2017-2018學(xué)年全國(guó)高中聯(lián)合競(jìng)賽加試(B卷)數(shù)學(xué)試題

2017-2018學(xué)年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試（B卷）一、（本題滿分40分）設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,令d=max{a|,|b|,|c|}，證明：|（1+a）（l+b）（l+c）'1—d2二、（本題滿分40分）給定正整數(shù)m，證明：存在正整數(shù)k，使得可將正整數(shù)集N分拆為k個(gè)互不相交的子集+A,A,,A，每個(gè)子集A中均不存在4個(gè)數(shù)a,b,c,d（可以相同），滿足ab-cd=m.l2ki三、（本題滿分50分）如圖，點(diǎn)D是銳角AABC的外接圓?上弧BC的中點(diǎn)，直線DA與圓?過點(diǎn)B,C的切線分別相交于點(diǎn)P,Q，BQ與AC的交點(diǎn)為X，CP與AB的交點(diǎn)為Y，BQ與CP的交點(diǎn)為T，求證：AT平分線段XY.四、(本題滿分50分)設(shè)a,a,,ag{1,2,,5}，b,b,,bg{1,2,,10}，集合l220l220X={(i,j)|1<i<j<20,(a-a)(b?-b)v0}，求X的元素個(gè)數(shù)的最大值.ijij試卷答案證明：當(dāng)d>1時(shí)，不等式顯然成立以下設(shè)0<d<1，不妨設(shè)a,b不異號(hào)，即ab>0,那么有(1+a)(1+b)=1+a+b+ab>1+a+b=1—c>1—d>0因此|(1+a)(1+b)(1+c)|>|(1-c)(1+c)|=1-c2=1-|c|2>1-d2二、,m+1證明：取k=m+1，令A(yù)={xx三i(modm+1),xeN}，,m+1i設(shè)a,b,c,deA，貝yab一cd三i?i一i?i=0(modm+1)，=m=m故m+1|ab—cd，而m+1|m，所以在A中不存在4個(gè)數(shù)a,b,c,d，滿足ab-cdi三、AXAYTOC\o"1-5"\h\z證明：首先證明YX//BC，即證=XCYBSSS連接BD,CD，因?yàn)锳ACQ?AABC=aacq，SSSAABCAABPAABPAC?CQsinZACQ1AC?BCsinZACB1AC?AQsinZCAQ所以4?4=嶺一-AB?BCsinZABC-AB?BPsinZABP-AB?APsinZBAP22由題設(shè)，BP,CQ是圓①的切線，所以ZACQ=ZABC，ZACB=ZABP，又ZCAQ=ZDBC=ZDCB=ZBAP(注意D是弧BC的中點(diǎn))，于是由①知AB?AQ=CQ②AC?APBP因?yàn)閆CAQ=ZBAP，所以ZBAQ=ZCAP，S于是才A購(gòu)SS于是才A購(gòu)SAACP1AB?AQsinZBAQ2AC-APsinzcapAB?AQAC?APS1BC?CQsinZBCQcqWABCQ=2=_QS1BpSABCPBC?BPsinZCBPBPS入S入CBQSABCP由②，③，④得疋沁SAACPSS即AABQ=AACPSSACBQABCPSAABQ乂SAABQ乂SACBQAXAY故=—XCYBAXSAACPSABCPAYys設(shè)邊BC的中點(diǎn)為M，因?yàn)锳X?CMBYXCMBYA所以由塞瓦定理知，AM所以由塞瓦定理知，AM,BX,CY三線共點(diǎn)，交點(diǎn)即為T,故由YX//BC可得AT平分線段XY四、解：考慮一組滿足條件的正整數(shù)(勺—a解：考慮一組滿足條件的正整數(shù)(勺—a20,b1,b2,,b20)對(duì)k=1,2,,5，設(shè)a,,a中取值為'k的數(shù)有t個(gè),??根據(jù)X的定義，當(dāng)a=a時(shí),TOC\o"1-5"\h\z120kij(i，力申X'…因此至少有為C2個(gè)(i,j)不在X中，注意到另tk=20，則柯西不等式’我k=1k=1工C2=1?(工12-工t)>1?(丄(工t)2-工t)=1?20?(空-1)=30

2kk25kk25k=1k=1k=1k=1從而x的元素個(gè)數(shù)不超過C2-30=190-30=16020另一方面，取a=a=a=a=k(k=1,2,,5),b=6-a(i=1,2,,20),4k-34k-24k-14kii則對(duì)任意i,j(1<i<j<20),有(a-a)(b-b)=(a-a)((6-a)-(6-a))=-(a-