2022年上海市十三校數(shù)學高三第一學期期末檢測模擬試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，其中a，b是實數(shù)，則（）A．1 B．2 C． D．2．已知集合，，則（）A． B．C．或 D．3．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝()．A． B． C． D．54．某中學2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍，為了更好地對比該?？忌纳龑W情況，統(tǒng)計了該校2016年和2019年的高考情況，得到如圖柱狀圖：則下列結(jié)論正確的是（）.A．與2016年相比，2019年不上線的人數(shù)有所增加B．與2016年相比，2019年一本達線人數(shù)減少C．與2016年相比，2019年二本達線人數(shù)增加了0.3倍D．2016年與2019年藝體達線人數(shù)相同5．定義在R上的函數(shù)滿足，為的導函數(shù)，已知的圖象如圖所示，若兩個正數(shù)滿足，的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，，若對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．57．復數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則的虛部為（）A． B． C． D．8．記個兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間，設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（）A．2階區(qū)間 B．3階區(qū)間 C．4階區(qū)間 D．5階區(qū)間9．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．10．如圖，在中，，是上的一點，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．11．一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何體的表面積是（）A．B．C．D．12．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是_____.14．雙曲線的焦距為__________，漸近線方程為________．15．對于任意的正數(shù)，不等式恒成立，則的最大值為_____.16．已知內(nèi)角，，的對邊分別為，，．，，則_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）在以ABCDEF為頂點的五面體中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，點G為CD中點，平面EAD⊥平面ABCD.（1）證明：BD⊥EG；（2）若三棱錐，求菱形ABCD的邊長.19．（12分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；(2)若直線與曲線，的交點分別為、（、異于原點），當斜率時，求的最小值.20．（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當時，證明：對；（2）若函數(shù)在上存在極值，求實數(shù)的取值范圍。21．（12分）在中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，求邊上的高.22．（10分）某景點上山共有級臺階，寓意長長久久．甲上臺階時，可以一步走一個臺階，也可以一步走兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為，每步上兩個臺階的概率為．為了簡便描述問題，我們約定，甲從級臺階開始向上走，一步走一個臺階記分，一步走兩個臺階記分，記甲登上第個臺階的概率為，其中，且．（1）若甲走步時所得分數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求甲在登山過程中，恰好登上第級臺階的概率．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)復數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復數(shù)模的計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【點睛】本題考查復數(shù)模的計算，考驗計算，屬基礎(chǔ)題.2、D【解析】

首先求出集合，再根據(jù)補集的定義計算可得；【詳解】解：∵，解得∴，∴.故選：D【點睛】本題考查補集的概念及運算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，選C考點：復數(shù)的代數(shù)運算，復數(shù)相等的充要條件，復數(shù)的模4、A【解析】

設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x，則2019年高考人數(shù)為，通過簡單的計算逐一驗證選項A、B、C、D.【詳解】設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x，則2019年高考人數(shù)為，2016年高考不上線人數(shù)為，2019年不上線人數(shù)為，故A正確；2016年高考一本人數(shù)，2019年高考一本人數(shù)，故B錯誤；2019年二本達線人數(shù)，2016年二本達線人數(shù)，增加了倍，故C錯誤；2016年藝體達線人數(shù)，2019年藝體達線人數(shù)，故D錯誤.故選：A.【點睛】本題考查柱狀圖的應(yīng)用，考查學生識圖的能力，是一道較為簡單的統(tǒng)計類的題目.5、C【解析】

先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍，再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，故由可知.故，又有，綜上得的取值范圍是.故選：C【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識，屬于中檔題.6、A【解析】

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為，對于恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，然后求出的范圍，進一步得到的最大值.【詳解】，，對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，易得，即恒成立，，對于恒成立,設(shè)，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.,將代入得：，，且，故選：A【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.7、C【解析】

，分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎(chǔ)題.8、D【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，先討論當且時的導數(shù)情況，再畫出函數(shù)大致圖形，將所求區(qū)間端點值分別看作對應(yīng)常函數(shù)，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當且時，.令得.可得和的變化情況如下表：令，則原不等式變?yōu)椋蓤D像知的解集為，再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區(qū)間.故選：D【點睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求解對應(yīng)自變量范圍，導數(shù)法研究函數(shù)增減性，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題9、C【解析】

求出集合的等價條件,利用交集的定義進行求解即可.【詳解】解：∵,,∴,故選：C.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

變形為，由得，轉(zhuǎn)化在中，利用三點共線可得.【詳解】解：依題：，又三點共線，，解得．故選：．【點睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數(shù).思路是(1)先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.(2)直線的向量式參數(shù)方程：三點共線?(為平面內(nèi)任一點,)11、D【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為,故選D．12、D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個三棱錐和一個三棱柱構(gòu)成，利用錐體和柱體的體積公式計算出體積并相加求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成，該多面體體積為.故選D.【點睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查柱體和錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

對函數(shù)零點問題等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)討論交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由題：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點，，等價于函數(shù)恰有兩個公共點，作出大致圖象：要有兩個交點，即，所以.故答案為：【點睛】此題考查函數(shù)零點問題，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于對函數(shù)零點問題恰當變形，等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合求解.14、6【解析】由題得所以焦距,故第一個空填6.由題得漸近線方程為.故第二個空填.15、【解析】

根據(jù)均為正數(shù)，等價于恒成立，令，轉(zhuǎn)化為恒成立，利用基本不等式求解最值.【詳解】由題均為正數(shù)，不等式恒成立，等價于恒成立，令則，當且僅當即時取得等號，故的最大值為.故答案為：【點睛】此題考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于合理進行等價變形，此題可以構(gòu)造二次函數(shù)求解，也可利用基本不等式求解.16、【解析】

利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.【詳解】由正弦定理得，，．故答案為：.【點睛】本題考查了正弦定理求角，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）求導得到，討論和兩種情況，計算函數(shù)的單調(diào)性，得到，再討論，，三種情況，計算得到答案.（2）計算得到，討論，兩種情況，分別計算單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到答案.【詳解】（1），①當時恒成立，所以單調(diào)遞增，因為，所以有唯一零點，即符合題意；②當時，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)。（i）當即,所以符合題意，（ii）當即時，因為，故存在,所以不符題意（iii）當時，因為，設(shè)，所以,單調(diào)遞增，即，故存在，使得，不符題意；綜上，的取值范圍為。（2）。①當時，恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，即符合題意；②當時，恒成立，所以單調(diào)遞增，又因為，所以存在，使得，且當時，。即在上單調(diào)遞減，所以，不符題意。綜上，的取值范圍為.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，恒成立問題，意在考查學生的分類討論能力和綜合應(yīng)用能力.18、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）取中點，連，可得，結(jié)合平面EAD⊥平面ABCD，可證平面ABCD，進而有，再由底面是菱形可得，可得，可證得平面，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)底面邊長為，由EFAB，AB＝2EF，，求出體積，建立的方程，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）取中點，連，底面ABCD為菱形，，，平面EAD⊥平面ABCD，平面平面平面，平面平面，底面ABCD為菱形，，為中點，，平面，平面平面，；（2）設(shè)菱形ABCD的邊長為，則，，，，，所以菱形ABCD的邊長為.【點睛】本題考查線線垂直的證明和椎體的體積，注意空間中垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化，體積問題要熟練應(yīng)用等體積方法，屬于中檔題.19、（1）的極坐標方程為；曲線的直角坐標方程.（2）【解析】

(1)消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標方程，再利用極坐標與直角坐標的互化，即可求解.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標方程，求得，再把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：設(shè)直線的極坐標方程為，分別代入曲線，的極坐標方程，得，，得出，即可基本不等式，即可求解.【詳解】(1)由題曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標方程為，即，則曲線的極坐標方程為，即，又因為曲線的極坐標方程為，即，根據(jù)，代入即可求解曲線的直角坐標方程.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標方程得：，解得，，，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標方程得：，解得，，，，，即，，，，當且僅當，即時取等號，故的最小值為.解法2：設(shè)直線的極坐標方程為），代入曲線的極坐標方程，得，，把直線的參數(shù)方程代入曲線的極坐標方程得：，，即，，曲線的參，即，，，，當且僅當，即時取等號，故的最小值為.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，以及極坐標方程與直角坐標方程點互化，以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用和極坐標方程的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，合理應(yīng)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、(1)見證明；(2)【解析】

（1）利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，進而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結(jié)論；（2）問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對a分類討論，分別研究a的不同取值下，導函數(shù)的單調(diào)性及值域，從而得到結(jié)論.法二：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，再利用零點存在定理說明函數(shù)存在極值．【詳解】(1)當時，，于是，.又因為，當時，且.故當時，，即.所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，于是，.因此，對，；(2)方法一：由題意在上存在極值，則在上存在零點，①當時，為上的增函數(shù)，注意到，，所以，存在唯一實數(shù)，使得成立.于是，當時，，為上的減函數(shù)；當時，，為上的增函數(shù)；所以為函數(shù)的極小值點；②當時，在上成立，所以在上單調(diào)遞增，所以在上沒有極值；③當時，在上成立，