物理-角動(dòng)量矢量矢積

矢量的矢積aba

b

→矢量

叉積a

b

的大?。篴b

sin

0,

π

:

a

b

0方向：垂直于a,b所構(gòu)成的平面右手法則a

b反交換率：a

b

b

ak

k

0k

i

ji

k

jj

j

0j

k

ik

j

ii

i

0i

j

kj

i

kij直角坐標(biāo)系單位矢量：k右手坐標(biāo)系aba

bx

yzOb

b

cos

i

b

sin

ja

b

(axby

aybx

)k

ab(cos

sin

sin

cos

)k

ab

sin(

)k

ab

sinka

a

cosi

a

sin

ja

ax

i

ay

j

az

kb

bx

i

by

j

bz

kzyxzyxx

yx

yy

z

bzax

)

jy

z

(azbx

b

a

)k

(a

ba

b

(a

b

b

a

)ii

j

k

aa

abb

b對(duì)軸的力矩|

|F

FrO

F支點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸F||

作用在軸上，不引起運(yùn)動(dòng)F

引起桿對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸的力矩：M

r

F

rF

sin矢量形式：M

r

F軸矢量的方向：右手法則M轉(zhuǎn)動(dòng)方向?qū)⒖键c(diǎn)的力矩ijkxFxyFyzFz3

中的轉(zhuǎn)動(dòng)M

r

FM

rF

sinM

(

yFz

(zFxzFy

)ixFz

)

j

(xFy

yFx

)k

M

x

i

M

y

j

M

z

kxzMOryF如r和F在x-y平面內(nèi)M

M

z

kM

z

xFy

yFx

rF

sin為對(duì)軸的力矩力矩為0的條件：F

0r

//

F質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定義：L

r

p

m(r

v)p

mv亦稱動(dòng)量矩大?。篖

mrv

sin¤

L的方向垂直于r,v所構(gòu)成的平面右手法則¤

L依賴于參考點(diǎn)O的選擇

rxyzLOp,

vr在直角坐標(biāo)系中：L

Lx

i

Ly

j

Lz

k

i

j

kx

y

zpx

py

pz質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理dp

F質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理dtdL

d

(r

p)

dr

p

r

dp

dt

dt

dt

dt

v

mv

r

FdL

Mdt質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理積分形式：2

12tt1Mdt

L

L

L質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定理dL

0若M=0，則dt，即角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒的條件：M=0力矩為0的條件：F

0r

//

F即3個(gè)分量獨(dú)立守恒，和動(dòng)量一樣勻速圓錐擺的角動(dòng)量dL

0dtLLOO以O(shè)為參考點(diǎn)，角動(dòng)量為L(zhǎng)角動(dòng)量守恒dtdL

0以O(shè)'為參考點(diǎn)，角動(dòng)量為L(zhǎng)'角動(dòng)量不守恒方向在變受力情況？不同的參考點(diǎn)，角動(dòng)量是不同的勻速直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量L

r

p

m(r

v)vOrHL

mrv

sin

mvH定義：面積速度單位時(shí)間質(zhì)點(diǎn)和參考點(diǎn)點(diǎn)連線掠過(guò)的面積角動(dòng)量守恒L2mSdt

21v

dS

1

r

v22Sv

1

rv

sin

1

vH面積速度不變即為角動(dòng)量守恒勻速圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量xOωyrvt向心力F//r,L

mvr

mr2L

r

p

m(r

v)r

v角動(dòng)量守恒2

2Sv

1

rv

1

r2面積速度不變例:光滑水平桌面上一質(zhì)量為m的小球系于一輕繩的一端，繩的另一端穿過(guò)小孔。先推動(dòng)小球以角速度0作半徑為r0的運(yùn)動(dòng)。自t=0時(shí)起拉著繩以勻速v0緩慢向下運(yùn)動(dòng)。求:角速度和拉力隨時(shí)間的變化關(guān)系。vv0r解:以小孔為參考點(diǎn)則角動(dòng)量守恒設(shè)t時(shí)運(yùn)動(dòng)半徑為r0

02

2r

2r

2

0

0mr

m

r00

02

0r

2r0

v0t

:

r

r

v

t拉力即為向心力34

20

00

0r

v

tF

m2r

mr

2mF1F2f12m1f21r12O1rr2質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量定理m1

:dL112

M1

r1

(F1

f

)m2

:對(duì)于2個(gè)質(zhì)點(diǎn)：dtdL222221

M

r

(F

f

)dt21

r1

F1

r2

F2

r1

f122

r

fdL

dL1

dL2dt

dt

dtf12:

f21

0,

r1

r12

r2r1

f12

r2

f21

r1

f12

(r1

r12

)

f21

r1

f12

r1

f21

r12

f21

0r12

//

f211外

2外1

1

2

2dL

r

F

r

F

M

Mdt與內(nèi)力無(wú)關(guān)質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量定理合外i外i

ii

idtdL

r

F

M

M總角動(dòng)量：L

Li

ri

pii

i質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量守恒定理M

0

dL

0dt合外合外力矩為0，則總角動(dòng)量守恒與動(dòng)量一樣，3個(gè)分量獨(dú)立守恒m2mR

O例：輕繩跨過(guò)半徑R的輕滑輪，質(zhì)量2m的人抓住繩的一端，另一端為質(zhì)量m的物體。人從往上爬，為使自己不往下降，人須以多大加速度相對(duì)繩上爬？解:以滑輪軸O為參考點(diǎn)，以人和物體為體系，則外力矩為重力引起的力矩。人：R2mgM1物：RmgM

21M

2mgRM

mgR2以為正方向M

合外

2mgR

mgR

mgR設(shè)人相對(duì)繩的速度為u，物體相對(duì)地面上升速度為v，則人相對(duì)地面上升速度為u-v。L1u

v角動(dòng)量

人：

L1

2m(u

v)RRvL2物：

L2

mvRR以

為正方向

L

mvR

2m(u

v)R

3mvR

2muR合外dL

Mdt

dtdL

3mRv·

2mRu·

mgR若人不下降：dt

d

(u

v)

0

u·

v·u·

gO2m0vlm1lm1例：一鉸鏈下懸掛一輕桿，桿上附有兩個(gè)質(zhì)量m1的小球。一質(zhì)量為m2的以初速v0射入下端小球。求：射入小球后瞬間輕桿的角速度。解:以O(shè)為參考點(diǎn)，則外力矩為0，則角動(dòng)量守恒設(shè)桿角速度為初態(tài)角動(dòng)量：Li

m2

(2l)v0末態(tài)角動(dòng)量：21

5m

l

22

4m

l

212

m

(2l)22

1fL

m

(2l)

m

l

角動(dòng)量守恒：Li

Lf2m2v04m2l

5m1l

動(dòng)量守恒？質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量vi

vi

vCrC

：質(zhì)心位矢vC

：質(zhì)心速度ri

：相對(duì)質(zhì)心的位矢vi

：相對(duì)質(zhì)心的速度L

L

LC=質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量+質(zhì)心角動(dòng)量L

Li

mi

ri

vii

iri

ri

rCL

Li

mi

ri

vii

mirC

vi

mi

rC

vCi

i

mivi

0i

i

mi

(ri

rC

)

(vi

vC

)i

mi

ri

vi

mi

ri

vCi

i質(zhì)心參考系中動(dòng)量=0質(zhì)心參考系中質(zhì)心位矢=0i

mi

ri

0質(zhì)心的角動(dòng)量定理iLC

mirC

vC

rC

MvC

vC

MvC

rC

FiiC

C

Mv

rdLC

drC

M

dvCdtdt

dtCC

Madt

Mdp

dtdvF

ii:Ci

rC

Fi

MdLCdt質(zhì)心角動(dòng)量隨時(shí)間變化率=合外力對(duì)質(zhì)心的力矩類似于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理合外i外i

ii

idtdL

r

F

M

Mri

ri

rCC

i

iiF

r

F

Mi

iiri

Fi

rCdL

dtCdLCdt

MC:

L

L

L

,ii

idL

r

F

M

dt相對(duì)質(zhì)心角動(dòng)量隨時(shí)間變化率=外力相對(duì)質(zhì)心的合力矩rC

：質(zhì)心位矢ri

：相對(duì)質(zhì)心的位矢質(zhì)心系的角動(dòng)量定理質(zhì)心系中慣性力的力矩（平動(dòng)非慣性系）MI

MiIi

ri

FiIi

ri

(mi

a0

)i

mi

ri

a0

0iir

：相對(duì)質(zhì)心的位矢或質(zhì)心系中的位矢FiI

mi

a0

：慣性力質(zhì)心系中慣性力的力矩為0質(zhì)心系中重力矩為0質(zhì)心系中質(zhì)心位矢=0

mi

ri

0iClv0例：二球質(zhì)量均為m，輕繩，光滑水平面，一球獲得v0的初速。求：運(yùn)動(dòng)規(guī)律及繩中張力。0

CC0v

1

v2水平方向動(dòng)量守恒mv

2mv質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)相對(duì)質(zhì)心角動(dòng)量守恒02

2l2

m

l

2

l

2

mmv

v0l球繞質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)繩中的張力v21m02

l2

2

l

T

m

Cav0例：二球質(zhì)量均為m，輕彈簧自然長(zhǎng)度為a，勁度系數(shù)為k。光滑水平面，兩球獲得v0的初速。若以后運(yùn)動(dòng)過(guò)程

簧最大長(zhǎng)度b

=

2a，求：兩球的初速度v0

。角動(dòng)量守恒20

22mv

a

2mv

b機(jī)械能守恒02

2

22

1

mv2

2

1

mv2

1

k

(b

a)2

ak

(b

a)

2k2m(b

a)

3m0v

bv0abcl45ov0例：三球