2023學(xué)年衡水市第十三中學(xué)高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是（）（其中，為無(wú)理數(shù)）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．32．如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為A． B．C． D．3．已知直線y＝k（x﹣1）與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，直線y＝2k（x﹣2）與拋物線D：y2＝8x交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)λ＝|AB|﹣2|MN|，則（）A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣124．要得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，只需將的圖像（）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍5．如圖，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．6．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．7．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且公比為2，則與的關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．8．函數(shù)（），當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則的范圍為（）A． B． C． D．9．己知，，，則（）A． B． C． D．10．設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，則"a=b"是"logA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．如圖，某幾何體的三視圖是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的，則該幾何體的體積為()A． B． C．6 D．與點(diǎn)O的位置有關(guān)12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某種牛肉干每袋的質(zhì)量服從正態(tài)分布，質(zhì)檢部門的檢測(cè)數(shù)據(jù)顯示：該正態(tài)分布為，.某旅游團(tuán)游客共購(gòu)買這種牛肉干100袋，估計(jì)其中質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是_____袋.14．若，，則___________．15．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，.若；且，則周長(zhǎng)的范圍為_(kāi)_________.16．若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)(mR)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），對(duì)任意mR，若關(guān)于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合．18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線和圓的普通方程；（2）已知直線上一點(diǎn)，若直線與圓交于不同兩點(diǎn)，求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；，，求a的取值范圍．20．（12分）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，若.（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）是否存在常數(shù)，滿足？并說(shuō)明理由.21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，且數(shù)列前項(xiàng)和為，求的取值范圍．22．（10分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的拋物線的弦，已知以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的值及該圓的方程；（2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，證明：.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【答案解析】

對(duì)于①中，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可判定值正確的；對(duì)于②中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而得到，即可判定是錯(cuò)誤的；對(duì)于③中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值為，進(jìn)而得到，即可判定是正確的.【題目詳解】由題意，對(duì)于①中，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得成立，所以是正確的；對(duì)于②中，設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，則又由，所以，即，所以②不正確；對(duì)于③中，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，合理構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.2、A【答案解析】

作交于點(diǎn)，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結(jié)果.【題目詳解】如圖，作交于點(diǎn)，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【答案點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.3、D【答案解析】

分別聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理，可得，，然后計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)，聯(lián)立則，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)，所以.同理可得，所以故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查的是直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦求參數(shù)，屬基礎(chǔ)題。4、D【答案解析】

先求得，再根據(jù)三角函數(shù)圖像變換的知識(shí)，選出正確選項(xiàng).【題目詳解】依題意，所以由向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍得到的圖像.故選：D【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查誘導(dǎo)公式，考查三角函數(shù)圖像變換，屬于基礎(chǔ)題.5、A【答案解析】

易得，過(guò)B作x軸的垂線，垂足為T，在中，利用即可得到的方程.【題目詳解】由已知，得，過(guò)B作x軸的垂線，垂足為T，故，又所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問(wèn)題，在作雙曲線離心率問(wèn)題時(shí)，最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.6、D【答案解析】

直接相乘，得，由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【題目詳解】∵∴其共軛復(fù)數(shù)為.故選：D【答案點(diǎn)睛】熟悉復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì).7、C【答案解析】

在等比數(shù)列中，由即可表示之間的關(guān)系.【題目詳解】由題可知，等比數(shù)列中，且公比為2，故故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、B【答案解析】

首先由，可得的范圍，結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像，可求的關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解不等式即可求得范圍.【題目詳解】因?yàn)椋?，若值域?yàn)椋灾恍?，?故選：B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).9、B【答案解析】

先將三個(gè)數(shù)通過(guò)指數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算變形，再判斷.【題目詳解】因?yàn)?，，所以，故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.10、A【答案解析】

根據(jù)題意得到充分性，驗(yàn)證a=2,b=1【題目詳解】a,b∈0,1∪1,+∞，當(dāng)"a=b當(dāng)logab=log故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.11、B【答案解析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示，幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積，即可求出結(jié)論.【題目詳解】如下圖是還原后的幾何體，是由棱長(zhǎng)為2的正方體挖去一個(gè)四棱錐構(gòu)成的，正方體的體積為8，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)O在平面上，高為2，所以四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為.故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查三視圖求幾何體的體積，還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、B【答案解析】

列出循環(huán)的每一步，進(jìn)而可求得輸出的值.【題目詳解】根據(jù)程序框圖，執(zhí)行循環(huán)前：，，，執(zhí)行第一次循環(huán)時(shí)：，，所以：不成立．繼續(xù)進(jìn)行循環(huán)，…，當(dāng)，時(shí)，成立，，由于不成立，執(zhí)行下一次循環(huán)，，，成立，，成立，輸出的的值為.故選：B．【答案點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【答案解析】

根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性，求得質(zhì)量低于的袋數(shù)的估計(jì)值.【題目詳解】由于，所以，所以袋牛肉干中，質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是袋.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查正態(tài)分布對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析】

因?yàn)?，所以，又，所以，則，所以．15、【答案解析】

先求角，再用余弦定理找到邊的關(guān)系，再用基本不等式求的范圍即可.【題目詳解】解：所以三角形周長(zhǎng)故答案為：【答案點(diǎn)睛】考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件；基礎(chǔ)題.16、5【答案解析】

根據(jù)題意，畫(huà)出圖像，數(shù)形結(jié)合，將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求動(dòng)直線縱截距的最值，即可求解【題目詳解】畫(huà)出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示，令，則.分析知，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，且.【答案點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）{1，2}．【答案解析】

（1）求解導(dǎo)數(shù)，表示出，再利用的導(dǎo)數(shù)可求m的取值范圍；（2）表示出，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)求出的最小值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)及基本不等式求出的最值，從而可求正整數(shù)k的取值集合．【題目詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，則，由題意可知，解得；（2）由（1）可知，，所以因?yàn)檎淼?，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以存在，使得，設(shè)，是關(guān)于開(kāi)口向上的二次函數(shù)，則，設(shè)，則，令，則，所以單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以存在，使得，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，又由題意可知，所以，解得，所以正整數(shù)k的取值集合為{1，2}．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究極值問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，恒成立問(wèn)題要逐步消去參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解，適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).18、（1），；（2）【答案解析】分析：（1）用代入法消參數(shù)可得直線的普通方程，由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，其中參數(shù)的絕對(duì)值表示直線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到的距離，因此有，，直接由韋達(dá)定理可得，注意到直線與圓相交，因此判別式＞0，這樣可得滿足的不等關(guān)系，由此可求得的取值范圍.詳解：（1）直線的參數(shù)方程為，普通方程為，將代入圓的極坐標(biāo)方程中,可得圓的普通方程為，（2）解：直線的參數(shù)方程為代入圓的方程為可得：（*），且由題意，,.因?yàn)榉匠蹋?）有兩個(gè)不同的實(shí)根，所以，即，又，所以.因?yàn)?，所以所?點(diǎn)睛：（1）參數(shù)方程化為普通方程，一般用消參數(shù)法，而消參法有兩種選擇：一是代入法，二是用公式；（2）極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化一般利用公式；（3）過(guò)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）中參數(shù)具有幾何意義：直線上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)，則.19、（1）；（2）.【答案解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，②當(dāng)時(shí)，，顯然成立，所以，③當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，綜上所述，不等式的解集為．（2）因?yàn)椋驗(yàn)?，有成立，所以只需，解得，所以a的取值范圍為．【答案點(diǎn)睛】絕對(duì)值不等式的解法：法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．20、（1）證明見(jiàn)解析（0，2）；（2）存在，理由見(jiàn)解析【答案解析】

（1）設(shè)直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程，利用OA⊥OB，求出b，即可知直線過(guò)定點(diǎn)（2）由斜率公式分別求出，，聯(lián)立直線與拋物線，橢圓，再由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，代入，，化簡(jiǎn)即可求解.【題目詳解】（1）證明：由題知，直線l的斜率存在且不過(guò)原點(diǎn)，故設(shè)由可得，.，，故所以直線l的方程為故直線l恒過(guò)定點(diǎn).（2）由（1）知設(shè)由可得，，即存在常數(shù)滿足題意.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．21、（1）（2）【答案解析】

（1）由，可求，然后由時(shí)，可得，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求（2）由，而，利用裂項(xiàng)相消法可求.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，①②②①得，即，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；（2）∴，∴，，.【答案點(diǎn)睛】本題考查遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力．22、（1），圓的方程為：.（2）答案見(jiàn)解析【答案解析】

（1）根據(jù)題