小學(xué)數(shù)學(xué)講義暑假六年級(jí)優(yōu)秀第10講數(shù)論中的計(jì)數(shù)

第十講第十講數(shù)論中的計(jì)數(shù)知識(shí)站牌級(jí)秋季的規(guī)律級(jí)秋季級(jí)春季

六年級(jí)暑期論中的計(jì)數(shù)級(jí)暑期的最值中的范圍中符合條件的個(gè)數(shù)的多少漫畫(huà)釋義第11級(jí)上優(yōu)秀A版教師版 課堂引入1. 2300年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就已證明素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，并提出一些素?cái)?shù)可寫(xiě)成“2p-1”的.17p2. 177231.12.1952年，美國(guó)數(shù)學(xué)家拉婓爾523. 1996年初，美國(guó)數(shù)學(xué)家和程序設(shè)計(jì)師喬治?沃特曼編制了一個(gè)梅森素?cái)?shù)計(jì)算程序，并把它放在網(wǎng)頁(yè)上供數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者免費(fèi)使用，這就是著名的互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索MPS)項(xiàng)目.該項(xiàng)目利用大量普通計(jì)算機(jī)的閑置處理能力來(lái)獲得相當(dāng)于超級(jí)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力.這一項(xiàng)?臺(tái)目引誘．他最后被解雇，并被罰款一萬(wàn)美元由此看來(lái)，梅森素?cái)?shù)的吸引力足以使人瘋狂4. .展中有著巨大教學(xué)目標(biāo)1.復(fù)習(xí)數(shù)論模塊和計(jì)數(shù)模塊的相關(guān)知識(shí)，如整除性質(zhì)、加乘原理、排列組合等.2.靈活使用以上知識(shí)解決數(shù)論中的計(jì)數(shù)綜合問(wèn)題.3.復(fù)習(xí)容斥原理，尤其是在應(yīng)用問(wèn)題中的使用.2第11級(jí)上優(yōu)秀A版教師版第十講經(jīng)典精講1.常見(jiàn)數(shù)字的整除判定方法1) 2)一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和能被3或9整除，這個(gè)數(shù)就能被3或9整除；3)如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)能被.2.加法原理一般地，如果完成一件事有k類(lèi)方法，第一類(lèi)方法中有m1種不同做法，第二類(lèi)方法中有2

m種不同做法，則完成這件事共有

Nmm 不同方法，這就是加法原理．可以簡(jiǎn)記為：“加法分類(lèi)，類(lèi)類(lèi)獨(dú)立”．3.乘法原理A方法．這就是乘法原理．4.容斥原理知識(shí)回顧1. 【分析】2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,472. 【分析】1,24,2,12,3,8,4,63. （12,18）= ；[20,30]= 【分析】6；604. 兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和為39，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積是多少.【分析】因?yàn)楹蜑槠鏀?shù)，所以這兩個(gè)數(shù)必為一奇一偶，所以其中一個(gè)是2，另一個(gè)是37，乘積為74.5. 【分析】1094105357．因此，這樣的兩位數(shù)是：15；35；21．第11級(jí)上優(yōu)秀A版教師版 例題思路1整除性例5例例1？（學(xué)案對(duì)應(yīng)：學(xué)案1）【分析】個(gè)位數(shù)字已知，問(wèn)題變成從從5個(gè)元素中取2個(gè)元素的排列問(wèn)題，已知n5，據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成P25420(個(gè))符合題意的三位數(shù)．

m2，根.兩張牌上的數(shù)的乘積除以10的余數(shù)是1?(將A看成1)例2（學(xué)案對(duì)應(yīng)：學(xué)案2）【分析】[5,7]=35,1000÷35=28……20,100÷35=2……30所以符合要求的最小三位數(shù)是35×3，最大三【分析】假設(shè)這個(gè)三位數(shù)是a，根據(jù)題意，a5能被6和7整除，即a5為42的倍數(shù)，因?yàn)?0042216,1000422334，所以a5最小為423，最大為4223，滿(mǎn)足題意的數(shù)共有233121個(gè)4第11級(jí)上優(yōu)秀A版

教師版第十講馬素?cái)?shù)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（）是數(shù)學(xué)史上一位傳奇人物是律師，數(shù)學(xué)僅是他的業(yè)余愛(ài)好.費(fèi)馬被譽(yù)為“數(shù)論之父”，他有著了不起的直觀天才，一生中提出過(guò)很多數(shù)學(xué)猜想.令人驚奇的是，他的幾乎所有猜想全被后人一一證實(shí)，僅有一個(gè)例外.那就是他猜想：凡是形如.如果將n0,1,2,3,4代入22n 1，得到的數(shù)確實(shí)都是質(zhì)數(shù)：3,5,17,257,65537.可是對(duì)n5，在1738年，歐拉驚人地發(fā)現(xiàn)有分解式：32142949672976416700417.這說(shuō)明費(fèi)馬的猜想錯(cuò)了！誰(shuí)知?dú)W拉的這一分解式，竟是一石激起千層浪，人們?cè)僖矝](méi)有找到第六個(gè)費(fèi)馬素?cái)?shù)，相反地，倒是已經(jīng)找到了46個(gè)形如22n1的數(shù)不是素?cái)?shù).于是人們又猜測(cè)，費(fèi)馬素?cái)?shù)僅有上述個(gè)，但也無(wú)法證明這是數(shù)學(xué)史上的又一個(gè)懸案！例3（學(xué)案對(duì)應(yīng)：學(xué)案3）3×3×3=27種情況,所以，一共有1+1+1+27=30種不同取法.例4【分析】1～100之間，5的倍數(shù)有100÷5=20個(gè)，7的倍數(shù)有100÷7=14.2即14個(gè)，因?yàn)榧仁?的倍【想想練練】在一根長(zhǎng)木棍上，有三種刻度線(xiàn)，第一種刻度線(xiàn)將木棍分成十等份；第二種將木棍分成十二等份；第三種將木棍分成十五等份；如果沿每條刻度線(xiàn)將木棍鋸斷，則木棍總共被鋸成________段．【分析】假設(shè)木棍長(zhǎng)60cm，則沿第一種刻度線(xiàn)鋸成的木棍每段長(zhǎng)60106cm，沿第二種刻度線(xiàn)鋸成的木棍每段長(zhǎng)60125cm，沿第三種刻度線(xiàn)鋸成的木棍每段長(zhǎng)60144cm．三種重合的刻度線(xiàn)可將木棍鋸成60[5,4]3段；沿三種刻度重合的刻度線(xiàn)可將木棍鋸成第11級(jí)上優(yōu)秀A版教師版 60[6,5,4]1段．應(yīng)該減去重復(fù)計(jì)算的沿任意兩種重合的刻度線(xiàn)鋸成的段數(shù)，應(yīng)加上多減去的沿三種刻度重合的刻度線(xiàn)鋸成的段數(shù)．所以，沿每條刻度線(xiàn)將木棍鋸斷，則木棍總共被鋸成101215253128段．例5編號(hào)為2的倍數(shù)的燈線(xiàn)拉一下，再將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈線(xiàn)拉一下，最后將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈線(xiàn)拉一下三次拉完后亮著的燈有多少盞（學(xué)案對(duì)應(yīng)：學(xué)案4） 2E F32倍數(shù)的數(shù)．1～2000這2000個(gè)正整數(shù)中，2的倍數(shù)有1000個(gè)，3的倍數(shù)有666個(gè)，5的倍數(shù)有400個(gè)，6的倍數(shù)有333個(gè)，10的倍數(shù)有200個(gè)，15的倍數(shù)有133個(gè)，30的倍數(shù)有66個(gè)，亮著的燈一共有2000-1000-666-400+2×（333+200+133）-4×66=1002盞．找朋友己的學(xué)號(hào)，再貼在背上“10到自己的朋友，時(shí)間一到必須停止行動(dòng).由于滿(mǎn)足要求的“朋友”不止一個(gè)，所以可以進(jìn)行幾輪游戲，看誰(shuí)找到的“朋友”最多.這個(gè)游戲既考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)論計(jì)數(shù)能力，又考驗(yàn)他們的行動(dòng)靈敏性師還可有人因?yàn)槁淇斩惶蕴?第11級(jí)上優(yōu)秀A版教師版第十講杯賽提高88①數(shù)字和8=8+0+0=7+1+0=6+2+0=5+3+0=4+4+0=6+1+1=5+2+1=4+3+1=4+2+2=3+3+2這樣的數(shù)共有13222332636個(gè)②數(shù)字和16=9+7+0=8+8+0=9+6+1=9+5+2=9+4+3=8+7+1=8+6+2=8+5+3=8+4+4=……③數(shù)字和24=9+9+6=9+8+7=8+8+8附加題1. 米畫(huà)一個(gè)刻度，第三次每隔5厘米畫(huà)一個(gè)刻度，如果按刻度把木棒截?cái)啵敲纯梢越爻龆嗌俣危?01 101 101101 232 3 5

10135

101 235

可以截出75段．2. 1到60這60個(gè)自然數(shù)中，選取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積是被5除余2的偶數(shù)，問(wèn)，一共有多少種選法？【分析】?jī)蓚€(gè)數(shù)的乘積被5除余2有兩類(lèi)情況，一類(lèi)是兩個(gè)數(shù)被5除分別余1和2，另一類(lèi)是兩個(gè)數(shù)被5除分別余3和4，只要兩個(gè)乘數(shù)中有一個(gè)是偶數(shù)就能使乘積也為偶數(shù).1到60這603. 從1到999這999個(gè)自然數(shù)中有 【分析】由于在一個(gè)數(shù)的前面寫(xiě)上幾個(gè)0不影響這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和，所以可以將1到999中的一和要能被4整除，必須要求它們除以4的余數(shù)的和能被4整除，余數(shù)的情況有如下5種：000；013；022；112；233．種可能，但是注意到其中也包含了000這個(gè)數(shù)，應(yīng)予排除，所以此時(shí)共有27126個(gè)；第11級(jí)上優(yōu)秀A版教師版 種，所以此時(shí)有3326108個(gè)；⑶如果是022，即3個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)分別為0，2，2，在3個(gè)位置上的排列有3種，所以此時(shí)有322336個(gè)；⑷如果是112，即3個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)分別為1，1，2，在3個(gè)位置上的排列有3種，所以此時(shí)有332354個(gè)；⑸如果是233，即3個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)分別為2，3，3，在3個(gè)位置上的排列有3種，此時(shí)有222324個(gè)．根據(jù)加法原理，共有26108365424248．4. 【分析】以105為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的分子與105互質(zhì)，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)，3的倍數(shù)有35個(gè)，5的倍數(shù)有21個(gè)，7的倍數(shù)有15個(gè)，15的倍數(shù)有7個(gè)，21的倍數(shù)有5個(gè)，35的倍數(shù)有3個(gè)，105的倍數(shù)有1個(gè)，所以105以?xún)?nèi)與105互質(zhì)的數(shù)有105-35-21-15+7+5+3-1=48個(gè)，顯然如果n與105互質(zhì)，那么（105-n）與n互5. 分子小于6，分母小于60的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？【分析】分類(lèi)枚舉：根據(jù)分子是1,2,3,4,5這5種情況進(jìn)行討論．分子是1：分母取2到59，所以共有58個(gè)；分子是3：分母不能是3的倍數(shù)，由于60320,602040（60本身是3的倍數(shù)），再排除分母是1或2，共有40238個(gè)；分子是5：分母不能是5的倍數(shù)，由于60512,601248（60本身是5的倍數(shù)），再排除分母是1、2、3或4，還剩48444個(gè).綜上所述，滿(mǎn)足條件的分?jǐn)?shù)共有5829382844197個(gè)．6. 大明、中明與小明是三兄弟年齡依次從大到小是15，中明歲數(shù)與小明歲數(shù)的最小公倍數(shù)是12，那么他們兄弟三人的總歲數(shù)共有幾種情況？【分析】因?yàn)?535,12322，可見(jiàn)小明的歲數(shù)只有1或3兩種情況．如果小明的歲數(shù)是1，那么4明的歲數(shù)是5或15．若中明的歲數(shù)是4，大明的歲數(shù)可以是5或15；若中明的歲數(shù)是12，341522，3121530.7. ①這個(gè)數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù)，③這個(gè)數(shù)除以9所得的余數(shù)是5．那么我們稱(chēng)這個(gè)整數(shù)為幸運(yùn)數(shù)請(qǐng)問(wèn)兩位幸運(yùn)數(shù)共有多少個(gè)18第11級(jí)上優(yōu)秀A版教師版第十講14．答案是1個(gè)．知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.1）一個(gè)數(shù)的末位能被2或5整除，這個(gè)數(shù)就能被2或5整除；112.加法原理：“加法分類(lèi)，類(lèi)類(lèi)獨(dú)立”．3.乘法原理：完成一件事可以分成n個(gè)必不可少的步驟，第1步有A種不同的方法，第二步有B種不同的方法，……，第n步有N種不同的方法．那么完成這件事情一共有A×B×…×N種不同的方法．4. 家庭作業(yè)1. 有五張卡，分別寫(xiě)有數(shù)字1、2、4、5、8．現(xiàn)從中取出3張卡片，并排放在一起，組成一個(gè)三位數(shù)問(wèn)可以組成多少個(gè)不同的偶數(shù)【分析】分三步取出卡片．首先因?yàn)榻M成的三位數(shù)是偶數(shù)，個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)，所以先選取最右邊的也就是個(gè)位數(shù)位置上的卡片，有2、4、8三種不同的選擇；第二步在其余的4張卡片中任取一張，放在最左邊的位置上，也就是百位數(shù)的位置上，有4種不同的選法；最后從剩下的3張卡片中選取一張，放在中間十位數(shù)的位置上，有3種不同的選擇．根據(jù)乘法原2. .恰好能被6,7,8整除的四位數(shù)有多少個(gè)？【分析】由于6,7,8的最小公倍數(shù)為168,10001685160,100001685988，所以能被6,7,8整除的最小四位數(shù)為1686，最大四位數(shù)為16859，共有596154個(gè)3. 從1,2,3,4,5,6中選取若干個(gè)數(shù)，使得它們的和是3的倍數(shù)，但不是5的倍數(shù)．那么共有種不同的選取方法．【分析】從16這些數(shù)中選取的數(shù)的和小于等于21，滿(mǎn)足條件的和數(shù)有3、6、9、12、18、21分別有2、4、5、5、2、1種選取方法，共24552119種選取方法．第11級(jí)上優(yōu)秀A版教師版 4. 在1~100的全部自然數(shù)中，不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？A 【分析】如圖，用長(zhǎng)方形表示1~100的全部自然數(shù)，A圓表示1~100中3的倍數(shù)，B圓表示1~100中5的倍數(shù)，長(zhǎng)方形內(nèi)兩圓外的部分表示既不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)．由1003331可知，1~100中3的倍數(shù)有33個(gè)；由100520可知，1~100中5的倍數(shù)有20個(gè)；由100（35）610可知，1~100既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)有6個(gè)．由包含排除法，3或5的倍數(shù)有：3320647(個(gè))．從而不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有1004753(個(gè))．5. 3，

406=6個(gè)，那么能被2整除6. 兩個(gè)正方體放到桌面上向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形【分析】要使兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個(gè)數(shù)字要么同為奇數(shù)，同為偶數(shù)，所以，要分兩大類(lèi)來(lái)考慮．第一類(lèi)，兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)．由于放兩個(gè)正方體可認(rèn)為是一個(gè)一個(gè)地放．放第一個(gè)正方體原理，這時(shí)共有339種不同的情形．第二類(lèi)，兩個(gè)數(shù)字同為偶數(shù)，類(lèi)似第一類(lèi)的討論方法，也有339種不同情形．3種不同的情形．A版學(xué)案【學(xué)案1】用2,0,1,3這四個(gè)數(shù)字能排