2021年湖南省邵陽市朝陽中學高二數(shù)學理上學期期末試卷含解析

2021年湖南省邵陽市朝陽中學高二數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若圓與圓的公共弦長為，則的值為A.

B．

C．

D．無解參考答案：A略2.從長度為1，3，5，7，9五條線段中任取三條能構(gòu)成三角形的概率是(

)A、

B、

C、

D、參考答案：B3.已知實數(shù)a、b、c、d成等差數(shù)列,且曲線取得極大值的點坐標為(b,c),則等于（

）A.－1 B.0 C.1 D.2參考答案：B由題意得，，解得由于是等差數(shù)列，所以，選B.4.在同一坐標系中，方程與的曲線大致是（

）參考答案：C5.某班進行了一次數(shù)學測試，全班學生的成績都落在區(qū)間[50，100]內(nèi)，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，則該班學生這次數(shù)學測試成績的中位數(shù)的估計值為（

）A.81.5 B.82 C.81.25 D.82.5參考答案：C【分析】由中位數(shù)兩邊數(shù)據(jù)的頻率和均為0.5，列出方程計算可得答案.【詳解】解：因為，所以該班學生這次數(shù)學測試成績的中位數(shù)落在[80，90）之間。設(shè)中位數(shù)為x，因為，所以所求中位數(shù)為.【點睛】本題主要考查中位數(shù)的定義與性質(zhì)，其中中位數(shù)兩側(cè)的數(shù)據(jù)的頻率和相等，為0.5.6.，則

A． B． C． D．參考答案：A7.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則++…+=（

）A.12

B.10

C.8

D.

2+參考答案：B8.已知雙曲線的離心率為，則m=A.4 B.2 C. D.1參考答案：B【分析】根據(jù)離心率公式計算．【詳解】由題意，∴，解得．故選B．【點睛】本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線的標準方程，由方程確定．9.如右圖所示是某一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度隨時間變化的圖象可能是(

)參考答案：B略10.如圖所示，已知則下列等式中成立的是（

）

A．

B．C．

D．參考答案：A

由，即。

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示，墻上掛有一邊長為的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點為圓心，半徑為的圓弧，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣，則他擊中陰影部分的概率是

▲

．參考答案：略12.甲乙兩名選手進行一場羽毛球比賽，采用三局二勝制，先勝兩局者贏得比賽，比賽隨即結(jié)束，已知任一局甲勝的概率為p，若甲贏得比賽的概率為q，則q－p取得最大值時p=______參考答案：【分析】利用表示出，從而將表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導數(shù)求解出當時函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定最大值點.【詳解】甲贏得比賽的概率：，令，則，令，解得：當時，；當時，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減當時，取最大值，即取最大值本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是根據(jù)條件將表示為關(guān)于變量的函數(shù)，同時需要注意函數(shù)的定義域.13.不等式恒成立，則的最小值為

；參考答案：略14.正方體中，是中點，則與平面所成角的正弦為

參考答案：略15.設(shè)點A、F（c，0）分別是雙曲線的右頂點、右焦點，直線交該雙曲線的一條漸近線于點P．若△PAF是等腰三角形，則此雙曲線的離心率為．參考答案：2【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，可得△PAF是等腰三角形即有|PA|=|AF|．設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=x，可得A（a，0），P（，），運用兩點的距離公式，化簡整理，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，解方程即可得到所求值．【解答】解：顯然|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，所以由△PAF是等腰三角形得|PA|=|AF|．設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=x，可得A（a，0），P（，），可得=c﹣a，化簡為e2﹣e﹣2=0，解得e=2（﹣1舍去）．故答案為2．16.若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍為______.參考答案：17.直線m，n是兩異面直線，是兩平面，，甲：m∥，n∥，乙：∥，則甲是乙的

條件。參考答案：充要三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）設(shè)集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；（2）設(shè)點（a，b）是區(qū)域內(nèi)的隨機點，求y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．參考答案：【考點】等可能事件的概率．【專題】計算題．【分析】（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是3×5，滿足條件的事件是函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，寫出滿足條件的結(jié)果，得到概率．（2）本題是一個等可能事件的概率問題，根據(jù)第一問做出的函數(shù)是增函數(shù)，得到試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的區(qū)域和滿足條件的事件對應(yīng)的區(qū)域，做出面積，得到結(jié)果．【解答】解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，∵試驗發(fā)生包含的事件是3×5=15，函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1的圖象的對稱軸為，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，當且僅當a＞0且，即2b≤a若a=1則b=﹣1，若a=2則b=﹣1，1；若a=3則b=﹣1，1；∴事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5∴所求事件的概率為．（2）由（Ⅰ）知當且僅當2b≤a且a＞0時，函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)是間[1，+∞）上為增函數(shù)，依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形部分由得交點坐標為，∴所求事件的概率為．【點評】古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．19.（本題滿分12分）用長為18m的鋼條圍成一個長方體容器的框架，如果所制的容器的長與寬之比為2∶1，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．參考答案：高為1.5m時容器的容積最大，最大容積為3m3設(shè)長方體的寬為xm，則長為2xm，高為由解得

，………………3分

故長方體的容積為………………6分從而

V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)，

………………8分當0<x<1時，V′(x)>0；當

時，V′(x)<0，故在x＝1處V(x)取得極大值，并且這個極大值就是V(x)的最大值，從而最大體積為V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)

………10分此時容器的高為4.5－3＝1.5m.因此，容器高為1.5m時容器的容積最大，最大容積為3m3.………………12分20.已知p：1≤x＜3；q：x2﹣ax≤x﹣a；若￢p是￢q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：簡易邏輯．分析：分別求出關(guān)于p，q的x的范圍，根據(jù)p，q的關(guān)系，從而確定a的范圍．解答：解：p：1≤x＜3，q：x2﹣ax≤x﹣a?（x﹣1）（x﹣a）≤0，∵￢p?￢q，∴q?p，∴a≥1，∴q：1≤x≤a，∴實數(shù)a的范圍是：[1，3）．點評：本題考查了充分必要條件，考查了命題之間的關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．21.已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值；（3）在（1）的條件下，設(shè)，證明：．（參考數(shù)據(jù)：）參考答案：（1）單調(diào)增區(qū)間是，；（2）時，；時，==；時，==.（3）證明詳見解析.試題分析：（1）由可解得的單調(diào)增區(qū)間；（2），由此對進行分類討論，能求出的最小值；（3）令，從而得到，由此能證明結(jié)論.(1)當時，，或。函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(2)，當，單調(diào)遞增，當，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當，單調(diào)遞減，（3）令=—，，，單調(diào)遞減，，，∴

，==……=

（）點睛：導數(shù)法解決函數(shù)的單調(diào)性問題(1