氣體的可逆膨脹和壓縮教學(xué)課件

氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮返回氣體的不可逆膨脹和壓縮返回第

2章

模糊聚類分析第2章

模糊聚類分析§2.1模糊矩陣

定義1

設(shè)R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，則稱R為模糊矩陣.

當(dāng)rij只取0或1時(shí)，稱R為布爾(Boole)矩陣.

當(dāng)模糊方陣R

=(rij)n×n的對角線上的元素rii都為1時(shí)，稱R為模糊自反矩陣.定義2設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩陣，相等：A

=B

aij=bij；包含：A≤B

aij≤bij；并：A∪B

=(aij∨bij)m×n；交：A∩B

=(aij∧bij)m×n；余：Ac

=(1-

aij)m×n.§2.1模糊矩陣定義1設(shè)R=(rij)m×模糊矩陣的并、交、余運(yùn)算性質(zhì)冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：

A∪O=A，A∩O=O；

A∪E=E，A∩E=A；還原律：(Ac)c=A；對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc,

(A∩B)c=Ac∪Bc.模糊矩陣的并、交、余運(yùn)算性質(zhì)冪等律：A∪A=A，A∩A模糊矩陣的合成運(yùn)算與模糊方陣的冪

設(shè)A

=(aik)m×s，B

=(bkj)s×n，定義模糊矩陣A與B的合成為：A

°

B

=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊方陣的冪

定義：若A為n階方陣，定義A2

=A°

A，A3

=A2

°

A，…，Ak=Ak-1°

A.模糊矩陣的合成運(yùn)算與模糊方陣的冪設(shè)A=(aik)合成(°

)運(yùn)算的性質(zhì)：性質(zhì)1：(A°

B)°

C=A°(B°C)；性質(zhì)2：Ak

°

Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性質(zhì)3：A°

(B∪C)=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質(zhì)4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性質(zhì)5：A≤B，C≤DA°

C≤B°

D.注：合成(°

)運(yùn)算關(guān)于(∩)的分配律不成立，即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)合成(°)運(yùn)算的性質(zhì)：性質(zhì)1：(A°B)°C=(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°C(A°C)∩(B°C模糊矩陣的轉(zhuǎn)置

定義設(shè)A=(aij)m×n,

稱AT

=(aijT

)n×m為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中aijT

=aji.轉(zhuǎn)置運(yùn)算的性質(zhì)：性質(zhì)1：(AT)T

=A；性質(zhì)2：(A∪B)T

=AT∪BT，

(A∩B)T

=AT∩BT；性質(zhì)3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n；性質(zhì)4：(Ac)T=(AT)c；性質(zhì)5：A≤BAT≤BT.模糊矩陣的轉(zhuǎn)置定義設(shè)A=(aij)m×n,證明性質(zhì)3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n.證明：設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,

記(A°

B)T=(cijT

)n×m,AT

=(aijT

)s×m,

BT

=(bijT

)n×s,

由轉(zhuǎn)置的定義知,

cijT

=cji,aijT

=aji,bijT

=bji.

BT

°

AT=[∨(bikT∧akjT

)]n×m

=[∨(bki∧ajk)]n×m

=[∨(ajk∧bki)]n×m=(cji)n×m

=(cijT

)n×m=(A°

B)T.證明性質(zhì)3：(A°B)T=BT°AT；(A模糊矩陣的

-

截矩陣

定義7設(shè)A=(aij)m×n,對任意的∈[0,1]，稱A=(aij())m×n,為模糊矩陣A的

-

截矩陣,其中

當(dāng)aij≥

時(shí)，aij()=1；當(dāng)aij＜時(shí)，aij()=0.

顯然，A的

-

截矩陣為布爾矩陣.

模糊矩陣的-截矩陣定義7設(shè)A=(aij)對任意的∈[0,1]，有性質(zhì)1：A≤BA

≤B；性質(zhì)2：(A∪B)

=A∪B，(A∩B)

=A∩B；性質(zhì)3：(A°

B)

=A

°

B；性質(zhì)4：(AT

)=(A

)T.下面證明性質(zhì)1：A≤BA

≤B和性質(zhì)3.性質(zhì)1的證明：A≤Baij≤bij；當(dāng)≤aij≤bij時(shí)，aij()=bij()=1；當(dāng)aij＜

≤bij時(shí)，aij()=0,bij()=1；當(dāng)aij≤bij＜時(shí)，aij()=bij()=0；綜上所述aij()≤bij()時(shí)，故A

≤B.對任意的∈[0,1]，有性質(zhì)1：A≤BA≤B性質(zhì)3的證明：設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,cij()=1cij≥

∨(aik∧bkj)≥

k,(aik∧bkj)≥

k,aik≥,bkj≥

k,aik()=bkj()=1∨(aik()∧bkj())=1cij()=0cij＜

∨(aik∧bkj)＜

k,(aik∧bkj)＜

k,aik＜或bkj＜

k,aik()=0或bkj()=0∨(aik()∧bkj())=0所以,cij()=∨(aik()∧bkj()).(A°

B)

=A

°

B.性質(zhì)3的證明：設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n§2.2模糊關(guān)系

與模糊子集是經(jīng)典集合的推廣一樣，模糊關(guān)系是普通關(guān)系的推廣.

設(shè)有論域X，Y，XY的一個模糊子集R稱為從X到Y(jié)的模糊關(guān)系.

模糊子集R的隸屬函數(shù)為映射R:XY[0,1].并稱隸屬度R(x,y)為

(x,y)關(guān)于模糊關(guān)系R的相關(guān)程度.

特別地，當(dāng)X=Y時(shí)，稱之為X上各元素之間的模糊關(guān)系.§2.2模糊關(guān)系與模糊子集是經(jīng)典集合的推廣一樣，模糊關(guān)系的運(yùn)算

由于模糊關(guān)系R就是XY的一個模糊子集，因此模糊關(guān)系同樣具有模糊子集的運(yùn)算及性質(zhì).設(shè)R，R1，R2均為從X到Y(jié)的模糊關(guān)系.相等：R1=R2

R1(x,y)=

R2(x,y)；包含：R1R2

R1(x,y)≤R2(x,y)；并：R1∪R2的隸屬函數(shù)為

(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2的隸屬函數(shù)為(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；余：Rc的隸屬函數(shù)為Rc(x,y)=1-

R(x,y).模糊關(guān)系的運(yùn)算由于模糊關(guān)系R就是XY的一個

(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)對模糊關(guān)系“R1或者R2”的相關(guān)程度，(R1∩R2)(x,y)表示(x,y)對模糊關(guān)系“R1且R2”的相關(guān)程度，Rc(x,y)表示(x,y)對模糊關(guān)系“非R”的相關(guān)程度.模糊關(guān)系的矩陣表示

對于有限論域

X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，則X到Y(jié)模糊關(guān)系R可用m×n階模糊矩陣表示，即R=(rij)m×n，其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)關(guān)于模糊關(guān)系R的相關(guān)程度.

又若R為布爾矩陣時(shí),則關(guān)系R為普通關(guān)系,即xi與

yj之間要么有關(guān)系(rij=1),要么沒有關(guān)系(rij=0).(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)對模糊關(guān)

例設(shè)身高論域X={140,150,160,170,180}(單位：cm),體重論域Y={40,50,60,70,80}(單位：kg),下表給出了身高與體重的模糊關(guān)系.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81例設(shè)身高論域X={140,150,160,模糊關(guān)系的合成

設(shè)R1是X到Y(jié)的關(guān)系,R2是Y到Z的關(guān)系,則R1與R2的合成R1°

R2是X到Z上的一個關(guān)系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}

當(dāng)論域?yàn)橛邢迺r(shí)，模糊關(guān)系的合成化為模糊矩陣的合成.

設(shè)X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y(jié)的模糊關(guān)系R1=(aik)m×s，Y到Z的模糊關(guān)系R2=(bkj)s×n，則X到Z的模糊關(guān)系可表示為模糊矩陣的合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊關(guān)系的合成設(shè)R1是X到Y(jié)的關(guān)系,R模糊關(guān)系合成運(yùn)算的性質(zhì)性質(zhì)1：(A°B)°

C=A°(B°C)；性質(zhì)2：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質(zhì)3：(A°

B)T=BT

°

AT；性質(zhì)4：AB，CDA°CB°D.注：(1)合成(°

)運(yùn)算關(guān)于(∩)的分配律不成立,即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)

(2)這些性質(zhì)在有限論域情況下,就是模糊矩陣合成運(yùn)算的性質(zhì).模糊關(guān)系合成運(yùn)算的性質(zhì)性質(zhì)1：(A°B)°C=A§2.3模糊等價(jià)矩陣模糊等價(jià)關(guān)系

若模糊關(guān)系R是X上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足：

(1)自反性：R(x,x)=1；

(2)對稱性：R(x,y)=R(y,x)；

(3)傳遞性：R2R,

則稱模糊關(guān)系R是X上的一個模糊等價(jià)關(guān)系.

當(dāng)論域X={x1,x2,…,xn}為有限時(shí),X上的一個模糊等價(jià)關(guān)系R就是模糊等價(jià)矩陣,即R滿足：I≤R

(

rii=1

)RT=R(

rij=rji)R2≤R.R2≤R(∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij).§2.3模糊等價(jià)矩陣模糊等價(jià)關(guān)系若模糊關(guān)系R是X模糊等價(jià)矩陣的基本定理

定理1

若R具有自反性(I≤R)和傳遞性(R2≤R),則R2=R.

定理2

若R是模糊等價(jià)矩陣,則對任意∈[0,1]，R是等價(jià)的Boole矩陣.∈[0,1]，A≤BA≤B；(A°B)=A°B；(AT

)=(A)T

證明如下：

(1)自反性：I≤R∈[0,1]，I≤R

∈[0,1]，I

≤R，即R具有自反性；

(2)對稱性：RT=R

(RT)=R

(R)T=R，即R具有對稱性；

(3)傳遞性：R2≤R(R)2≤R，即R具有傳遞性.模糊等價(jià)矩陣的基本定理定理1若R具有自反性(I≤R)

定理3

若R是模糊等價(jià)矩陣,則對任意的0≤＜≤1,R所決定的分類中的每一個類是R決定的分類中的某個類的子類.

證明：對于論域X={x1,x2,…,xn}，若xi,xj按R分在一類，則有rij()=1rij≥

rij≥

rij()=1，即若xi,xj按R也分在一類.

所以，R所決定的分類中的每一個類是R

決定的分類中的某個類的子類.定理3若R是模糊等價(jià)矩陣,則對任意的0≤＜≤1模糊相似關(guān)系

若模糊關(guān)系R是X上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足：

(1)自反性：R(x,x)

=1；

(2)對稱性：R(x,y)=R(y,x)

；則稱模糊關(guān)系R是X上的一個模糊相似關(guān)系.

當(dāng)論域X={x1,x2,…,xn}為有限時(shí)，X上的一個模糊相似關(guān)系R就是模糊相似矩陣，即R滿足：

(1)自反性：I≤R

(

rii=1

)；

(2)對稱性：RT=R

(

rij=rji

).模糊相似關(guān)系若模糊關(guān)系R是X上各元素之間的模模糊相似矩陣的性質(zhì)

定理1

若R是模糊相似矩陣，則對任意的自然數(shù)k，Rk也是模糊相似矩陣.

定理2

若R是n階模糊相似矩陣，則存在一個最小自然數(shù)k(k≤n)，對于一切大于k的自然數(shù)l，恒有Rl=Rk，即Rk是模糊等價(jià)矩陣(R2k=Rk).此時(shí)稱Rk為R的傳遞閉包，記作t(R)=Rk.

上述定理表明，任一個模糊相似矩陣可誘導(dǎo)出一個模糊等價(jià)矩陣.平方法求傳遞閉包t(R)：RR2R4R8R16…模糊相似矩陣的性質(zhì)定理1若R是模糊相似矩陣，則對§2.4模糊聚類分析數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化

設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}為被分類對象,每個對象又由m個指標(biāo)表示其形狀:xi

={xi1,xi2,…,xim},i=1,2,…,n于是,得到原始數(shù)據(jù)矩陣為§2.4模糊聚類分析數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)論域X={x平移?標(biāo)準(zhǔn)差變換其中平移?極差變換平移?標(biāo)準(zhǔn)差變換其中平移?極差變換模糊相似矩陣建立方法相似系數(shù)法----夾角余弦法模糊相似矩陣建立方法相似系數(shù)法----夾角余弦法相似系數(shù)法----相關(guān)系數(shù)法其中相似系數(shù)法----相關(guān)系數(shù)法其中距離法rij=1–cd(xi,xj)其中c為適當(dāng)選取的參數(shù).海明距離歐氏距離切比雪夫距離d(xi,xj)=∨{|xik-

xjk|,1≤k≤m}距離法rij=1–cd(xi,xj)其中c為Boole矩陣法：

定理：設(shè)R是論域X={x1,x2,…,xn}上的一個相似的Boole矩陣，則R具有傳遞性(當(dāng)R是等價(jià)Boole矩陣時(shí))矩陣R在任一排列下的矩陣都沒有形如的特殊子矩陣.Boole矩陣法：定理：設(shè)R是論域X={xBoole矩陣法的步驟如下：(1)求模糊相似矩陣的

-截矩陣R

；(2)若R在某一排列下的矩陣有形如的特殊子矩陣,則將R

中上述特殊形式子矩陣的0改為1，直到在任一排列下R中不再產(chǎn)生上述特殊形式子矩陣為止.Boole矩陣法的步驟如下：(1)求模糊相似矩陣的-截矩最佳分類的確定

在模糊聚類分析中，對于各個不同的∈[0,1]，可得到不同的分類，從而形成一種動態(tài)聚類圖，這對全面了解樣本分類情況是比較形象和直觀的.

但在許多實(shí)際問題中，需要給出樣本的一個具體分類，這就提出了如何確定最佳分類的問題.最佳分類的確定在模糊聚類分析中，對于各個不同的∈[

設(shè)X

=(xij)n×m為n個元素m個指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)矩陣.

為總體樣本的中心向量.

對應(yīng)于值的分類數(shù)為r，第j類的樣本數(shù)為nj，第j類的樣本標(biāo)記為第j類樣本的中心向量為作F-

統(tǒng)計(jì)量：設(shè)X=(xij)n×m為n個元素m個指標(biāo)的原始數(shù)

如果滿足不等式F＞F

(r-1,n-r)的F值不止一個，則可根據(jù)實(shí)際情況選擇一個滿意的分類，或者進(jìn)一步考查差(F-F

)/F

的大小，從較大者中找一個滿意的F值即可.

實(shí)際上，最佳分類的確定方法與聚類方法無關(guān)，但是選擇較好的聚類方法，可以較快地找到比較滿意的分類.如果滿足不等式F＞F(r-1,n-r氣體的可逆膨脹和壓縮教學(xué)課件氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮氣體的不可逆膨脹和壓縮返回氣體的不可逆膨脹和壓縮返回第

2章

模糊聚類分析第2章

模糊聚類分析§2.1模糊矩陣

定義1

設(shè)R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，則稱R為模糊矩陣.

當(dāng)rij只取0或1時(shí)，稱R為布爾(Boole)矩陣.

當(dāng)模糊方陣R

=(rij)n×n的對角線上的元素rii都為1時(shí)，稱R為模糊自反矩陣.定義2設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩陣，相等：A

=B

aij=bij；包含：A≤B

aij≤bij；并：A∪B

=(aij∨bij)m×n；交：A∩B

=(aij∧bij)m×n；余：Ac

=(1-

aij)m×n.§2.1模糊矩陣定義1設(shè)R=(rij)m×模糊矩陣的并、交、余運(yùn)算性質(zhì)冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：

A∪O=A，A∩O=O；

A∪E=E，A∩E=A；還原律：(Ac)c=A；對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc,

(A∩B)c=Ac∪Bc.模糊矩陣的并、交、余運(yùn)算性質(zhì)冪等律：A∪A=A，A∩A模糊矩陣的合成運(yùn)算與模糊方陣的冪

設(shè)A

=(aik)m×s，B

=(bkj)s×n，定義模糊矩陣A與B的合成為：A

°

B

=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊方陣的冪

定義：若A為n階方陣，定義A2

=A°

A，A3

=A2

°

A，…，Ak=Ak-1°

A.模糊矩陣的合成運(yùn)算與模糊方陣的冪設(shè)A=(aik)合成(°

)運(yùn)算的性質(zhì)：性質(zhì)1：(A°

B)°

C=A°(B°C)；性質(zhì)2：Ak

°

Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性質(zhì)3：A°

(B∪C)=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質(zhì)4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性質(zhì)5：A≤B，C≤DA°

C≤B°

D.注：合成(°

)運(yùn)算關(guān)于(∩)的分配律不成立，即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)合成(°)運(yùn)算的性質(zhì)：性質(zhì)1：(A°B)°C=(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°C(A°C)∩(B°C模糊矩陣的轉(zhuǎn)置

定義設(shè)A=(aij)m×n,

稱AT

=(aijT

)n×m為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中aijT

=aji.轉(zhuǎn)置運(yùn)算的性質(zhì)：性質(zhì)1：(AT)T

=A；性質(zhì)2：(A∪B)T

=AT∪BT，

(A∩B)T

=AT∩BT；性質(zhì)3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n；性質(zhì)4：(Ac)T=(AT)c；性質(zhì)5：A≤BAT≤BT.模糊矩陣的轉(zhuǎn)置定義設(shè)A=(aij)m×n,證明性質(zhì)3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n.證明：設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,

記(A°

B)T=(cijT

)n×m,AT

=(aijT

)s×m,

BT

=(bijT

)n×s,

由轉(zhuǎn)置的定義知,

cijT

=cji,aijT

=aji,bijT

=bji.

BT

°

AT=[∨(bikT∧akjT

)]n×m

=[∨(bki∧ajk)]n×m

=[∨(ajk∧bki)]n×m=(cji)n×m

=(cijT

)n×m=(A°

B)T.證明性質(zhì)3：(A°B)T=BT°AT；(A模糊矩陣的

-

截矩陣

定義7設(shè)A=(aij)m×n,對任意的∈[0,1]，稱A=(aij())m×n,為模糊矩陣A的

-

截矩陣,其中

當(dāng)aij≥

時(shí)，aij()=1；當(dāng)aij＜時(shí)，aij()=0.

顯然，A的

-

截矩陣為布爾矩陣.

模糊矩陣的-截矩陣定義7設(shè)A=(aij)對任意的∈[0,1]，有性質(zhì)1：A≤BA

≤B；性質(zhì)2：(A∪B)

=A∪B，(A∩B)

=A∩B；性質(zhì)3：(A°

B)

=A

°

B；性質(zhì)4：(AT

)=(A

)T.下面證明性質(zhì)1：A≤BA

≤B和性質(zhì)3.性質(zhì)1的證明：A≤Baij≤bij；當(dāng)≤aij≤bij時(shí)，aij()=bij()=1；當(dāng)aij＜

≤bij時(shí)，aij()=0,bij()=1；當(dāng)aij≤bij＜時(shí)，aij()=bij()=0；綜上所述aij()≤bij()時(shí)，故A

≤B.對任意的∈[0,1]，有性質(zhì)1：A≤BA≤B性質(zhì)3的證明：設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,cij()=1cij≥

∨(aik∧bkj)≥

k,(aik∧bkj)≥

k,aik≥,bkj≥

k,aik()=bkj()=1∨(aik()∧bkj())=1cij()=0cij＜

∨(aik∧bkj)＜

k,(aik∧bkj)＜

k,aik＜或bkj＜

k,aik()=0或bkj()=0∨(aik()∧bkj())=0所以,cij()=∨(aik()∧bkj()).(A°

B)

=A

°

B.性質(zhì)3的證明：設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n§2.2模糊關(guān)系

與模糊子集是經(jīng)典集合的推廣一樣，模糊關(guān)系是普通關(guān)系的推廣.

設(shè)有論域X，Y，XY的一個模糊子集R稱為從X到Y(jié)的模糊關(guān)系.

模糊子集R的隸屬函數(shù)為映射R:XY[0,1].并稱隸屬度R(x,y)為

(x,y)關(guān)于模糊關(guān)系R的相關(guān)程度.

特別地，當(dāng)X=Y時(shí)，稱之為X上各元素之間的模糊關(guān)系.§2.2模糊關(guān)系與模糊子集是經(jīng)典集合的推廣一樣，模糊關(guān)系的運(yùn)算

由于模糊關(guān)系R就是XY的一個模糊子集，因此模糊關(guān)系同樣具有模糊子集的運(yùn)算及性質(zhì).設(shè)R，R1，R2均為從X到Y(jié)的模糊關(guān)系.相等：R1=R2

R1(x,y)=

R2(x,y)；包含：R1R2

R1(x,y)≤R2(x,y)；并：R1∪R2的隸屬函數(shù)為

(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2的隸屬函數(shù)為(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；余：Rc的隸屬函數(shù)為Rc(x,y)=1-

R(x,y).模糊關(guān)系的運(yùn)算由于模糊關(guān)系R就是XY的一個

(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)對模糊關(guān)系“R1或者R2”的相關(guān)程度，(R1∩R2)(x,y)表示(x,y)對模糊關(guān)系“R1且R2”的相關(guān)程度，Rc(x,y)表示(x,y)對模糊關(guān)系“非R”的相關(guān)程度.模糊關(guān)系的矩陣表示

對于有限論域

X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，則X到Y(jié)模糊關(guān)系R可用m×n階模糊矩陣表示，即R=(rij)m×n，其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)關(guān)于模糊關(guān)系R的相關(guān)程度.

又若R為布爾矩陣時(shí),則關(guān)系R為普通關(guān)系,即xi與

yj之間要么有關(guān)系(rij=1),要么沒有關(guān)系(rij=0).(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)對模糊關(guān)

例設(shè)身高論域X={140,150,160,170,180}(單位：cm),體重論域Y={40,50,60,70,80}(單位：kg),下表給出了身高與體重的模糊關(guān)系.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81例設(shè)身高論域X={140,150,160,模糊關(guān)系的合成

設(shè)R1是X到Y(jié)的關(guān)系,R2是Y到Z的關(guān)系,則R1與R2的合成R1°

R2是X到Z上的一個關(guān)系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}

當(dāng)論域?yàn)橛邢迺r(shí)，模糊關(guān)系的合成化為模糊矩陣的合成.

設(shè)X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y(jié)的模糊關(guān)系R1=(aik)m×s，Y到Z的模糊關(guān)系R2=(bkj)s×n，則X到Z的模糊關(guān)系可表示為模糊矩陣的合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊關(guān)系的合成設(shè)R1是X到Y(jié)的關(guān)系,R模糊關(guān)系合成運(yùn)算的性質(zhì)性質(zhì)1：(A°B)°

C=A°(B°C)；性質(zhì)2：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質(zhì)3：(A°

B)T=BT

°

AT；性質(zhì)4：AB，CDA°CB°D.注：(1)合成(°

)運(yùn)算關(guān)于(∩)的分配律不成立,即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)

(2)這些性質(zhì)在有限論域情況下,就是模糊矩陣合成運(yùn)算的性質(zhì).模糊關(guān)系合成運(yùn)算的性質(zhì)性質(zhì)1：(A°B)°C=A§2.3模糊等價(jià)矩陣模糊等價(jià)關(guān)系

若模糊關(guān)系R是X上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足：

(1)自反性：R(x,x)=1；

(2)對稱性：R(x,y)=R(y,x)；

(3)傳遞性：R2R,

則稱模糊關(guān)系R是X上的一個模糊等價(jià)關(guān)系.

當(dāng)論域X={x1,x2,…,xn}為有限時(shí),X上的一個模糊等價(jià)關(guān)系R就是模糊等價(jià)矩陣,即R滿足：I≤R

(

rii=1

)RT=R(

rij=rji)R2≤R.R2≤R(∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij).§2.3模糊等價(jià)矩陣模糊等價(jià)關(guān)系若模糊關(guān)系R是X模糊等價(jià)矩陣的基本定理

定理1

若R具有自反性(I≤R)和傳遞性(R2≤R),則R2=R.

定理2

若R是模糊等價(jià)矩陣,則對任意∈[0,1]，R是等價(jià)的Boole