《線性代數(shù)》學(xué)習(xí)指南

學(xué)習(xí)指南《線性代數(shù)》是理工科及經(jīng)濟(jì)管理各學(xué)科專業(yè)的一門重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。它的課程目標(biāo)是通過(guò)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，充分利用數(shù)學(xué)軟件工具，運(yùn)用各種教學(xué)手段和方法，系統(tǒng)地向?qū)W生闡述矩陣、向量、線性方程組的基本理論與基本方法，使學(xué)生掌握線性代數(shù)的基本概念、基本原理與基本計(jì)算方法，理解具體與抽象、特殊與一般、有限與無(wú)限等辨證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、抽象思維能力、分析問題與解決問題的能力、運(yùn)用計(jì)算機(jī)解決與線性代數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題的能力，為學(xué)習(xí)后繼課程的學(xué)習(xí)，從事工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理工作，科學(xué)研究以及開拓新技術(shù)領(lǐng)域打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。第一章矩陣矩陣是研究線性方程組和其他相關(guān)問題的有力工具，也是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象之一。矩陣作為一種抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的具體表現(xiàn)，其理論與方法在自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用。本章從實(shí)際問題出發(fā)，引出矩陣的概念，討論矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)，逆矩陣及其求法，矩陣的分塊，矩陣的初等變換與初等矩陣的概念與性質(zhì)。重點(diǎn)是矩陣的運(yùn)算，特別是矩陣的乘法運(yùn)算，逆矩陣及其性質(zhì)，初等變換、初等矩陣的概念與性質(zhì)，用初等變換化矩陣為階梯形與最簡(jiǎn)形，用初等變換和定義法求逆矩陣的方法。1.矩陣是初學(xué)線性代數(shù)認(rèn)識(shí)的第一個(gè)概念。矩陣不僅是線性代數(shù)主要討論的對(duì)象之一，而且是非常重要的數(shù)學(xué)工具,它的理論和方法貫穿于本課程始終。本章的重點(diǎn)之一是矩陣的各種運(yùn)算，其中又以矩陣的乘法最為重要，它也是難點(diǎn)之一。 兩個(gè)矩陣的乘積是有條件的，不是任何兩個(gè)矩陣都能相乘的。有意義，必須是的列數(shù)等于的行數(shù)，而積矩陣的行數(shù)等于的行數(shù)，列數(shù)等于的列數(shù)。積矩陣的第行第列元素等于左矩陣的第行與右矩陣的第列對(duì)應(yīng)元素乘積之和。讀者務(wù)必掌握矩陣乘法的實(shí)質(zhì)。 矩陣的乘法與數(shù)的乘法不同。尤其要注意以下三點(diǎn)：（1）矩陣乘法不滿足交換律。當(dāng)乘積有意義時(shí)，不一定有意義，即使有意義，也不一定有。因此矩陣乘法有左乘和右乘之分，相乘矩陣的順序不可隨便顛倒。 如果有，則稱與乘法可交換。（2）兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣。也就是：若時(shí)，不能推出或。例如：，，均不是零矩陣，但是零矩陣。（3）矩陣乘法不滿足消去律。也就是：若且，但不能推出。例如：對(duì)于矩陣，，，但。值得注意的是，如果且為可逆矩陣，必有。2.逆矩陣是矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)重要概念。求可逆矩陣的逆矩陣是一種重要運(yùn)算。利用逆矩陣可以解線性方程組和矩陣方程及矩陣方程組，判別向量組的線性相關(guān)性等。（1）求逆矩陣的常用方法有：定義法：利用逆矩陣的定義或性質(zhì)求逆矩陣。例如：滿足.則有。故均可逆且，。初等變換法或利用分塊矩陣的性質(zhì)求逆矩陣?yán)缙渲芯赡?。其中。公式法?.矩陣的初等變換是本章的重點(diǎn)，利用矩陣的初等變換化矩陣為階梯形或行最簡(jiǎn)形是線性代數(shù)中的一個(gè)重要方法，必須熟練掌握。在具體計(jì)算中，雖然計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但容易出錯(cuò)，因此作初等變換時(shí)務(wù)必仔細(xì)、耐心與細(xì)心。第二章行列式行列式產(chǎn)生于線性方程組，它是線性代數(shù)的一個(gè)重要組成部分，在數(shù)學(xué)和其它學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。在學(xué)習(xí)中，要理解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)及行列式按行（列）展開定理。要能熟練運(yùn)用各種方法準(zhǔn)確迅速地計(jì)算行列式。在本章行列式的應(yīng)用就是克拉默法則，它是求系數(shù)行列式不等于零的線性方程組的解的一種方法，它清楚的揭示了這類元線性方程組的解與方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系。1.行列式的定義方式有三種：（1）逆序法。（主教材的定義行列式的方法）（2）遞歸定義法。（《工程線性代數(shù)》的定義方法）（3）公理法。2.計(jì)算行列式的基本方法（1）定義法。（2）化三角形法。利用行列式的性質(zhì)將行列式化為簡(jiǎn)單易于計(jì)算的行列式，特別是化為上（下）三角形行列式。（3）降階法。利用行列式按一行（列）展開定理，將高階行列式化為低階行列式計(jì)算。（4）遞推法。利用行列式的性質(zhì)建立遞推公式，然后求解。（5）加邊法。將不易計(jì)算的低階行列式轉(zhuǎn)為易于計(jì)算的高階行列式。（6）數(shù)學(xué)歸納法。（7）利用已知重要行列式的結(jié)論，如范德蒙德行列式。（8）利用矩陣有關(guān)性質(zhì)計(jì)算。如，，其中為階方陣，為矩陣，為矩陣。3.注意區(qū)分行列式的運(yùn)算和矩陣的運(yùn)算。例如數(shù)乘以行列式不同于數(shù)乘以矩陣。行列式相加也不同于矩陣相加。設(shè)為三階方陣，也是三階方陣，則，而，從而。第三章矩陣的秩與線性方程組 自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)實(shí)踐中的許多問題往往都?xì)w結(jié)為求一個(gè)線性方程組，而線性代數(shù)的理論也正是基于求解線性方程組而發(fā)展起來(lái)的，因而研究線性方程組的解法和解的理論是線性代數(shù)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。 矩陣的秩是矩陣的一種屬性，它的應(yīng)用相當(dāng)廣泛。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)：1.理解齊次線性方程組存在非零解的充要條件，并能通過(guò)求出方程組系數(shù)矩陣的秩，準(zhǔn)確判斷方程組是存在非零解還是只有零解。2.理解非齊次線性方程組有解的充要條件，能通過(guò)其增廣矩陣的初等變換準(zhǔn)確判斷非齊次線性方程組解的情況，即是無(wú)解，有唯一解，有無(wú)窮多解。3.熟練掌握線性方程組的求解方法，會(huì)求帶參數(shù)線性方程組的解。4.熟練掌握矩陣的秩的求法和性質(zhì)。第四章向量空間維向量是中學(xué)學(xué)習(xí)的幾何向量的推廣。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之一。研究向量并建立向量理論，不僅對(duì)數(shù)學(xué)，而且對(duì)其它應(yīng)用學(xué)科都十分重要。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，深刻理解基本概念，搞清楚它們相互之間的關(guān)系是學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的關(guān)鍵。本章主要介紹了維向量，線性表示，線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，向量空間，向量組的極大線性無(wú)關(guān)與秩，向量組的正交性，線性方程解的結(jié)構(gòu)等內(nèi)容。在學(xué)習(xí)應(yīng)注意以下問題：1.向量組線性相關(guān)性判定的常用方法。（1）定義法；（2）利用齊次線性方程組解的理論；線性相（無(wú)）關(guān)齊次線性方程組有非零解（只有零解）；（3）利用矩陣的秩線性相（無(wú)）關(guān)矩陣的秩小于（等于）向量的個(gè)數(shù)；（4）利用線性相關(guān)性的性質(zhì)。2.求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的常用方法（1）初等變換法：以給定向量組為列向量組作矩陣，然后用初等變換將化成階梯形，則中與階梯形的首非零元對(duì)應(yīng)的向量組，就構(gòu)成給定向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)為給定向量組的秩。（2）選取法：若給定向量組僅含零向量，那么此向量組沒有極大無(wú)關(guān)組；若給定向量組至少含有一個(gè)非零向量，在中任取一個(gè)非零向量，記為，顯然是線性無(wú)關(guān)的，再在中選一個(gè)與線性無(wú)關(guān)的向量，記為，如果選不出這樣的向量，則就是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組；再選一個(gè)與，線性無(wú)關(guān)的向量，這樣一直下去，直到選出一組線性無(wú)關(guān)向量為止。（3）子式法：以給定向量作成矩陣，如果矩陣有一個(gè)階子式是組，再也找不到與這個(gè)向量線性無(wú)關(guān)的向量為止，那么就是一向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。的最高階非零子式，則該子式所在的行（列）就是矩陣的行（列）向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。第五章相似矩陣矩陣相似是線性代數(shù)的一個(gè)重要問題，它主要討論對(duì)于給定方陣，是否可以找到與之相似的對(duì)角矩陣。為此，引出了特征值與特征向量的概念與計(jì)算方法。本章主要介紹方陣的特征值與特征向量的概念與性質(zhì)，相似矩陣的概念，矩陣可對(duì)角化的充要條件，實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化問題。在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下問題：1.方陣的特征值與特征向量的求法。對(duì)于具體的數(shù)字矩陣，首先解特征方程，得出的全部特征值，記為（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），然后再解對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，它的基礎(chǔ)解系就是特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量，基礎(chǔ)解系的所有非零線性組合即為特征值的全部特征向量。對(duì)抽象矩陣，如果已知是的一個(gè)特征值，是對(duì)應(yīng)于的一個(gè)特征向量，則是的一個(gè)特征值，仍是屬于特征值的一個(gè)特征向量。例如，已知階矩陣的每一行元素之和為，求的一個(gè)特征值與特征向量。解：因?yàn)榈拿啃性刂蜑?，從而有從而為的一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為，從而的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量仍為。2.利用相似對(duì)角化可方便地求出方陣的高次冪。因?yàn)榭蓪?duì)角化，即存在可逆矩陣，使，其中是對(duì)角矩陣，則。3.在方陣與對(duì)角陣相似關(guān)系式中，若已知兩者可求出第三者。例如，已知三階實(shí)矩陣和，的特征值為，若的特征值為-5，1，7，且，求，并寫出的相似標(biāo)準(zhǔn)形（其中是互異的非零實(shí)數(shù)）解：因有三個(gè)互異的特征值，從而可對(duì)角化，故存在可逆矩陣，使故于是故可對(duì)角化，而為的特征值，由題設(shè)知的特征值為-5，1，7，從而，即，得，同理可得。因此的相似標(biāo)準(zhǔn)形為第六章二次型二次型理論起源于化二次曲線和二次曲線的方程為標(biāo)準(zhǔn)形的問題。本章主要介紹了二次型的概念，矩陣合同的概念，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，正定（負(fù)定）二次型的概念、性質(zhì)及判定方法，重點(diǎn)是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，二次型正定性的判定。1.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法（1）配方法（2）正交變換法，對(duì)于任意實(shí)二次型，總存在正交變換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形，其中是的全部特征值。由于正交變換具有良好的性質(zhì)，如保內(nèi)積、保長(zhǎng)度、保夾角，所以它在工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。（3）初等變換法2.正定矩陣（正定二次型）的判別方法（1）定義法；正定，，；（2）特征值法：正定的特征值全大于；（3）順序主子法：正定的所有順序主子式全大于；（4）正慣性指數(shù)法：正定的正慣性指數(shù)等于其階數(shù)；（5）合同變換不改變矩陣的正定性3.利用實(shí)對(duì)稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形，可將實(shí)對(duì)稱矩陣分解為其中為矩陣的特征值，為對(duì)應(yīng)于特征值的單位特征向量，且兩兩正交。第七章線性空間與線性變換線性空間是由元數(shù)組向量構(gòu)成的空間的推廣，線性變換是線性空間之間保持線性關(guān)系不變的映射，他們是線性代數(shù)的兩個(gè)重要的基本概念和研究對(duì)象。它們也是研究現(xiàn)實(shí)世界中各種線性問題的數(shù)學(xué)模型，它們的理論和方法，已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，已成為線性代數(shù)的核心。本章簡(jiǎn)要介紹線性空間及其維數(shù)，基，坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性變換的矩陣表示，線性變換的特征值與特征向量等。在學(xué)習(xí)中，要聯(lián)系第四章關(guān)于元數(shù)組向量有關(guān)概念、性質(zhì)和結(jié)論。要注重線性變換與矩陣的聯(lián)系。線性空間上的線性變換，在取定的一組后，唯一地對(duì)應(yīng)著一個(gè)方陣，即線性變換與矩陣是一一對(duì)應(yīng)的，而且保持相同的運(yùn)算。線性變換的特征值