2023學(xué)年江蘇省溧中、省揚(yáng)中、鎮(zhèn)江一中、江都中學(xué)高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，延長交右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列{an}滿足a1=3，且aA．22n-1+1 B．22n-1-13．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．4．正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為，已知，則=（）A．35 B．36 C．45 D．545．某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（）A．56 B．60 C．140 D．1206．曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為（）A．3 B．2 C． D．17．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．8．已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和與展開式中常數(shù)項(xiàng)相等，則項(xiàng)系數(shù)為（）A．10 B．32 C．40 D．809．1777年，法國科學(xué)家蒲豐在宴請(qǐng)客人時(shí)，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對(duì)針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（）A． B． C． D．10．已知焦點(diǎn)為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的方程為（）A．或 B．或 C．或 D．11．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積（）A． B． C． D．12．已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于，兩點(diǎn)，若，則△的內(nèi)切圓的半徑為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若點(diǎn)在直線上，則的值等于______________.14．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是，則_________，該幾何體的表面積為_________．15．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是_________.①是周期函數(shù)；②的對(duì)稱軸方程為，；③在區(qū)間上為增函數(shù)；④方程在區(qū)間有6個(gè)根.16．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，.（1）證明：平面平面ABCD；（2）設(shè)H在AC上，，若，求PH與平面PBC所成角的正弦值.18．（12分）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，平面，，，是的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（ⅠⅠ）求直線與平面所成的角的正弦值.19．（12分）在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期，我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號(hào)，鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，對(duì)高三年級(jí)隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷，其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人，余下的人中，在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占，統(tǒng)計(jì)成績后得到如下列聯(lián)表：分?jǐn)?shù)不少于120分分?jǐn)?shù)不足120分合計(jì)線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)419線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)合計(jì)45（1）請(qǐng)完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；②若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數(shù)學(xué)成績不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.（下面的臨界值表供參考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式其中）20．（12分）已知函數(shù).若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn).（1）若a，且a≠0，證明：函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn)；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；（3）若函數(shù)在R上有局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21．（12分）如圖，四棱錐中，底面是菱形，對(duì)角線交于點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，．求證：（1）平面；（2）平面平面．22．（10分）已知x，y，z均為正數(shù)．（1）若xy＜1，證明：|x+z|?|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy?2yz?2xz的最小值．

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【答案解析】

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，則，，，和中，利用勾股定理計(jì)算得到答案.【題目詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，則，，，，根據(jù)對(duì)稱性知四邊形為矩形，中：，即，解得；中：，即，故，故.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.2、D【答案解析】試題分析：因?yàn)閍n+1=4an+3，所以an+1+1=4(an+1)，即an+1+1an+1考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式．3、B【答案解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k．再把點(diǎn)代入，求得k的值，可得要求的雙曲線的方程．【題目詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4、C【答案解析】

由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出.【題目詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，解得或（舍），，故選C.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前項(xiàng)和的關(guān)系.5、C【答案解析】

試題分析：由題意得，自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的頻率為，故自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的頻率為，故選C.考點(diǎn)：頻率分布直方圖及其應(yīng)用．6、A【答案解析】

根據(jù)題意，求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式，即可求出切線斜率，即可得出答案.【題目詳解】解：由于，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：，即切線斜率，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為3.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運(yùn)用基本不等式求最值，考查計(jì)算能力.7、A【答案解析】

用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱排除,用排除,用排除.故只能選.【題目詳解】因?yàn)?所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,故可以排除;因?yàn)?故排除,因?yàn)橛蓤D象知,排除.故選:A【答案點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.8、D【答案解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng)，然后二項(xiàng)式系數(shù)和，可得，最后依據(jù)，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為又展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為由所以當(dāng)時(shí)，所以項(xiàng)系數(shù)為故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式，熟悉公式，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.9、D【答案解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出頻率，用以估計(jì)概率.【題目詳解】.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查利用頻率估計(jì)概率，屬于基礎(chǔ)題.10、A【答案解析】

過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，利用拋物線的定義可得，要使最大，則應(yīng)最大，此時(shí)與拋物線相切，再用判別式或?qū)?shù)計(jì)算即可.【題目詳解】過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，此時(shí)與拋物線相切，易知此時(shí)直線的斜率存在，設(shè)切線方程為，則.則，則直線的方程為.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到拋物線的定義，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.11、C【答案解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可．【題目詳解】解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，P?ABC，正方體的棱長為2，

該幾何體的表面積：．故選C．【答案點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．12、B【答案解析】

設(shè)左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由AB的弦長可得a的值，進(jìn)而可得雙曲線的方程，及左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形ABF2的面積，再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個(gè)三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.【題目詳解】由雙曲線的方程可設(shè)左焦點(diǎn)，由題意可得，由，可得，所以雙曲線的方程為:所以，所以三角形ABF2的周長為設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，所以三角形的面積，所以，解得，故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法，內(nèi)切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

根據(jù)題意可得，再由，即可得到結(jié)論.【題目詳解】由題意，得，又，解得，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，綜上，.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、；【答案解析】試題分析：如圖：此幾何體是四棱錐，底面是邊長為的正方形，平面平面，并且，，所以體積是，解得，四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，所以計(jì)算出邊長，表面積是考點(diǎn)：1．三視圖；2．幾何體的表面積．15、①②④【答案解析】

由函數(shù)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.【題目詳解】函數(shù)，是周期函數(shù)，最小正周期為，故①正確；當(dāng)或時(shí)，有最大值或最小值，此時(shí)或，即或，即.的對(duì)稱軸方程為，，故②正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上不是增函數(shù)，故③錯(cuò)誤；作出函數(shù)的部分圖象，如圖所示方程在區(qū)間有6個(gè)根，故④正確.故答案為：①②④.【答案點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.16、3【答案解析】

作出可行域,可得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值,求解即可.【題目詳解】作出可行域（如下圖陰影部分）,聯(lián)立,可求得點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),.故答案為:3.【答案點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【答案解析】

（1）記，連結(jié)，推導(dǎo)出，平面，由此能證明平面平面；（2）推導(dǎo)出，平面，連結(jié)，由題意得為的重心，，從而平面平面，進(jìn)而是與平面所成角，由此能求出與平面所成角的正弦值．【題目詳解】（1）證明：記，連結(jié)，中，，，，，，平面，平面，平面平面．（2）中，，，，，，，，，，平面，∴，連結(jié)，由題意得為的重心，，，，平面平面平面，∴在平面的射影落在上，是與平面所成角，中，，，，．與平面所成角的正弦值為．【答案點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18、(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)．【答案解析】試題分析：（Ⅰ）連接交于，得，所以面，又，得面，即可利用面面平行的判定定理，證得結(jié)論；（Ⅱ）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求的平面的一個(gè)法向量，利用向量和向量夾角公式，即可求解與平面所成角的正弦值．試題解析：（Ⅰ）連接BD交AC于O，易知O是BD的中點(diǎn)，故OG//BE，BE面BEF，OG在面BEF外，所以O(shè)G//面BEF；又EF//AC，AC在面BEF外，AC//面BEF，又AC與OG相交于點(diǎn)O，面ACG有兩條相交直線與面BEF平行，故面ACG∥面BEF；（Ⅱ）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C、OD、OF為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)面ABF的法向量為，依題意有，，令，，，，，直線AD與面ABF成的角的正弦值是．19、（1）填表見解析；有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”（2）①詳見解析②期望；方差【答案解析】

（1）完成列聯(lián)表，代入數(shù)據(jù)即可判斷；（2）利用分層抽樣可得的取值，進(jìn)而得到概率，列出分布列；根據(jù)分析知，計(jì)算出期望與方差.【題目詳解】（1）分?jǐn)?shù)不少于120分分?jǐn)?shù)不足120分合計(jì)線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)15419線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)101626合計(jì)252045有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”.（2）①由分層抽樣知，需要從不足120分的學(xué)生中抽取人，的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，所以，的分布列：②從全校不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，此人每周上線時(shí)間不少于5小時(shí)的概率為，設(shè)從全校不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)為，則，故，.【答案點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）見解析（2）（3）【答案解析】

（1）若函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn),則,即有解,即可求證；（2）由題可得在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍；（3）由題可得在上有解,即在上有解,設(shè),則可變形為方程在區(qū)間內(nèi)有解,進(jìn)而求解即可.【題目詳解】（1）證明:由得,代入得,則得到關(guān)于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對(duì)稱點(diǎn)（2）解:由題,因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)所以在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設(shè),則,所以令,則,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞