吉林大學(xué)基礎(chǔ)物理課件

第二章

振動(dòng)11/2/20221概述機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近做來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)，稱為機(jī)械振動(dòng)。如聲源的振動(dòng)、鐘擺的擺動(dòng)等。簡(jiǎn)諧振動(dòng)：最簡(jiǎn)單、最基本的機(jī)械振動(dòng)。振動(dòng)：任何一個(gè)物理量在某一定值附近作反復(fù)變化，稱為振動(dòng)。11/2/202222.1.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程

物體在一定位置附近的位移變化滿足余弦（或正弦）規(guī)律，稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)基本特征2.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)以彈簧振子為例彈簧振子一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)(simpleharmonicmotion)在彈性限度內(nèi)，彈性力由胡克定律（Hookelaw）為由牛頓第二定律得11/2/20223令(w稱為角頻率）動(dòng)力學(xué)特征：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度與位移x成正比，且方向相反。有由上式得——簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：位移x按余弦(或正弦)函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化。三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程其解為——簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程。11/2/20224速度：加速度：位移x、速度u、加速度a三者與時(shí)間t的關(guān)系如現(xiàn)象所示。四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度與加速度振動(dòng)基本規(guī)律——速度振幅——加速度振幅11/2/20225

二、周期（period）和頻率（frequency）一、振幅（amplitude）振動(dòng)物體離開(kāi)平衡位置的最大距離。A、wA、w2A分別是位移、速度、加速度振幅。完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間T，單位是s。2.1.2描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量注意：周期的表示方法式中w是角頻率,單位是rad·s-1。11/2/20226因周期只與振動(dòng)系統(tǒng)自身性質(zhì)有關(guān),故又稱為固有周期(naturalperiod）。物體在一秒內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)，用n表示，單位是Hz（赫茲）。頻率只與振動(dòng)系統(tǒng)自身性質(zhì)有關(guān),故又稱為固有頻率(naturalfrequency)。頻率的表示方法三、相位與初相位(phaseandinitialphase)

wt+

為相位，為初相位，單位是rad

。11/2/20227例：OtttOxtOxO（1）相位的意義.反映了振動(dòng)的周期性；相位確定了振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。11/2/20228（2）初相j

，t=0時(shí)刻的相位。決定振動(dòng)物體初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由運(yùn)動(dòng)方程可知：t=0時(shí)刻11/2/20229

兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位之差稱為相位差，用Dj表示。四、相位差（phasedifference）表示:對(duì)同頻情況：即同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其相位差等于它們的初相差。11/2/202210Dj反映兩振動(dòng)的步調(diào)情況：xtotox2（超前）x1x

Dj=0，同步振動(dòng)；

Dj

=p，振動(dòng)步調(diào)相反；

Dj>0，x2振動(dòng)超前;

Dj<0，x1振動(dòng)超前。xtoDj=p11/2/202211解：將例2.1一物體沿x軸做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)規(guī)律為x＝Acos(wt+j)，設(shè)w=10rad·s-1，且當(dāng)t＝0時(shí)，物體的位移為x0＝1m，速度為，求該物體的振幅和初相位。代入11/2/202212以彈簧振子為例:2.1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量由因?yàn)?1/2/202213（1）動(dòng)能、勢(shì)能均為時(shí)間的函數(shù)，其相位差為p/2。二者可以相互轉(zhuǎn)化，總能量是與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常量。其頻率和簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率關(guān)系？能量隨時(shí)間變化能量隨空間變化x振動(dòng)能量11/2/202214在一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能與平均勢(shì)能相等，各是總能量的一半。（2）考察一個(gè)周期內(nèi)的動(dòng)能與勢(shì)能平均值11/2/2022152.1.4

旋轉(zhuǎn)矢量的表示法旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)x

軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。旋轉(zhuǎn)矢量參考圓AAt+tt=0xxpO·t

時(shí)刻，矢徑

A

與

x

軸的夾角為(wt+j

)，在

x軸上的投影為x=Acos(wt+j)。ua速度與x軸夾角為速度和加速度加速度為11/2/202216例2.2一質(zhì)點(diǎn)在x軸上做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為A，周期為T(mén)。（1）當(dāng)t＝0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡位置（x=0）的位移為x0＝A/2，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初相；（2）問(wèn)質(zhì)點(diǎn)從x＝0處到x＝A/2處最少需要多少時(shí)間？解：(1)由旋轉(zhuǎn)矢量法(2)如圖所示，旋轉(zhuǎn)矢量從j=-p/2逆時(shí)針轉(zhuǎn)到j(luò)=-p/3處，滿足時(shí)間最短要求，矢量轉(zhuǎn)過(guò)了p/6角位移。最短時(shí)間相位改變OxA/2A11/2/202217一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)曲線如圖所示，求質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。解：由圖可知A＝2cm當(dāng)t＝2s，x0＝A/2例2.3相位相位改變?yōu)榻穷l率振動(dòng)方程u0<0xOA/2u0>021211/2/202218練習(xí)1：當(dāng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移是振幅一半時(shí)，其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的多少？在什么位置，動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半？解

（1）x=±A/2

代入中11/2/202219練習(xí)2：一彈簧振子沿x軸做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。已知其振動(dòng)的最大位移xm=0.3m，最大恢復(fù)力Fm=1.2N，最大速度um=1.2ms-1。t=0時(shí)刻的初位移，且方向同x軸正方向一致。求:1）振動(dòng)能量;2）此振動(dòng)方程。解:(1)(2)11/2/202220練習(xí)3：已知:m=2.5kg

，k=250N/m,t=0時(shí)振子處于平衡位置右方且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，此時(shí)Ek=0.2J，Ep=0.6J。求：(1)t=0時(shí)振子的位移和速度；(2)振動(dòng)方程。解：(1)(2)11/2/2022212.2.1同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成合振動(dòng)位移x就是x1

與x2的代數(shù)和特點(diǎn)：w1=w2=w,x1

//x2表示：

對(duì)如下兩個(gè)振動(dòng)2.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成11/2/202222合成結(jié)果為頻率為w的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。jx2x2x1xPMAwj1M1A1wj

2M2A2wxO由旋轉(zhuǎn)矢量法得出A、j

為11/2/202223則：x1

x2

xt振幅最大當(dāng)A1=A2時(shí),合振幅是2A1

；合振幅大小由初相位差決定。當(dāng)A1=A2時(shí),合振幅為0。振幅最小則：x1

x2

xt振動(dòng)的合成11/2/202224例:一物體同時(shí)參與同一直線上的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng),其方程分別為：求：合振動(dòng)表達(dá)式。解：直接考察兩個(gè)振動(dòng)相位差：11/2/202225【練習(xí)】已知兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：求：合振動(dòng)方程。A1A2A解：11/2/2022262.2.2同方向、頻率相近的簡(jiǎn)諧振動(dòng)

的合成拍簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)兩個(gè)分振動(dòng)振幅相等，初相相同。合振動(dòng)位移此合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是一種復(fù)雜的振動(dòng)。11/2/202227拍現(xiàn)象：由兩個(gè)分振動(dòng)頻率微小差別而產(chǎn)生合振動(dòng)的振幅忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象稱為拍。隨t變化緩慢隨t變化較快當(dāng)都很大，且相差甚微時(shí)，可將成振動(dòng)是以為振幅，以為角頻率的近似諧振動(dòng)。位移：11/2/202228拍頻：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)加強(qiáng)和減弱的次數(shù)(2)合振幅變化頻率——“拍頻”。1秒tA2ttAA合振動(dòng)振幅（包絡(luò)線）變化的頻率稱為“拍頻”(1)當(dāng)近似相等，振幅隨時(shí)間緩慢變化——“拍”現(xiàn)象，最大振幅為2A。

11/2/2022292.2.3振動(dòng)方向垂直、同頻率振動(dòng)的合成對(duì)兩個(gè)分振動(dòng)合成得到質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程是垂直振動(dòng)的合成——為橢圓軌跡方程。合運(yùn)動(dòng)一般是在2A1（x向）、2A2（y向）范圍內(nèi)的一個(gè)橢圓。橢圓的性質(zhì)（方位、長(zhǎng)短軸、左右旋）在A1、A2確定之后，主要決定于j=j2–j1。

11/2/202230質(zhì)點(diǎn)沿1、3或者2、4象限沿直線做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。=0yx

=yx11/2/202231

=3/2=5/4

=/2=/4P··Q質(zhì)點(diǎn)軌跡正橢圓。質(zhì)點(diǎn)軌跡是任意形狀橢圓。(3)j2-j1為其他值振動(dòng)的合成11/2/202232一、兩分振動(dòng)頻率相差很小可看作兩頻率相等而

D隨

t緩慢變化，合運(yùn)動(dòng)軌跡將按下圖依次緩慢變化。對(duì)于兩個(gè)相互垂直的分振動(dòng)的頻率不同，它們的合運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，且軌跡也不穩(wěn)定。2.2.4

振動(dòng)方向垂直、不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

11/2/202233w1w22113322jj1p2pp234p4p5二、兩分振動(dòng)的頻率成整數(shù)比如果兩個(gè)互相垂直的振動(dòng)頻率成整數(shù)比，合成運(yùn)動(dòng)的軌道是封閉曲線，運(yùn)動(dòng)也具有周期。這種運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形稱為李薩如圖形。李薩如圖形11/2/2022342.3振動(dòng)的分解與頻譜分析任意一個(gè)復(fù)雜的周期性振動(dòng)，都可以分解為一系列振幅不同、頻率不同簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。可以分解為一系列振幅不同、頻率不同簡(jiǎn)諧振動(dòng)。周期性振動(dòng)：振動(dòng)的分解：把一個(gè)振動(dòng)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。將復(fù)雜的周期性振動(dòng)分解為一系列的簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和，從而確定出該振動(dòng)包含的頻率成分以及各種對(duì)應(yīng)的振幅的方法。頻譜分析：(frequencyspectrumanalysis)11/2/2022350w2w3w4w5w6w

按傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)若周期振動(dòng)的最低頻率為:0則各分振動(dòng)的頻率為:0、20、30分別稱為基頻、二次諧頻、三次諧頻……設(shè)周期性函數(shù)對(duì)于非周期性的振動(dòng)分解成的一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率是連續(xù)的。分解是合成的逆過(guò)程。11/2/2022362.4阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振2.4.1阻尼振動(dòng)（dampedvibration）振幅隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。一、阻尼模型摩擦阻尼：摩擦阻力使振動(dòng)系統(tǒng)能量逐漸轉(zhuǎn)化為熱能；輻射阻尼：振動(dòng)系統(tǒng)引起臨近質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，使系統(tǒng)能量逐漸向四周輻射。阻尼模型:適用于物體低速運(yùn)動(dòng)情況適用于物體高速運(yùn)動(dòng)情況g

稱為阻尼系數(shù)11/2/202237以彈簧振子為例——阻尼振動(dòng)微分方程或?qū)憺槎x固有角頻率w0和阻尼因子b，有二、阻尼振動(dòng)方程(低速)11/2/202238通解：（1）欠阻尼振動(dòng)令A(yù)

與

由初始條件確定方程的解可寫(xiě)成txoT注意：是準(zhǔn)周期性振動(dòng):三、三種阻尼形式振幅項(xiàng)隨時(shí)間衰減。阻尼振動(dòng)11/2/202239由通解兩項(xiàng)都衰減，不是周期振動(dòng)，不能往復(fù)運(yùn)動(dòng)。如單擺放在黏性的油筒中擺到平衡位置需很長(zhǎng)時(shí)間。（2）過(guò)阻尼振動(dòng)（3）臨界阻尼振動(dòng)方程解——衰減函數(shù)11/2/202240臨界阻尼達(dá)到平衡位置的時(shí)間最短，但仍不能超過(guò)平衡位置。過(guò)阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼三種阻尼振動(dòng)比較11/2/202241彈性力阻尼力驅(qū)動(dòng)力物體在周期性外力持續(xù)作用下發(fā)生振動(dòng)，稱為受迫振動(dòng)，這個(gè)外力稱為驅(qū)動(dòng)力。以彈簧振子為例，振子受力有2.4.2受迫振動(dòng)（forcedvibration）11/2/202242令——二階常系數(shù)非齊次微分方程受迫振動(dòng)方程受迫振動(dòng)方程的通解為11/2/202243此式表明：第一項(xiàng)為阻尼振動(dòng)項(xiàng)，時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)衰減為0。第二項(xiàng)為驅(qū)動(dòng)力產(chǎn)生的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，方程的解是11/2/202244穩(wěn)定的受迫振動(dòng)是一個(gè)與驅(qū)動(dòng)力同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅和初相是tx簡(jiǎn)諧振動(dòng)且其周期為外力的振動(dòng)周期。11/2/202245當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率接近或等于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，受迫振動(dòng)振幅急劇達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為共振，其頻率稱為共振頻率。由表達(dá)式利用關(guān)系小阻尼大阻尼阻尼02.4.3共振（resonan