講義-建筑數(shù)學(xué)05新第五講

先講一個(gè)故事：有3個(gè)人去投宿，一晚30元。三個(gè)人每人掏了10元湊夠30元交給了。后來(lái)

今天是

日，只要25元就夠了。拿出5元讓服務(wù)生退還給他們，服務(wù)生偷偷藏起了2元，把剩下的3元錢(qián)退給了那三個(gè)人，每人1元。這樣，一開(kāi)始每人掏了10元，現(xiàn)在又退回1元，也就是10－1

=

9，每人只花了9元錢(qián)，3個(gè)人，3

×

9

=

27

元

+服務(wù)生藏起的2元=29元，還有1元錢(qián)去了哪里？這就是“一元錢(qián)悖論”。其實(shí)，這不是真正數(shù)學(xué)上的悖論，只是使了個(gè)“障眼法”，擾亂你的思維。

后，每個(gè)人交了9元，3

×

9

=

27，

一共27元；收的房費(fèi)是25元，服務(wù)生私吞了2元，25+2=27。與前面的每人10元，交了30元沒(méi)有什么關(guān)系。再看一個(gè)悖論：“奧伯斯悖論”。它的主要思路是人們過(guò)去對(duì)于宇宙的幾個(gè)假設(shè)：宇宙是永恒的存在、宇宙是無(wú)限大的、宇宙中遍布很多恒星（自身能發(fā)光）。從這幾點(diǎn)出發(fā)就應(yīng)該會(huì)得出

的整個(gè)天空應(yīng)該是像恒星表面一樣明亮的，就算是晚上沒(méi)有

的時(shí)候也應(yīng)該是明亮的。因?yàn)槿绻钪嬲娴臒o(wú)限大，而且已經(jīng)存在了無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間，那么滿(mǎn)天的恒星都會(huì)有足夠的時(shí)間將它們的光傳來(lái)地球，而且

應(yīng)該看不見(jiàn)恒星之間有任何空隙，因?yàn)闊o(wú)論

向什么方向看，

都會(huì)看見(jiàn)一個(gè)或遠(yuǎn)或近的恒星，只要

的宇宙真正是無(wú)限大的話(huà)就必定會(huì)這樣。正如

在森林中不可能看見(jiàn)森林外面的世界一樣。因此，人們對(duì)于宇宙的三個(gè)認(rèn)知至少有一個(gè)是錯(cuò)的，否則夜晚不應(yīng)該是黑色的。20世紀(jì)中期

宇宙大

理論，認(rèn)為大

距今的時(shí)間是有限的，約137億年，宇宙的膨脹還在繼續(xù)。這就和宇宙是永恒和無(wú)限的假設(shè)相悖。這是一個(gè)觀察事實(shí)與理論假定間的

。這也不是數(shù)學(xué)上的悖論。第22條軍規(guī)約瑟夫·海勒1961年的黑色幽默小說(shuō)，該書(shū)的主人公為了逃避的任務(wù)而裝瘋，可是逃避的愿望本身又證明了他的神志清醒。“如果你能證明自己發(fā)瘋，那就說(shuō)明你沒(méi)瘋”。根據(jù)第二十二條軍規(guī)，只有患者才能獲準(zhǔn)免于飛行，但必須由本人提出申請(qǐng)，但你一旦提出申請(qǐng)，恰又證明了你是一個(gè)正常人。在當(dāng)代美語(yǔ)中，Catch-22已作為一個(gè)獨(dú)立的單詞，使用頻率極高，用來(lái)形容任何自相矛盾、不合邏輯的規(guī)定或條件所造成的無(wú)法擺脫的困境、難以逾越的，表示人們處于左右為難的境地，或者是一件事陷入了死循環(huán)，或者跌進(jìn)邏輯悖論的陷阱。上堂課提到的無(wú)窮旅館悖論：“有一個(gè)旅館，內(nèi)有無(wú)窮多個(gè)房間，每個(gè)房間住有一個(gè)客人。......來(lái)了一個(gè)無(wú)窮旅行團(tuán)，有無(wú)窮個(gè)客人。就讓一號(hào)房間的客人去二號(hào)房間，二號(hào)房間的客人去四號(hào)房間，三號(hào)去六號(hào)，四號(hào)去八號(hào).....這樣所有奇數(shù)號(hào)房間就空出來(lái)了，可以讓無(wú)窮個(gè)客人住下?！眳s是一個(gè)有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的悖論。把1、2、3、4、5、......稱(chēng)為自然數(shù)列，這是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，在古希臘就被研究。1870~1874

，康托爾研究無(wú)窮數(shù)列，把全體自然數(shù)看作一個(gè)集合，“把全體自然數(shù)組成的集合簡(jiǎn)稱(chēng)作自然數(shù)集，用字母N來(lái)表示。”他以一一對(duì)應(yīng)為原則，提出了集合等價(jià)的概念。兩個(gè)集合如果它們的元素間可以建立一一對(duì)應(yīng)可稱(chēng)為是等價(jià)的。他還引進(jìn)了“可列”概念，把凡是能和自然數(shù)列構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的任何一個(gè)集合都稱(chēng)為可列集合。這樣，全體偶數(shù)（或奇數(shù)）集合和全體自然數(shù)集合是等價(jià)的。這就是“無(wú)窮旅館悖論”的數(shù)學(xué)解釋?？低袪栕C明了全體有理數(shù)集合是可列集合。他還將一條直線(xiàn)上的點(diǎn)與整個(gè)平面的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，甚至可以將直線(xiàn)與整個(gè)n

中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。代數(shù)數(shù)和

數(shù)能夠滿(mǎn)足任意一個(gè)整系數(shù)代數(shù)方程：an

xn+a(n-1)

x

(n-1)+……+a1

x+a0=0（n為正整數(shù)，an≠0）的實(shí)數(shù)，稱(chēng)為“代數(shù)數(shù)”（algebraic

number）。有理數(shù)都是代數(shù)數(shù)，因?yàn)橛欣頂?shù)可以表示為分子分母都是整數(shù)的分?jǐn)?shù)，它滿(mǎn)足方程nx-m

=0（m，n為整數(shù)，n≠0），x=m/n

?？梢?jiàn)代數(shù)數(shù)集包含了有理數(shù)集。一些無(wú)理數(shù)也可以滿(mǎn)足上述方程，例如√2是無(wú)理數(shù)，滿(mǎn)足x2-2=0，所以代數(shù)數(shù)包括一些無(wú)理數(shù)。有些無(wú)理數(shù)不滿(mǎn)足上述方程，不是代數(shù)數(shù)。數(shù)（

transcendental

number）是實(shí)數(shù)中除“代數(shù)數(shù)”以外的數(shù)，亦即不能滿(mǎn)足上述整系數(shù)代數(shù)方程的數(shù)。顯然 數(shù)都是無(wú)理數(shù)。理論上證明 數(shù)的存在并不難，而且可知 數(shù)是大量的。但要構(gòu)造一個(gè)

數(shù)或論證某個(gè)數(shù)是 數(shù)就極為 ?，F(xiàn)今 量的數(shù)如兩個(gè)著名的例子性得到了證數(shù)的全體實(shí)：圓周率π=3.14159……自然對(duì)數(shù)的底e=2.71828……等的明。1874年康托爾證明了代數(shù)數(shù)集合是可列的，而包含了數(shù)集合是不可列的康托爾的理論，曾經(jīng)引起過(guò)的批評(píng)。然而前后經(jīng)歷二十余年，最終獲得了世界公認(rèn)。到二十世紀(jì)初集合論已得到數(shù)學(xué)家們的贊同。數(shù)學(xué)家們?yōu)橐磺袛?shù)學(xué)成果都可建立在集合論基礎(chǔ)上的前景而陶醉了。他們樂(lè)觀地認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā)，借助集合論的概念，便可以建造起整個(gè)數(shù)學(xué)的。在1900年第二次國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊可以說(shuō)絕對(duì)就曾興高采烈地宣布“……數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了。今天，的嚴(yán)格已經(jīng)達(dá)到了?！比欢@種自得的情緒并沒(méi)能持續(xù)多久。1902年羅素“羅素悖論”，使絕對(duì)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)陷入了自相

之中。這就是數(shù)學(xué)史上的“第三次數(shù)學(xué)

”?！傲_素悖論”的通俗說(shuō)法是“理發(fā)師悖論”：在薩維爾村，理發(fā)師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)?！庇腥藛?wèn)他：“你給不給自己理發(fā)？”理發(fā)師頓時(shí)無(wú)言以對(duì)。這是一個(gè)

推理：如果理發(fā)師不給自己理發(fā)，他就屬于招牌上的那一類(lèi)人，他應(yīng)該給自己理發(fā)。

反之，如果這個(gè)理發(fā)師給他自己理發(fā)，根據(jù)招牌所言，他只給村中不給自己理發(fā)的人理發(fā)，他不能給自己理發(fā)。類(lèi)似的悖論被一一提起和提出，其中著名的有：說(shuō)謊者悖論公元前六世紀(jì)古希臘就有了這個(gè)悖論，簡(jiǎn)單的描述是：一個(gè)人說(shuō)“我在說(shuō)謊”。如果他在說(shuō)謊，那么“我在說(shuō)謊”就是一個(gè)謊，因此他說(shuō)的是實(shí)話(huà)；但是如果這是實(shí)話(huà)，他又在說(shuō)謊。不可避免。國(guó)王的法律：一個(gè)國(guó)王制定了一條法律，他允許被處死的人在臨刑前說(shuō)一句話(huà)，如果說(shuō)的是真話(huà)，就得砍頭，如果說(shuō)的是假話(huà)，就被絞死。在國(guó)王看來(lái)，不管犯人說(shuō)了什么話(huà)，非真即假，他總得被處死。但是有一次，一個(gè)聰明的犯人說(shuō)：“我將要被絞死了”。這一下國(guó)王被難住了。如果將這個(gè)犯人絞死，那么他說(shuō)的是真話(huà)，根據(jù)規(guī)定，他將被砍頭。如果將這個(gè)犯人砍頭，那么這個(gè)犯人說(shuō)的是假話(huà)，他應(yīng)該被絞死。國(guó)王只得把這個(gè)犯人放了。鱷魚(yú)悖論：一個(gè)鱷魚(yú)偷了一個(gè)父親的兒子，它保證如果這個(gè)父親能猜出它要做什么，它就會(huì)將兒子還給父親他。那么，如果父親猜“鱷魚(yú)不會(huì)將兒子還給我

”，那會(huì)怎樣？如果鱷魚(yú)不還兒子，那么父親就猜對(duì)了，鱷魚(yú)違背了諾言。如果鱷魚(yú)將兒子還給他，那么父親就猜錯(cuò)了，鱷魚(yú)又違背了諾言。上帝萬(wàn)能悖論：有人聲稱(chēng)“上帝是萬(wàn)能的”，一個(gè)農(nóng)夫問(wèn)道：“上帝能不能造一塊他自己也舉不動(dòng)的石頭？”如果他不能創(chuàng)造這么一塊石頭，顯然他不是萬(wàn)能的。如果他創(chuàng)造了這么一塊石頭，他又舉不起來(lái)，他還不是萬(wàn)能的。悖論是自相 題。即如果承認(rèn)這個(gè)命題成立，就可推出它的否定命題成立；反之，如果承認(rèn)這個(gè)命題的否定命題成立，又可推出這個(gè)命題成立。一個(gè)自相

的邏輯循環(huán)。這

“矛與盾”的寓言中可以看到，如果我們單獨(dú)使用那個(gè)“攻無(wú)不克”的矛，或者單獨(dú)使用那個(gè)“堅(jiān)不可摧”的盾，都不會(huì)出現(xiàn)邏輯悖論的。但當(dāng)“矛”和“盾”放在一起

，就出現(xiàn)互為因果的循環(huán)圈：矛“攻無(wú)不克”為真，盾“堅(jiān)不可摧”就為假；反之，盾“堅(jiān)不可摧”為真，矛“攻無(wú)不克”就為假。這就導(dǎo)致“以子之矛、陷子之盾”的悖論。邏輯悖論的一個(gè)重要根源就是在推理和定義過(guò)程中存在著互為前提的循環(huán)圈。這些因果循環(huán)圈在某些特定條件下導(dǎo)致推理過(guò)程中出現(xiàn)“自指”。羅素早就，悖論的重要根源是定義的自指，即在定義一個(gè)東西時(shí)包含了這個(gè)東西自身。在國(guó)王法律悖論中，聰明的犯人在這里將條件和結(jié)果之間構(gòu)成了一個(gè)互為因果的循環(huán)。聰明的犯人構(gòu)造了這樣一個(gè)系統(tǒng)：如果結(jié)果為砍頭（結(jié)果A），則證實(shí)他講的話(huà)為假，就應(yīng)當(dāng)絞死（結(jié)果B），這樣又則證實(shí)他的話(huà)”我會(huì)被絞死“為真，按率應(yīng)該砍頭（結(jié)果A）……。這里出現(xiàn)悖論是由于存在著前提和結(jié)論之間的互為因果。也就是說(shuō)，本來(lái)某一個(gè)結(jié)論在邏輯上是依賴(lài)于某一個(gè)前提的，如果同時(shí)讓前提依賴(lài)于結(jié)果，那么就有可能導(dǎo)致悖論。古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，激發(fā)了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來(lái)許多思想家和者的注意力。解決悖論難題需要?jiǎng)?chuàng)造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來(lái)全新的觀念。三次數(shù)學(xué) 的解決推動(dòng)了數(shù)學(xué)發(fā)展。拉斯牛頓羅素“第一次數(shù)學(xué)

”發(fā)生在古希臘。當(dāng)時(shí)的

拉斯學(xué)派，提出“萬(wàn)物皆數(shù)也”，認(rèn)為世界是以整數(shù)和整數(shù)比構(gòu)成的。但該學(xué)派的希帕索斯（約公元前400年）發(fā)現(xiàn)等邊直角三角形斜邊長(zhǎng)與直角邊長(zhǎng)之比不能用整數(shù)比表示，這引起第一次數(shù)學(xué)

。為此，他的同伴把他拋進(jìn)大海。這個(gè)發(fā)現(xiàn)對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大的沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來(lái)表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來(lái)。整數(shù)的尊崇地位受到，于是幾何學(xué)開(kāi)始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。同時(shí)這也反映出，和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開(kāi)始由“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系，這是數(shù)學(xué)思想上一次，也是第一次數(shù)學(xué)的產(chǎn)物。古代，對(duì)于數(shù)的概念也是限于整數(shù)和整數(shù)比的分?jǐn)?shù)，這就是在音律求算上用“三分損益法”，即用1、2、3、4的整數(shù)比輾轉(zhuǎn)相乘，來(lái)把八度音（弦長(zhǎng)減半音調(diào)增高）分成12份，而始終不能做到“黃鐘還原”。近兩千年的存疑、爭(zhēng)論，直到

朱載堉

，按2開(kāi)12次方作為基本單位，以其1~12的冪次劃分。但是，盡管他把2開(kāi)12次方算到了25位數(shù)字，但他并沒(méi)有

這是一個(gè)“無(wú)理數(shù)”（無(wú)限不循環(huán)小數(shù)），實(shí)際上2開(kāi)2次方（開(kāi)平方）就已經(jīng)是無(wú)理牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分之后，微積分成為了解決各種科學(xué)和工程問(wèn)題的重要工具。但是牛頓和萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴(yán)格的。兩人的理論都建立在無(wú)窮小分析之上，但他們對(duì)無(wú)窮小量的理解與運(yùn)用卻是

的。微積分的基礎(chǔ)問(wèn)題受到一些人的

，其中最有名的是貝克萊主教在1734年的

。他指責(zé)牛頓，為計(jì)算比如說(shuō)

x2

的導(dǎo)數(shù)，先將

x取一個(gè)不為0的增量Δx

，由

(x

+

Δx)2

－

x2

，得到

2xΔx

+

(Δx)

2，后再被

Δx

除，得到

2x

+

Δx

，最后突然令Δx

=

0

，求得導(dǎo)數(shù)為

2x

。這是“依靠雙重錯(cuò)誤得到了不科學(xué)卻正確的結(jié)果”。因?yàn)闊o(wú)窮小量在牛頓的理論中一會(huì)兒說(shuō)是零，一會(huì)兒又說(shuō)不是零。因此，貝克萊嘲笑無(wú)窮小量是“已死量的

”。貝克萊抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。

數(shù)學(xué)史上把貝克萊的問(wèn)題稱(chēng)之為“貝克萊悖論”：無(wú)窮小量究竟是否為0？就無(wú)窮小量在當(dāng)時(shí)實(shí)際應(yīng)用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無(wú)疑是一個(gè)

。這一問(wèn)題的提出導(dǎo)致了“第二次數(shù)學(xué)

”的產(chǎn)生。十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的、直觀的、強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算，而不管基礎(chǔ)的可靠與否，其中特別是：沒(méi)有嚴(yán)格清晰的無(wú)窮小概念，對(duì)無(wú)窮大的概念也不清楚，符號(hào)使用的不嚴(yán)格性等等。到十九世紀(jì)二十年代，一些數(shù)學(xué)家開(kāi)始關(guān)注微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開(kāi)始，最終由維爾斯特拉斯、戴德金和康托爾完成，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個(gè)嚴(yán)格的基礎(chǔ)。波爾查諾給出了連續(xù)性的正確定義；柯西抓住了極限的概念，指出無(wú)窮小量和無(wú)窮大量都不是固定的量而是變量，并定義了導(dǎo)數(shù)和積分；狄里克萊給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。

在這些數(shù)學(xué)工作的基礎(chǔ)上，維爾斯特拉斯給出現(xiàn)在通用的ε-δ的極限、連續(xù)定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分等概念都嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上，從而克服了

和

。第二次數(shù)學(xué)

使數(shù)學(xué)更深入地探討數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，并進(jìn)而導(dǎo)致集合論的誕生。第三次數(shù)學(xué)

由羅素悖論引起。產(chǎn)生后，眾多數(shù)學(xué)家投入到解決無(wú)的工作中去。1908年，策梅羅提出公理集合論，后經(jīng)改進(jìn)形成的集合論公理系統(tǒng)。原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上，從而避免了悖論的出現(xiàn)。這就是集合論發(fā)展的第二個(gè)階段：公理化集合論。與此相對(duì)應(yīng)，在1908年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱(chēng)為樸素集合論。公理化集合論是對(duì)樸素集合論的嚴(yán)格處理。它保留了樸素集合論的有價(jià)值的成果并消除了其可能存在的悖論，因而較地解決了第三次數(shù)學(xué)。1931年歌德?tīng)枺↘urtGodel）提出了一個(gè)“不完全定理”，打破了十九世紀(jì)末數(shù)學(xué)家“所有的數(shù)學(xué)體系都可以由邏輯推導(dǎo)出來(lái)”的理想。這個(gè)定理：任何公設(shè)系統(tǒng)都不是完備的，其中必然存在著既不能被肯定也不能被否定題。從1874年到1884年，康托爾的一系列關(guān)于集合的文章，奠定了集合論的基礎(chǔ)。他對(duì)集合所下的定義是：把若干確定的、各別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來(lái)，看作一個(gè)整體，就是一個(gè)“集合”，其中各事物稱(chēng)為該集合的“元素”?！啊啊督ㄖW(xué)院2011年入學(xué)的新生”；》中用到的漢字”；“柯布西埃設(shè)計(jì)的建筑”；

“能被3整除的自然數(shù)”；“長(zhǎng)與寬之比是黃金比的長(zhǎng)方形”；……子集：如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則A

稱(chēng)作是B的子集，寫(xiě)作A

B。若A

是B

的子集，且A

不等于B，則A

稱(chēng)作是B

的真子集。集合的相等：如果集合A、B同時(shí)滿(mǎn)足A

B、B

A，則A=B。補(bǔ)集：設(shè)A

S，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱(chēng)為S的子集A的補(bǔ)集。全集：如果集合S包含所要研究的各個(gè)集合，這時(shí)S可以看做一個(gè)全集，全集通常記作U?？占翰缓魏卧氐募戏Q(chēng)為空集，記作Φ。并集：由所有屬于集合A或者屬于B的元素構(gòu)成的集合，稱(chēng)為A與B的并集，記作A∪B。交集：由所有屬于集合A且屬于B的元素構(gòu)成的集合，稱(chēng)為A與B的交集，記作A∩B。有限集：含有有限個(gè)元素的集合稱(chēng)為有限集。無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合稱(chēng)為無(wú)限集。集合的常用表示方法：列舉法、描述法、圖示法（Venn圖）。并集交集差集復(fù)合運(yùn)算上面的結(jié)果也可以由（A∪B）－（A∩B）得到推理所有的A都是B；（所有的狗都是哺乳動(dòng)物）所有的B都是C；（所有的哺乳動(dòng)物都有毛）（所有的住宅是房子）（所有的房子有屋頂）所以，所有的A都是C（所以，所有的狗都有毛）

（所以，所有的住宅有屋頂）有毛住宅建筑房子用“維恩（Venn）圖”表示但是，下列推理對(duì)嗎？

所有的狗都是哺乳動(dòng)物所有的貓都是哺乳動(dòng)物所以，所有的狗都是貓這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，狗不是貓。所有的住宅是房子,所有的

建筑是房子,所以，所有的住宅是

建筑,這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，但有的住宅是建筑?！鞍遵R非馬”公孫龍騎馬過(guò)關(guān)，把關(guān)的兵士對(duì)他說(shuō)：“法令規(guī)定馬不許過(guò)?！惫珜O龍回答說(shuō)：“我騎的是白馬，白馬不是馬?！瘪T友蘭對(duì)“白馬非馬”進(jìn)行了三點(diǎn)論證：一是強(qiáng)調(diào)“馬”、“白”、“白馬”的內(nèi)涵不同?！榜R”的內(nèi)涵是一種動(dòng)物，“白”的內(nèi)涵是一種顏色，“白馬”的內(nèi)涵是一種動(dòng)物加一種顏色。三者內(nèi)涵各不相同，所以“白馬非馬”。二是強(qiáng)調(diào)“馬”、“白馬”的外延的不同?！榜R”的外延包括一切馬，不管其顏色的區(qū)別；“白馬”的外延只包括白馬，有顏別。外延不同，所以“白馬非馬”。，三是強(qiáng)調(diào)“馬”這個(gè)共相與“白馬”這個(gè)共相的不同。馬的共相馬的本質(zhì)屬性，它不包含顏色，僅只是“馬作為馬”。共性不同，“馬作為馬”與“白馬作為白馬”不同，所以“白馬非馬”。從集合的概念來(lái)講，“白馬”可以是“馬”的一個(gè)子集，它具有定義“馬”這個(gè)集合的動(dòng)物分類(lèi)學(xué)的特征，這時(shí)，白馬是馬。但“白馬”也可以看成“馬”與“白”的交集，這與其他顏色的馬不同，有其特殊性，“白馬非馬”。分類(lèi)把事物按一定的特性和構(gòu)成因素進(jìn)行分類(lèi)——構(gòu)成不同層次的集合。定義“住宅”（集合）——用于家庭居住生活的建筑。它有三個(gè)要素，一是物質(zhì)屬性：建筑；二是使用對(duì)象：家庭；三是服務(wù)功能：居住生活。

可以以這三個(gè)要素的特征進(jìn)行分類(lèi)，得到各類(lèi)住宅（子集合）。按建筑屬性分類(lèi)：按建筑形式分： 住宅、多層住宅、獨(dú)立式住宅、聯(lián)排式住宅……

按結(jié)構(gòu)材料分：木結(jié)構(gòu)住宅、磚混結(jié)構(gòu)住宅、鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)住宅……按家庭結(jié)構(gòu)分類(lèi)：老年住宅、青年公寓、普通住宅（ 家庭—一對(duì)夫婦及其未婚

）……按家庭生活分類(lèi)：按生活方式分：城市住宅、公寓住宅、別墅、農(nóng)村住宅……按房間構(gòu)成分：一室一廳一衛(wèi)、兩室一廳一衛(wèi)、三室兩廳兩衛(wèi)……一個(gè)層次的子集合的元素，又可以分成下一個(gè)層次的子集合。例如， 住宅又可分成塔式和板式 住宅。按某種特征因素分類(lèi)的各個(gè)子集合應(yīng)該是獨(dú)立的，之間沒(méi)有交集；但按不同因素分類(lèi)的子集合之間會(huì)有交集，例如： 普通城市住宅三勒·柯布西埃昌迪加爾市議會(huì)

1951~1957粗野主義建筑風(fēng)格形式分類(lèi)——XX主義粗野主義斯通駐大使館

1958典雅主義謝爾登藝術(shù)紀(jì)念館麥格拉格紀(jì)念會(huì)議中心林肯中心解構(gòu)主義·艾森曼俄亥俄Wexner視覺(jué)藝術(shù)中心1989李勃斯金德國(guó)柏林猶太博物館1995克·蓋里畢爾巴鄂古根漢姆博物館1997布拉格Dancing

House

1996慕尼黑BMW中心2003簡(jiǎn)約主義赫爾佐格和德默隆慕尼黑Goetz

美術(shù)館1992圣弗朗西斯科狄揚(yáng)博物館

2005多米那斯釀酒廠1998簡(jiǎn)約主義氣候分區(qū)第三講涉及氣候與建筑，提到氣候的時(shí)空特征有：地理空間變化的地域性，即不同的地區(qū)氣候不同。全球氣候分區(qū)

Climatic

Zones熱帶草原氣候稀樹(shù)草原氣候地中海氣候極地氣候山地氣候海洋性西海岸氣候帶氣候沙漠氣候寒帶針葉林氣候大陸性氣候熱帶雨林氣候中國(guó)氣候分區(qū)(采暖分區(qū)）東北嚴(yán)寒區(qū)、華北寒冷區(qū)、華中夏熱冬冷區(qū)、華南炎熱區(qū)、云貴溫和區(qū)、青藏高寒區(qū)、西北干寒區(qū)聚類(lèi)分析(cluster

ysis)

“物以類(lèi)聚，人以群分”將物理的或抽象的多個(gè)對(duì)象（集合），分組成相對(duì)同質(zhì)的群組（子集合）的過(guò)程。聚類(lèi)分析與分類(lèi)的不同在于，聚類(lèi)分析所要求劃分的類(lèi)是未知的。是通過(guò)它們的特征因子的差異性和相近性進(jìn)行群組的劃分。聚類(lèi)分析的步驟：定義問(wèn)題與選擇分類(lèi)的特征因子——聚類(lèi)方法——確定群組數(shù)目——聚類(lèi)結(jié)果評(píng)估——結(jié)果的描述、解釋。例如：對(duì)于城市，可以用“城市人口”和“人均GDP”兩個(gè)特征因子來(lái)劃分類(lèi)型（聚類(lèi)），在人口為橫坐標(biāo)，人均GDP為縱坐標(biāo)的二維平面上，把各個(gè)城市標(biāo)記上去，畫(huà)成一個(gè)小圓圈?？梢灾庇^的把“靠得近”的“聚在一起”的作為一個(gè)群。兩個(gè)因子都高的（聚在右上角）的是“經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的大城市”，聚在中間的是“經(jīng)濟(jì)發(fā)展一般的中等城市，等等。如果再增加一個(gè)特征因子：?jiǎn)挝籊DP能源消耗，那就要在三中去聚類(lèi)?？梢苑治龀龈鞒鞘械漠a(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，是單位GDP能源消耗少的服務(wù)業(yè)（包括金融、投資、商業(yè)等）和高科技產(chǎn)業(yè)，還是制造業(yè)、礦業(yè)；還可以再增加特征因子，如GDP增長(zhǎng)速度，分析各城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展的勢(shì)頭；還有人口增長(zhǎng)速度，分析進(jìn)程和城市擴(kuò)張，等等。這時(shí)，聚類(lèi)分析是在多因子的高

中進(jìn)行。需要采用數(shù)學(xué)方法——聚類(lèi)分析。全球夜間照明亮度分布Three

sequences

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130in

the

Database.聚類(lèi)分析首先是“定義問(wèn)題與選擇分類(lèi)的特征因子”。定義問(wèn)題，一是對(duì)象，分類(lèi)的對(duì)象，一是目的，分類(lèi)是為了什么。選擇特征因子，表面看起來(lái)只要圍繞“對(duì)象”和“目的”，列舉有關(guān)的因素，對(duì)于一個(gè)相關(guān)的專(zhuān)業(yè)

并不難，但有一個(gè)

問(wèn)題卻常常被專(zhuān)業(yè)人士忽視，就是這些因子之間的相關(guān)性。上面城市分類(lèi)的例子，選了人口和人均GDP，沒(méi)有選GDP總量，這是因?yàn)镚DP總量是和人口數(shù)是相關(guān)的。而人均GDP與人口數(shù)(城市有了一定規(guī)模）是獨(dú)立的因子。大約20年前，一位的教授在建筑學(xué)院做講座，講類(lèi)型，例舉了近20個(gè)因素，涵蓋面很寬，“面面俱到”。然后進(jìn)行分析和分類(lèi)，沒(méi)用數(shù)學(xué)工具，只是專(zhuān)業(yè)性的定性描述。他講完后，開(kāi)始。我就說(shuō)，您這么多因素，它們之間的相關(guān)性如何？我看許多因素有較強(qiáng)的相關(guān)，有的是正相關(guān)，我大你也大，有的是負(fù)相關(guān)，我大你就小。選擇的各個(gè)因素應(yīng)該盡量是相互獨(dú)立的，數(shù)量就可以減少。還有，各個(gè)因素的重要性也不一樣，不能平均對(duì)待，各自應(yīng)有不同的權(quán)重。分類(lèi)可以借助數(shù)學(xué)工具：多因子分析和聚類(lèi)分析。“因子分析（FA）”于1931年由Thurstone提出。FA用少數(shù)幾個(gè)因子來(lái)描述多個(gè)變量之間的關(guān)系，相關(guān)性較高的變量歸于同一個(gè)因子；FA利用潛在變量或本質(zhì)因子（基本特征）去解釋可觀測(cè)的變量（事物）。歸納“天鵝皆白”，是這一個(gè)一般民眾普遍認(rèn)同的結(jié)論（定律）。這個(gè)結(jié)論怎么得來(lái)的？是大量的實(shí)例觀察，許許多多人看到許許多多的天鵝是白的，歸納得出的。這個(gè)結(jié)論（定律）能證明嗎？1920年代尼科德（Nicod）提出，考慮一個(gè)定律：所有的A都是B（所有的天鵝都是白的），觀察事實(shí)怎樣影響它的成立呢？如果觀察事實(shí)是許多既是A（天鵝）又是B（白色）的實(shí)例組成，它就有利于這個(gè)定律。反之只要有一個(gè)實(shí)例，雖然是A（天鵝），但不是B（白色），而是非B（黑色），這個(gè)定律就被否定。前面的事實(shí)是“確證”，后面的實(shí)例是“反證

”，確證需要大量實(shí)例，才能歸納，但還是不能完全證明，只能被普遍認(rèn)可，而反證只要一個(gè)，足以

定律?？梢钥闯觯ㄟ^(guò)實(shí)例觀察，進(jìn)行歸納，有

因素、經(jīng)驗(yàn)因素在內(nèi)，按唯物主義哲學(xué)觀，不甚“科學(xué)”。而且實(shí)例觀察不僅取決于實(shí)例多少和觀察人數(shù)，還與空間分布有關(guān)。100個(gè)人看到1個(gè)湖上1000只天鵝是白的，對(duì)“天鵝皆白”結(jié)論的支持，不如100個(gè)人在10個(gè)國(guó)家的湖上看到

100個(gè)天鵝是白的對(duì)結(jié)論的支持更有力。還有，盡管少量的反證存在，有黑的天鵝，但“天鵝皆白”似乎還是得到廣大民眾的認(rèn)可，這已經(jīng)是社會(huì)因素了。1945年，亨佩爾（Hempel）提出，能否從既不是A（天鵝），非A，又不是

B（白色），非B，來(lái)確證A就是B（天鵝是白的）呢？看起來(lái)這種想法很是荒謬。難道你看到許許多多不是天鵝的東西都不是白色：綠樹(shù)、藍(lán)天、紅衣服、花斑鳩、黑烏鴉……，就可以得出天鵝是白的結(jié)論？不可能！這是

。但是，就一定可靠嗎？真的不能從非A和非B中歸納出A就是B嗎？馮·

萊特設(shè)計(jì)了一個(gè)場(chǎng)景：在一個(gè)大罐子里，放了許多的球和立方體，有黑、白兩種顏色。從罐子里隨機(jī)摸出一個(gè)，或是球，或是方塊，不再放回。摸了許多次以后，發(fā)現(xiàn)摸出的球，有黑有白，而摸出的方塊全是白的。于是下一個(gè)結(jié)論：罐中所有的方塊（A）都是白的（B）。為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，繼續(xù)摸。如果摸著摸著，摸出一個(gè)黑方塊，是A但不是B，于是結(jié)論被

。如果繼續(xù)摸，依然是，凡球就有黑有白，凡方塊就是白。這時(shí)會(huì)想，既然球有黑有白，要說(shuō)方也該有黑，然而面對(duì)摸出的黑球越來(lái)越多，就會(huì)轉(zhuǎn)而認(rèn)為原來(lái)罐子里只有黑球，沒(méi)有黑方。這就由非