復(fù)變函數(shù)-1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和序列

復(fù)數(shù)序列性質(zhì)1

線性性質(zhì)n，

C，lim

zn

z0，lim

wn

w0n

n

lim

zn

+

wn

z0

+

w0性質(zhì)2

Cauchy收斂準(zhǔn)則z

n

z

0任意0，存在N，使得當(dāng)m，n>N時(shí)，|

zm

z

|

復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定理：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

zn收斂于S

n1

n1此時(shí)，S=X+iYn1實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

xn，

yn

分別收斂于X和Y。定理：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

zn收斂于S

n1實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

xn，

yn

分別收斂于X和Y。n1

n1此時(shí)，S=X+iY推論：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

zn絕對(duì)收斂n1級(jí)數(shù)

zn

收斂。n1例1：判斷如下數(shù)列的收斂性，若收斂，求極限。（1），（2）。nz

cos

in2nniz

(

)求極限。（1），（2）。nz

cos

in2nn例1：判斷如下數(shù)列的收斂性，若收斂，iz

(

)求極限。（1），（2）。nz

cos

in2nn例1：判斷如下數(shù)列的收斂性，若收斂，iz

(

)例3：

設(shè)| |

<

1

，證明級(jí)數(shù)1+

+…+

n+…收斂于11

例3：

設(shè)| |

<

1

，證明級(jí)數(shù)1+

+…+

n+…收斂于11

例3：

設(shè)| |

<

1

，證明級(jí)數(shù)1+

+…+

n+…收斂于11

例4：判別如下級(jí)數(shù)的收斂性和絕對(duì)收斂cos

in

2n性：n1例4：判別如下級(jí)數(shù)的收斂性和絕對(duì)收斂cos

in

2n性：n1冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的形式作變量替換

w=z-z0，只需

冪級(jí)數(shù)n0c

(z

z

)n

cn

0

0

c

(z

z

)

c

(z

z

)2

1

0

2

0c

zn

c

c

z

c

z2

n

0

1

2n0Abel定理：若冪級(jí)數(shù)0在點(diǎn)z

≠0收斂，則它在區(qū)域D：{z

|

|z|<|z0|}絕對(duì)收斂，即級(jí)數(shù)在區(qū)域D

收斂；nnc

zn0nnc

zn1Abel定理：若冪級(jí)數(shù)0在點(diǎn)z

≠0收斂，則它在區(qū)域D：{z

|

|z|<|z0|}絕對(duì)收斂，即級(jí)數(shù)在區(qū)域D

收斂；若冪級(jí)數(shù)0在點(diǎn)z≠0

發(fā)散，則它在區(qū)域K：{z

|

|z|>|z0|}發(fā)散。nnc

zn0nnc

zn0nnc

zn1?

冪級(jí)數(shù)在整個(gè)復(fù)平面收斂?

冪級(jí)數(shù)只在z=0

處收斂?

在圓

|z|=R外發(fā)散，在圓內(nèi)收斂，在圓周上單獨(dú)

。此時(shí)，稱|z|=R為收斂圓。nnc

z由Abel定理，只有三種情況n0n則收斂半徑為R

=1

/

。定理（根值法）：若lim

n

|

cn

|

0

，定理（比值法）：若l則收斂半徑為R

=1

/

。cn1

|

0

，n則收斂半徑為R

=

1

/

。定理（根值法）：若lim

n

|

cn

|

0

，? =

0

，

則R

=

；

=，則R=0。定理（比值法）：若l則收斂半徑為R

=

1

/

。cn1

|

0

，例5：求如下級(jí)數(shù)的收斂域nn(n!)21

znn2n1(1)

n1

n(3)

n(iz)nn1z

，

(2)

2

( )

，冪級(jí)數(shù)的線性運(yùn)算（收斂半徑取小的）nnnnnb

z

a

z

(an

bn

)zn0n0n0冪級(jí)數(shù)的線性運(yùn)算（收斂半徑取小的）nnnnnb

z

a

z

(an

bn

)zn0n0n0f

在|z|<R解析，f

在|z|<R可積，nna

z冪函數(shù)的求導(dǎo)與積分，設(shè)f