整理灰色預(yù)測法

精品文檔灰色預(yù)測理論在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用作者：胡金杭摘要:灰色系統(tǒng)理論在自動控制領(lǐng)域中已取得了廣泛的應(yīng)用，本文針對灰色預(yù)測理論的特點，分析了它在數(shù)學(xué)建模中的具體應(yīng)用。首先，本文對如何將實際問題轉(zhuǎn)化為灰色GM(1,1)預(yù)測模型給了具體的步驟，同時針對模型的特點，可以對其的預(yù)測精度進行后驗差檢驗，隨后，針對基本灰色GM(1,1)預(yù)測模型單調(diào)性的特點，我們可以采用改進的等維灰數(shù)遞補模型，這樣可以大大的提高模型對實際問題的預(yù)測精度。關(guān)鍵字：GM(1,1)預(yù)測模型后驗差檢驗等維灰數(shù)遞補模型引言現(xiàn)實中的很多實際問題，都需要通過分析現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，對該問題未來的發(fā)展趨勢進行預(yù)測，隨后決策者參考預(yù)測得到的結(jié)果，就可以制定合理的解決方案。在預(yù)測分析中，最基本的預(yù)測模型為線性回歸方程，針對一些規(guī)律性較強的數(shù)據(jù)，該模型能作出精確的預(yù)測，但在實際中，我們得到的常是一些離散的，規(guī)律性不強的數(shù)據(jù)，為解決此類問題，線性的方法就不適用了，此時，就需要采用灰色預(yù)測的方法。灰色預(yù)測理論是將看似離散的數(shù)據(jù)序列經(jīng)數(shù)據(jù)變換后形成有規(guī)律的生成數(shù)列(如累加生成、累減生成)，然后對生成數(shù)列建立微分方程，得到模型的計算值后，再與實測值比較獲得殘差，用殘差再對模型作修正，然后便可用建立的灰色模型對該問題進行預(yù)測。一、具體的灰色GM(1,1)預(yù)測模型的建立：我們設(shè)已知數(shù)據(jù)變量組成序列才四，則我們可得到數(shù)據(jù)序列加=留⑴,姆⑵，…加⑻，用加=留⑴,姆⑵，…加⑻，用1-AGO生成一階累加生成序列為:其中 (1-1)由于序列具有指數(shù)增長規(guī)律，而一階微分方程的解恰是指數(shù)增長形式的解，因此我們可以認為工⑴序列滿足下述一階線性微分方程模型精品文檔

精品文檔(1-2)精品文檔我們利用離散差分方程的形式對上微分方程可以得到下矩陣形式:(1-3)式中上述方程組中，工和B為已知量A為待定參數(shù)。可用最小二乘法得到最小二乘近(1-4)式中上述方程組中，工和B為已知量A為待定參數(shù)?？捎米钚《朔ǖ玫阶钚《私浦?。因此，式（1—4）可改寫為工二員4+衛(wèi)式中，E—誤差項。利用矩陣求導(dǎo)公式，可得(1-5)(1-5)解得結(jié)果足與6代入（2—2）中，我們可以得到(1-6)(1-6)寫成離散形式（令=x寫成離散形式（令=x⑼⑴）得到6乂（1,1）模型的時間響應(yīng)函數(shù)（K（K=1，2，…）(1-7)我們對其做累減還原，即可得到原始數(shù)列的灰色預(yù)測模型為:￡⑼肱+1)二鑼)肱+1)—鑼)3 ―1)(K=1,2，…)(1-8)將相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式中進行運算，我們得到系數(shù)/與我的具體值，即得到了具體的預(yù)測公式。、灰色模型精度的后驗差檢驗:精品文檔精品文檔對所建立的灰色預(yù)測模型，我們可以采用相應(yīng)的后驗差檢驗的方式進行預(yù)測數(shù)據(jù)的精度分析。首先算得知殘差平均值為w出」之卜叫幻-件團］超；-1 超；-1歷史數(shù)據(jù)方差為.=一)列工⑼的一寸2-1其中歷史數(shù)據(jù)平均值為還里產(chǎn)出旌i-1殘差方差為4=-EE付一W旌i-1后驗差比值為小誤差概率為P=F｛上出-fl<0,6745*正)最后，我們根據(jù)相關(guān)評判標準進行綜合評定預(yù)測模型的小誤差概率(P)和后驗差比值(C).根據(jù)文獻記載，我們一般可按下表五劃分精度等級［5］。預(yù)測精度>0350.9合格.800.8勉強.70不合格C<0.350.35：0.500.50：0.65>0.65我們從灰色預(yù)測模型公式中可以看出，它是一個典型的指數(shù)增長的模型，在進行預(yù)測時，最近一年的預(yù)測結(jié)果應(yīng)該是很精確的，但對后續(xù)幾年的預(yù)測誤差會逐漸增大，為了提高預(yù)測模型的廣泛適用性，我們做出了如下的改進。精品文檔精品文檔三、基于灰色預(yù)測的等維灰數(shù)遞補模型為了進一步提高模型的精度，在GM(1,1)灰色預(yù)測模型的基礎(chǔ)上還可以做進一步的改進，使得預(yù)測結(jié)果更加的精確。GM(1,1)模型中具有預(yù)測意義的數(shù)據(jù)僅僅是數(shù)據(jù)x(n)以后的前幾個數(shù)據(jù)，隨著時間的推移，老的數(shù)據(jù)越來越不適應(yīng)新的情況，也就是說，老數(shù)據(jù)的信息意義將隨時間的推移而降低。所以，要在原數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上每次增加一個新信息時，就去掉一個老信息。這種新數(shù)據(jù)補充、老數(shù)據(jù)除掉的數(shù)據(jù)列，由于其維數(shù)不變，因而叫等維信息數(shù)據(jù)列，或稱為新陳代謝數(shù)據(jù)列，相應(yīng)的模型叫等維灰數(shù)遞補模型，或叫新陳代謝模型。設(shè)原始數(shù)列為：x⑼二［x叫1)工⑼⑵ ⑻} x⑼5+T) 工⑼⑴I 」置入新信息工婢,去掉老信息工 ,可構(gòu)成新數(shù)列：工⑼十陰⑵一⑼⑶”以+可利用這一新數(shù)列建立的GM(1,1)模型,即為等維新息GM(1,1)模型。由于在實際中，信息處于不斷的變化之中，具有很大的隨機性，雖然歷史信息對預(yù)測時刻的具體值有一定的相關(guān)性和影響，但與預(yù)測時刻更接近的信息對于該時刻的預(yù)測結(jié)果更有價值。鑒于這種情況，可先用已知數(shù)列建立的GM(1,1)模型預(yù)測一個值，然后補充一個新信息數(shù)據(jù)到已知數(shù)列中，同時去掉最老的一個數(shù)據(jù)，使序列等維，接著再建立GM(1,1)模型，這樣逐個滾動預(yù)測，依次遞補,直到完成預(yù)測目標為止，通過此等維新息模型，我們再對具體問題進行預(yù)測，就可以得到更為精確的結(jié)果。結(jié)束語灰色預(yù)測模型能夠根據(jù)現(xiàn)有的少量信息進行計算和預(yù)測，因而在人口、生態(tài)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、工程技術(shù)、氣象、水文及減災(zāi)等許多部門得到了廣泛的應(yīng)用，本文只是對灰色預(yù)測理論在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用做了基本的介紹，在實際應(yīng)用中，它還有許多改進的理論，以及一些與其他理論結(jié)合使用的模型，如與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合的最優(yōu)組合灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型，與模糊數(shù)學(xué)結(jié)合的灰色預(yù)測模糊控制理論，在實際應(yīng)用中它們已取得了較好的效果?？傊疑A(yù)測理論在數(shù)學(xué)建模及其它領(lǐng)域?qū)l(fā)揮很好的作用。精品文檔精品文檔參考文獻[1]熊和金，徐華中，《灰色控制》，北京：國防工業(yè)出版社，2005.9。[2]劉思峰，郭天榜.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用.開封:河南大學(xué)出版社1991.灰色數(shù)學(xué)模型預(yù)測灰色預(yù)測法：統(tǒng)計學(xué)上是不是有一種預(yù)測方法叫灰色預(yù)測法比如預(yù)測地震等灰色預(yù)測是就灰色系統(tǒng)所做的預(yù)測。所謂灰色系統(tǒng)是介于白色系統(tǒng)和黑箱系統(tǒng)之間的過渡系統(tǒng)，其具體的含義是：如果某一系統(tǒng)的全部信息已知為白色系統(tǒng)，全部信息未知為黑箱系統(tǒng)，部分信息已知，部分信息未知，那么這一系統(tǒng)就是灰箱系統(tǒng)。一般地說，社會系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)都是灰色系統(tǒng)。例如物價系統(tǒng)，導(dǎo)致物價上漲的因素很多，但已知的卻不多，因此對物價這一灰色系統(tǒng)的預(yù)測可以用灰色預(yù)測方法?；疑到y(tǒng)理論認為對既含有已知信息又含有未知或非確定信息的系統(tǒng)進行預(yù)測，就是對在一定方位內(nèi)變化的、與時間有關(guān)的灰色過程的預(yù)測。盡管過程中所顯示的現(xiàn)象是隨機的、雜亂無章的，但畢竟是有序的、有界的，因此這一數(shù)據(jù)集合具備潛在的規(guī)律，灰色預(yù)測就是利用這種規(guī)律建立灰色模型對灰色系統(tǒng)進行預(yù)測?；疑A(yù)測一般有四種類型：1、數(shù)列預(yù)測；2、災(zāi)變預(yù)測；3、系統(tǒng)預(yù)測；4、拓撲預(yù)測。例：我手上有2001-2007年的實際數(shù)值：57.55、63.32、76.4、71.31、85.55、98.04、115.59,想通過灰色數(shù)學(xué)模型預(yù)測2008-2020年的預(yù)測值。精品文檔

精品文檔.令序列X0（k）={57.55、63.32、76.4、71.31、85.55、98.04、115.59）.通過一次累加得到X1（k）={57.55,57.55+63.32,57.55+63.32+76.4,.…57.55+63.32+……+115.59）.然后有矩陣BRZ1（2）,1;-Z1⑶,1;-Z1⑷,1;-Z1⑸,1;],Y=[X0（2）；X0（3）；X0（4）；X0（5）；]其中Z1（k）=0.5*（X1（k）+X1（k-1））;.待定系數(shù)矩陣[a;b]=inv（B'*B）*B'*Y,其中inv表示求逆，B'表示轉(zhuǎn)置.得至UX0（k+1）=（1-exp（a））*（X0（1）-b/a）*exp（-a*k）取k=7,8,……,19可得預(yù)測值以上只是計算過程，具體原理可以查閱相關(guān)論文。另外，可以考慮將X0(k)先做差分