穿針引線法巧解不等式

穿針引線法巧解不等式我們學(xué)過一元二次不等式，分式不等式以及高次不等式的多種解法。我在這針對(duì)每一種不等式要介紹一種更加簡易，快捷的方法。下面舉例說明：一、一元二次不等式例1.x2-2x-3＞0知識(shí)回顧：一元二次不等式，我們通常利用二次函數(shù)的圖像——拋物線數(shù)形結(jié)合來分析未知數(shù)x的取值范圍，這就涉及了拋物線的對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)以及根等諸多因素。對(duì)于普高學(xué)生，尤其是初中基礎(chǔ)稍差的學(xué)生，容易混淆。下面我介紹一種快捷的方式來對(duì)此問題加以解決。解析：首先對(duì)不等式借助十字相乘因式分解得(x+1)(x-3)＞0。我們知道(x+1)(x-3)=0的根為-1和3，分別在數(shù)軸上標(biāo)出根來，進(jìn)行穿針引線。在這我們可以定義數(shù)軸把平面分成三部分：①數(shù)軸上方＞0；②數(shù)軸下方<0；③數(shù)軸上=0。因?yàn)轭}目中要求“＞0”，所以我們?nèi)?shù)軸上方，用陰影表示。圖示如下：很容易，我們得出解集為｛x∣x<-1或x＞3｝。解題過程如下：解：x2-2x-3＞0因式分解得(x+1)(x-3)＞0∴不等式的解集為｛x∣x<-1或x＞3｝。評(píng)注：這種方法的前身還是數(shù)軸標(biāo)根和穿針引線的原理。應(yīng)用這種方法，有個(gè)前提條件是很關(guān)鍵的，那就是因式分解后，未知數(shù)x的系數(shù)必須都為正數(shù)。這種方法避免了由于初中知識(shí)（二次函數(shù)的圖像——拋物線）的漏洞導(dǎo)致無法求解的困難。此法對(duì)于普通高中學(xué)生更具簡捷化，對(duì)于重點(diǎn)高中的學(xué)生，增加了一種新穎的方法，這樣就使各個(gè)層面的學(xué)生都會(huì)靈活運(yùn)用。當(dāng)然此方法只在一元二次方程有兩個(gè)根時(shí)才適用，對(duì)于無根或只有一根時(shí)，這里不作研究。變式1：x2-2x-3≥0解：因式分解得(x+1)(x-3)≥0不等式的解集為｛x∣x≤-1或x≥3｝變式2：-x2+2x+3＞0解：不等式兩邊同時(shí)乘以-1得x2-2x-3<0；(x+1)(x-3)＞0不等式的解集為｛x∣-1<x<3｝評(píng)注：應(yīng)用“穿針引線”要注意它的應(yīng)用前提，那就是因式分解后，未知數(shù)x的系數(shù)必須都為正數(shù)。上面介紹了一元二次不等式的解法?？偠灾痪湓?，解一元二次不等式，先因式分解，再數(shù)軸標(biāo)根，穿針引線。但要注意一個(gè)前提，那就是因式分解后，未知數(shù)x的系數(shù)必須都為正數(shù)才可以。二、分時(shí)不等式下面我將重點(diǎn)介紹分時(shí)不等式的解法。首先展示課本介紹的方法：例2．解不等式解：這個(gè)不等式的解集是下面的不等式組（Ⅰ），（Ⅱ）的解集的并集：先解不等式組（Ⅰ）：解不等式①，得解集｛x∣x<1或x＞2｝解不等式②，得解集｛x∣-1<x<3｝因此，不等式組（Ⅰ）的解集是再解不等式組（Ⅱ）：解不等式③，得解集｛x∣1<x<2｝解不等式④，得解集｛x∣x<-1或x＞3｝因此，不等式組（Ⅱ）的解集是Φ。由此可知，原不等式的解集是｛x∣-1<x<1或2<x<3｝下面對(duì)比一下我的方法：例2．解不等式解：原不等式等價(jià)于（x2-3x+2）（x2-2x-3）<0因式分解得（x-1）（x-2）（x-3）（x+1）<0原不等式的解集是｛x∣-1<x<1或2<x<3｝評(píng)注：二者對(duì)比可看出后者有下面一些優(yōu)點(diǎn)：①免去了分情況討論帶來的繁瑣工作；②避免了交集，并集運(yùn)算的誤區(qū)；③篇幅短，減少運(yùn)算量，同時(shí)也節(jié)省了計(jì)算的時(shí)間；④容易理解，實(shí)用性高。總而言之一句話，方法簡捷，運(yùn)算量小，實(shí)用性高。變式1：解：原不等式等價(jià)于解得原不等式的解集是｛x∣-1<x≤1或2≤x<3｝評(píng)注：應(yīng)用此方法注意，當(dāng)分式不等式用或連接時(shí)，即包含“=”，需特別考慮分母不為0。而不含“=”，如上例3，則不用考慮?！嘣坏仁降慕饧牵鹸∣-2≤x<-1或1≤x<3｝三、高次不等式例3．（x+1）（x-3）（x-1）＞0解：（x+1）（x-3）（x-1）＞0穿針引線得∴原不等式的解集是｛x∣-1≤x<1或x＞3｝評(píng)注：高次不等式同樣可用穿針引線，但是要注意應(yīng)用穿針引線的前提條件，那就是不等式因式分解后，未知數(shù)x的系數(shù)必須都為正數(shù)。變式1.（x+1）（x-3）（x-1）≤0解：（x+1）（x-3）（x-1）≤0∴原不等式的解集是｛x∣x≤1或1≤x≤3｝變式2.（x+1）（x-3）（x-1）<0解：（x+1）（x-3）（x-1）<0兩邊同時(shí)乘以-1得（x+1）（x-3）（x-1）＞0∴原不等式的解集是｛x∣-1<x<1或x＞3｝評(píng)注：高次不等式同樣可用穿針引線，但是要注意應(yīng)用穿針引線的前提條件，那就是不等式因式分解后，未知數(shù)x的系數(shù)必須都為正數(shù)。變式3.x（x+1）（x-3）（x-1）≥0解：x（x+1）（x-3）（x-1）≥0∴原不等式的解集是｛x∣x≤--1或0≤x≤1或≥3｝例4.（3x+2）（2x-1）2（x-1）5（x-2）3<0解：（3x+2）（2x-1）2（x-1）5（x-2）3<0∴原不等式的解集是評(píng)注：本題考查的是穿針引線的規(guī)則：奇穿偶不穿。所謂的“奇穿偶不穿”中的“奇”，“偶”指的是因式分解后的每一個(gè)括號(hào)的次數(shù)，而不是根。變式1：（3x+2）（1-2x）2（x-1）5（2-x）3<0解：（3x+2）（1-2x）2（x-1）5（2-x）3<0兩邊同時(shí)乘以-1得（3x+2）（2x-1）2（x-1）5（x-2）3＞0原不等式的解集是評(píng)注：要注意應(yīng)用穿針引線的前提條件。變式2：（3x+2）（2x-1）2（x-1）5（x-2）3≥0解：（3x+2）（2x-1）2（x-1）5（x-