的多面體由幾個面所圍成？[提示]四個。二、合作探究1．棱錐、棱臺的概念【例】下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法中，正確說法的序號是________。（1）用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；（2）棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；（3）棱錐的側(cè)面只能是三角形；（4）棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點；（5）棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐。（2）（3）（4）[（1）錯誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺；（2）正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；（3）正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；（4）正確，棱臺是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點；（5）錯誤，如圖所示四棱錐被平面PBD截成的兩部分都是棱錐。]【教師小結(jié)】判斷一個幾何體是何種幾何體，一定要緊扣棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，注意概念中的特殊字眼，切不可馬虎大意，如棱柱的概念中的“相鄰”，棱錐的概念中的“公共頂點”，棱臺的概念中的“棱錐”“平行”等。2．幾何體的計算問題[探究問題]（1）計算正三棱錐中底面邊長，斜高，高時，通常是將所求線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？[提示]常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到邊的距離構(gòu)成的三角形，②由高、側(cè)棱和底面中心與底面頂點的連線構(gòu)成的三角形。（2）其他正棱錐的計算是否與正三棱錐計算用同樣的方法？[提示]是。（3）正棱臺中的計算呢？[提示]根據(jù)正棱錐與正棱臺的關(guān)系，轉(zhuǎn)化到直角梯形中求解?！纠空忮F的底面邊長為3，側(cè)棱長為2eq\r(3)，求正三棱錐的高。[思路探究]正三棱錐?側(cè)棱、高和底面三角形外接圓半徑組成直角三角形?勾股定理求解。[解]作出正三棱錐如圖，SO為其高，連接AO，作OD⊥AB于點D，則點D為AB的中點。在Rt△ADO中，AD＝eq\f(3,2)，∠OAD＝30°，故AO＝eq\f(\f(3,2),cos∠OAD)＝eq\r(3)。在Rt△SAO中，SA＝2eq\r(3)，AO＝eq\r(3)，故SO＝eq\r(SA2－AO2)＝3，其高為3．【母題探究】1．將本例中“側(cè)棱長為2eq\r(3)”，改為“斜高為2eq\r(3)”，則結(jié)論如何？[解]在Rt△SDO中，SD＝2eq\r(3)，DO＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(\r(3),2)，故SO＝eq\r(SD2－DO2)＝eq\r(12－\f(3,4))＝eq\f(3\r(5),2)。2．將本例中“三棱錐”改為“四棱錐”，如何解答？[解]如圖正四棱錐S-ABCD中，SO為高，連接OC．則△SOC是直角三角形，由題意BC＝3，則OC＝eq\f(3\r(2),2)，又因為SC＝2eq\r(3)，則SO＝eq\r(SC2－OC2)＝eq\r(12－\f(9,2))＝eq\r(\f(15,2))＝eq\f(\r(30),2)。故其高為eq\f(\r(30),2)?！窘處熜〗Y(jié)】（一）正棱錐中的直角三角形的應(yīng)用已知正棱錐如圖(以正四棱錐為例)，其高PO，底面為正方形，作PE⊥CD于E，則PE為斜高。(1)斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△PEC．(2)斜高、高構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△POE。(3)側(cè)棱、高構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△POC．（二）正棱臺中的直角梯形的應(yīng)用已知正棱臺如圖(以正四棱臺為例)，O1，O分別為上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，則E1E為斜高，(1)斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形E1ECC1．(2)斜高、高構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1E1EO。(3)高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1OCC1．三、課堂總結(jié)1．棱錐的結(jié)構(gòu)特征。定義有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的多面體圖示及相關(guān)概念底面：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c的各個三角形面?zhèn)壤猓合噜弮蓚?cè)面的公共邊頂點：各側(cè)面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……2．棱臺的結(jié)構(gòu)特征。定義用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分圖示及相關(guān)概念上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫撼舷碌酌嬉酝獾拿鎮(zhèn)壤猓合噜弮蓚?cè)面的公共邊頂點：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點分類按由幾棱錐截得分：三棱臺、四棱臺……四、課堂檢測1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)（1）有一個底面為多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐。 ()（2）棱臺的側(cè)棱長都相等。 ()（3）棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形。 ()（4）棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形。 ()[答案]（1）√（2）×（3）×（4）×2．下列幾何體中是棱柱的個數(shù)有()A．5個B．4個C．3個D．2個D[由棱柱的定義知①③是棱柱，選D．]3．畫一個三棱臺，再把它分成：（1）一個三棱柱和另一個多面體；（2）三個三棱錐，并用字母表示。