北京市朝陽2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，為非零向量，則“存在正數(shù)，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．充分不必要條件2．單位正方體ABCD-，黑、白兩螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”．白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（iN*）.設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處，這時黑、白兩螞蟻的距離是（）A．1 B． C． D．03．已知，，則（）A． B． C． D．4．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝()．A． B． C． D．55．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為A． B． C．2 D．6．的展開式中的一次項系數(shù)為（）A． B． C． D．7．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．8．已知集合，則為（）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]9．設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個實數(shù)解，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的值分別為（）A．2，0 B．2， C．2， D．2，11．已知實數(shù)，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．12．《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為橢圓上的一個動點，，，設(shè)直線和分別與直線交于，兩點，若與的面積相等，則線段的長為______.14．若，則____.15．某外商計劃在個候選城市中投資個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過個，則該外商不同的投資方案有____種．16．已知關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個解，則實數(shù)的取值范圍是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）設(shè)不等式的解集為，若，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若的解集為，，求證：．19．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知是公比為的無窮等比數(shù)列，其前項和為，滿足，________．是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由．從①，②，③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．21．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】

充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得，再由數(shù)量積運算即可說明成立；必要性中，由數(shù)量積運算可得，不一定有正數(shù)，使得，所以不成立，即可得答案.【題目詳解】充分性：若存在正數(shù)，使得，則，，得證；必要性：若，則，不一定有正數(shù)，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D【答案點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡單題.2、B【答案解析】

根據(jù)規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點，得到每爬1步回到起點，周期為1．計算黑螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點，即可計算出它們的距離．【題目詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即過1段后又回到起點，可以看作以1為周期，由，白螞蟻爬完2020段后到回到C點；同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，黑螞蟻爬完2020段后回到D1點，所以它們此時的距離為.故選B.【答案點睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.3、D【答案解析】

分別解出集合然后求并集.【題目詳解】解：，故選：D【答案點睛】考查集合的并集運算，基礎(chǔ)題.4、C【答案解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，選C考點：復(fù)數(shù)的代數(shù)運算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)的模5、A【答案解析】由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個底面為一個直角三角形，且兩直角邊分別為和，所以底面面積為高為的三棱錐，所以三棱錐的體積為，故選A．6、B【答案解析】

根據(jù)多項式乘法法則得出的一次項系數(shù)，然后由等差數(shù)列的前項和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論．【題目詳解】由題意展開式中的一次項系數(shù)為．故選：B．【答案點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，應(yīng)用多項式乘法法則可得展開式中某項系數(shù)．同時本題考查了組合數(shù)公式．7、D【答案解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個選項的正誤.【題目詳解】對于，，，錯誤；對于，在上單調(diào)遞減，，錯誤；對于，，，，錯誤；對于，在上單調(diào)遞增，，正確.故選：.【答案點睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題；關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.8、B【答案解析】

先求出，得到，再結(jié)合集合交集的運算，即可求解.【題目詳解】由題意，集合，所以，則，所以.故選：B.【答案點睛】本題主要考查了集合的混合運算，其中解答中熟記集合的交集、補集的定義及運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【答案解析】

畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：，，，計算得到答案.【題目詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，且.故.故選：.【答案點睛】本題考查了函數(shù)零點問題，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.10、D【答案解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象，求出周期，根據(jù)周期公式求出，求出，根據(jù)函數(shù)的圖象過點，求出，即可求得答案【題目詳解】由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)的圖象過點，，則故選【答案點睛】本題主要考查的是的圖像的運用，在解答此類題目時一定要挖掘圖像中的條件，計算三角函數(shù)的周期、最值，代入已知點坐標(biāo)求出結(jié)果11、C【答案解析】

利用不等式性質(zhì)可判斷，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【題目詳解】解：對于實數(shù)，，不成立對于不成立．對于．利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì)，即可得出．對于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì)，因此不成立．故選：．【答案點睛】利用不等式性質(zhì)比較大?。⒁獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法．12、C【答案解析】

由題意知：，，設(shè)，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【題目詳解】解：由題意知：，，設(shè)，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為故選C.【答案點睛】本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

先設(shè)點坐標(biāo)，由三角形面積相等得出兩個三角形的邊之間的比例關(guān)系，這個比例關(guān)系又可用線段上點的坐標(biāo)表示出來，從而可求得點的橫坐標(biāo)，代入橢圓方程得縱坐標(biāo)，然后可得．【題目詳解】如圖，設(shè)，，，由，得，由得，∴，解得，又在橢圓上，∴，，∴．故答案為：．【答案點睛】本題考查直線與橢圓相交問題，解題時由三角形面積相等得出線段長的比例關(guān)系，解題是由把線段長的比例關(guān)系用點的橫坐標(biāo)表示．14、【答案解析】

由，得出，根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡，再利用齊次式即可求出結(jié)果.【題目詳解】因為，所以，所以.故答案為：.【答案點睛】本題考查三角函數(shù)化簡求值，利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式，以及運用齊次式求值，屬于對公式的考查以及對計算能力的考查.15、60【答案解析】試題分析：每個城市投資1個項目有種，有一個城市投資2個有種，投資方案共種.考點：排列組合.16、【答案解析】

先換元，令，將原方程轉(zhuǎn)化為，利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)的圖像交點，觀察圖像，即可求出．【題目詳解】因為關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個解，令，所以方程在上只有一解，即有，直線與在的圖像有一個交點，由圖可知，實數(shù)的取值范圍是，但是當(dāng)時，還有一個根，所以此時共有3個根.綜上實數(shù)的取值范圍是.【答案點睛】本題主要考查學(xué)生運用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力，方程有解問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點問題，是常見的轉(zhuǎn)化方式．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）【答案解析】

（1）使用零點分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結(jié)果.（2）利用等價轉(zhuǎn)化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根據(jù)集合間的包含關(guān)系，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時，原不等式可化為.①當(dāng)時，則，所以；②當(dāng)時，則，所以；⑧當(dāng)時，則，所以.綜上所述：當(dāng)時，不等式的解集為或.（2）由，則，由題可知：在恒成立，所以，即，即，所以故所求實數(shù)的取值范圍是.【答案點睛】本題考查零點分段求解含絕對值不等式，熟練使用分類討論的方法，以及知識的交叉應(yīng)用，同時掌握等價轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題.18、（1）；（2）見解析.【答案解析】

（1）當(dāng)時，將所求不等式變形為，然后分、、三段解不等式，綜合可得出原不等式的解集；（2）先由不等式的解集求得實數(shù)，可得出，將代數(shù)式變形為，將與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，進而可證得結(jié)論.【題目詳解】（1）當(dāng)時，不等式為，且.當(dāng)時，由得，解得，此時；當(dāng)時，由得，該不等式不成立，此時；當(dāng)時，由得，解得，此時.綜上所述，不等式的解集為；（2）由，得，即或，不等式的解集為，故，解得，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，．【答案點睛】本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了利用基本不等式證明不等式，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.19、（1）證明見詳解；（2）【答案解析】

（1）取中點，根據(jù)，利用線面垂直的判定定理，可得平面，最后可得結(jié)果.（2）利用建系，假設(shè)長度，可得，以及平面的一個法向量，然后利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）取中點，連接，如圖由，所以由,平面所以平面，又平面所以（2）假設(shè)，由，，.所以則，所以又，平面所以平面，所以，又，故建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)平面的一個法向量為則令，所以則直線與平面所成角的正弦值為【答案點睛】本題考查線面垂直、線線垂直的應(yīng)用，還考查線面角，學(xué)會使用建系的方法來解決立體幾何問題，將幾何問題代數(shù)化，化繁為簡，屬中檔題.20、見解析【答案解析】

選擇①或②或③，求出的值，然后利用等比數(shù)列的求和公式可得出關(guān)于的不等式，判斷不等式是否存在符合條件的正整數(shù)解，在有解的情況下，解出不等式，進而可得出結(jié)論.【題目詳解】選擇①：因為，所以，所以．令，即，，所以使得的正整數(shù)的最小值為；選擇②：因為，所以，．因為，所以不存在滿足條件的正整數(shù)；選擇③：因為，所以，所以．令，即，整理得．當(dāng)為偶數(shù)時，原不等式無解；當(dāng)為奇數(shù)時，原不等式等價于，所以使得的正整數(shù)的最小值為．【答案點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【答案解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值可判斷是否恒成立，可得實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，此時，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時，，則，此時，函數(shù)為增函數(shù).所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2），則，.①當(dāng)時，即當(dāng)時，，由，得，此時，函數(shù)為增函數(shù)；由，得，此時，函數(shù)為減函數(shù).則，不合乎題意；②當(dāng)時，即時，.不妨設(shè)，其中，令，則或.（i）當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時，，此時，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時，，此時，函數(shù)為增函數(shù).此時，而，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時，，所以，.，符合題意