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2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要2.如圖,點(diǎn)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),點(diǎn)F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),則()A.在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,存在EF//BC1B.在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,不存在B1M⊥AEC.四面體EMAC的體積為定值D.四面體FA1C1B的體積不為定值3.如圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C. D.4.已知函數(shù),,若對(duì),且,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點(diǎn),則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.6.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z等于()A. B. C. D.07.已知為等腰直角三角形,,,為所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,則()A. B. C. D.8.下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是()(其中,為無(wú)理數(shù))①;②;③.A.0 B.1 C.2 D.39.已知函數(shù),若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.10.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.1311.的展開(kāi)式中的系數(shù)為()A.5 B.10 C.20 D.3012.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)______________.14.已知是定義在上的偶函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為.若時(shí),,則不等式的解集是___________.15.已知兩個(gè)單位向量滿足,則向量與的夾角為_(kāi)____________.16.在中,點(diǎn)在邊上,且,設(shè),,則________(用,表示)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,四邊形中,,,,沿對(duì)角線將翻折成,使得.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)在如圖所示的多面體中,平面平面,四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形,四邊形為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且,,(1)若分別為,的中點(diǎn),求證:平面;(2)若,與平面所成角的正弦值,求二面角的余弦值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為;直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線l與曲線C分別交于M,N兩點(diǎn).(1)寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;(2)若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,,求的值.20.(12分)設(shè)數(shù)陣,其中、、、.設(shè),其中,且.定義變換為“對(duì)于數(shù)陣的每一行,若其中有或,則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以;若其中沒(méi)有且沒(méi)有,則這一行中所有數(shù)均保持不變”(、、、).表示“將經(jīng)過(guò)變換得到,再將經(jīng)過(guò)變換得到、,以此類推,最后將經(jīng)過(guò)變換得到”,記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為.(1)若,寫(xiě)出經(jīng)過(guò)變換后得到的數(shù)陣;(2)若,,求的值;(3)對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣,證明:的所有可能取值的和不超過(guò).21.(12分)在中,角所對(duì)的邊分別是,且.(1)求;(2)若,求.22.(10分)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在橢圓:上,該橢圓的左頂點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若橢圓外一點(diǎn)滿足,平行于軸,,動(dòng)點(diǎn)在直線上,滿足.設(shè)過(guò)點(diǎn)且垂直的直線,試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)寫(xiě)出該定點(diǎn),若不過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)說(shuō)明理由.
2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【答案解析】
利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價(jià)關(guān)系,即可得出?!绢}目詳解】設(shè)對(duì)應(yīng)的集合是,由解得且對(duì)應(yīng)的集合是,所以,故是的必要不充分條件,故選B?!敬鸢更c(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè),如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。2、C【答案解析】
采用逐一驗(yàn)證法,根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式,可得結(jié)果.【題目詳解】A錯(cuò)誤由平面,//而與平面相交,故可知與平面相交,所以不存在EF//BC1B錯(cuò)誤,如圖,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點(diǎn)到平面的距離,由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離,所以為定值,故四面體EMAC的體積為定值錯(cuò)誤由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離,所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選:C【答案點(diǎn)睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系,考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力,熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,中檔題.3、D【答案解析】
由半圓面積之比,可求出兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)度之比,從而可知,結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,即可求出,由二倍角公式即可求出.【題目詳解】解:由題意知,以為直徑的半圓面積,以為直徑的半圓面積,則,即.由,得,所以.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.4、D【答案解析】
先求出的值域,再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)值域,由方程有兩個(gè)根求參數(shù)范圍即可.【題目詳解】因?yàn)?,故,?dāng)時(shí),,故在區(qū)間上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,故在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),令,解得,故在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.又,且當(dāng)趨近于零時(shí),趨近于正無(wú)窮;對(duì)函數(shù),當(dāng)時(shí),;根據(jù)題意,對(duì),且,使得成立,只需,即可得,解得.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問(wèn)題,涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問(wèn)題,屬綜合困難題.5、C【答案解析】
由題可推斷出和都是直角三角形,設(shè)球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【題目詳解】先畫(huà)出圖形,由球心到各點(diǎn)距離相等可得,,故是直角三角形,設(shè),則有,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時(shí),故選:C【答案點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題6、B【答案解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則,即可求解.【題目詳解】.故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、D【答案解析】
以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算,可求得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得,由平面向量的數(shù)量積可得答案.【題目詳解】如圖建系,則,,,由,易得,則.故選:D【答案點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用、數(shù)量積的運(yùn)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.8、C【答案解析】
對(duì)于①中,根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的性質(zhì),可判定值正確的;對(duì)于②中,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),進(jìn)而得到,即可判定是錯(cuò)誤的;對(duì)于③中,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值為,進(jìn)而得到,即可判定是正確的.【題目詳解】由題意,對(duì)于①中,由,可得,根據(jù)不等式的性質(zhì),可得成立,所以是正確的;對(duì)于②中,設(shè)函數(shù),則,所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),因?yàn)椋瑒t又由,所以,即,所以②不正確;對(duì)于③中,設(shè)函數(shù),則,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,最大值為,所以,即,即,所以是正確的.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì),以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,其中解答中根據(jù)題意,合理構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.9、B【答案解析】
根據(jù)分段函數(shù),分當(dāng),,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問(wèn)題,用數(shù)形結(jié)合的方法研究.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,令,在是增函數(shù),時(shí),有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),,令當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),取得最大值,因?yàn)樵谏嫌?個(gè)零點(diǎn),所以當(dāng)時(shí),有2個(gè)零點(diǎn),如圖所示:所以實(shí)數(shù)的取值范圍為綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為,故選:B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力,屬于中檔題.10、D【答案解析】
根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【題目詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【答案點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11、C【答案解析】
由知,展開(kāi)式中項(xiàng)有兩項(xiàng),一項(xiàng)是中的項(xiàng),另一項(xiàng)是與中含x的項(xiàng)乘積構(gòu)成.【題目詳解】由已知,,因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為,所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)式定理展開(kāi)式中的特定項(xiàng),解決這類問(wèn)題要注意通項(xiàng)公式應(yīng)寫(xiě)準(zhǔn)確,本題是一道基礎(chǔ)題.12、C【答案解析】
作出三棱錐的實(shí)物圖,然后補(bǔ)成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€(gè)球,然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計(jì)算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【題目詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示:將其補(bǔ)成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【答案解析】
把按照二項(xiàng)式定理展開(kāi),可得的展開(kāi)式中的系數(shù).【題目詳解】解:,故它的展開(kāi)式中的系數(shù)為,故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析】
構(gòu)造,先利用定義判斷的奇偶性,再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為,結(jié)合奇偶性,單調(diào)性求解不等式即可.【題目詳解】令,則是上的偶函數(shù),,則在上遞減,于是在上遞增.由得,即,于是,則,解得.故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.15、【答案解析】
由得,即得解.【題目詳解】由題意可知,則.解得,所以,向量與的夾角為.故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算和夾角的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16、【答案解析】
結(jié)合圖形及向量的線性運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為用向量表示,即可得到結(jié)果.【題目詳解】在中,因?yàn)椋?,又因?yàn)?,所以.故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中向量的線性運(yùn)算,關(guān)鍵是利用已知向量為基底,將未知向量通過(guò)幾何條件向基底轉(zhuǎn)化.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)證明;(2)【答案解析】
(1)取的中點(diǎn),連.可證得,,于是可得平面,進(jìn)而可得結(jié)論成立.(2)運(yùn)用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值.【題目詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連.∵,∴.又,∴.在中,,∴.又,∴平面,又平面,∴.(2)解法1:取的中點(diǎn),連結(jié),∵,∴,又,∴.又由題意得為等邊三角形,∴,∵,∴平面.作,則有平面,∴就是直線與平面所成的角.設(shè),則,在等邊中,.又在中,,故.在中,由余弦定理得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.解法2:由題意可得,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則在直角三角形中,可得,作于,則有平面幾何知識(shí)可得,∴.又可得,.∴,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,得,令,則得.又,設(shè)直線與平面所成的角為,則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【答案點(diǎn)睛】利用向量法求解直線和平面所成角時(shí),關(guān)鍵點(diǎn)是恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系,確定斜線的方向向量和平面的法向量.解題時(shí)通過(guò)平面的法向量和直線的方向向量來(lái)求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角,取其余角就是斜線與平面所成的角.求解時(shí)注意向量的夾角與線面角間的關(guān)系.18、(1)見(jiàn)解析(2)【答案解析】試題分析:(1)第(1)問(wèn),轉(zhuǎn)化成證明平面,再轉(zhuǎn)化成證明和.(2)第(2)問(wèn),先利用幾何法找到與平面所成角,再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標(biāo)系,求出二面角的余弦值.試題解析:(1)連接,因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,所?因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,,所以平?又平面,所以.因?yàn)?,所?因?yàn)?,所以平?因?yàn)榉謩e為,的中點(diǎn),所以,所以平面(2)設(shè),由(1)得平面.由,,得,.過(guò)點(diǎn)作,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),取的中點(diǎn),連接,,如圖所示,又,所以為等邊三角形,所以,又平面平面,平面平面,平面,故平面.因?yàn)闉槠叫兴倪呅?,所以,所以平?又因?yàn)?,所以平?因?yàn)?,所以平面平?由(1),得平面,所以平面,所以.因?yàn)?,所以平面,所以是與平面所成角.因?yàn)?,,所以平面,平面,因?yàn)?,所以平面平?所以,,解得.在梯形中,易證,分別以,,的正方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,,,由,及,得,所以,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得令,得m=(3,1,2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得令,得.所以又因?yàn)槎娼鞘氢g角,所以二面角的余弦值是.19、(1),;(2)2.【答案解析】
(1)由得,求出曲線的直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù),即求直線的普通方程;(2)將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程,韋達(dá)定理得,點(diǎn)在直線上,則,即可求出的值.【題目詳解】(1)由可得,即,即,曲線的直角坐標(biāo)方程為,由直線的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去得,即直線的普通方程為.(Ⅱ)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,則點(diǎn)在直線上.將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程,整理得,直線與曲線交于兩點(diǎn),,即.設(shè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,由韋達(dá)定理可得,.點(diǎn)在直線上,,.【答案點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化及應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1);(2);(3)見(jiàn)解析.【答案解析】
(1)由,能求出經(jīng)過(guò)變換后得到的數(shù)陣;(2)由,,求出數(shù)陣經(jīng)過(guò)變化后的矩陣,進(jìn)而可求得的值;(3)分和兩種情況討論,推導(dǎo)出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和,由此能證明的所有可能取值的和不超過(guò).【題目詳解】(1),經(jīng)過(guò)變換后得到的數(shù)陣;(2)經(jīng)變換后得,故;(3)若,在的所有非空子集中,含有且不含的子集共個(gè),經(jīng)過(guò)變換后第一行均變?yōu)?、;含有且不含的子集共個(gè),經(jīng)過(guò)變換后第一行均變?yōu)?、;同時(shí)含有和的子集共個(gè),經(jīng)過(guò)變換后第一行仍為、;不含也不含的子集共個(gè),經(jīng)過(guò)變換后第一行仍為、.所以經(jīng)過(guò)變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.若,則的所有非空子集中,含有的子集共個(gè),經(jīng)過(guò)變換后第一行均變?yōu)?、;不含有的子集共個(gè),經(jīng)過(guò)變換后第一行仍為、.所以經(jīng)過(guò)變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.同理,經(jīng)過(guò)變換后所有的第二行的所有數(shù)的和為
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