河南省周口市淮陽(yáng)一中2022年高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若滿足，且目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則的最小值為()A．8 B．4 C． D．62．對(duì)于正在培育的一顆種子，它可能1天后發(fā)芽，也可能2天后發(fā)芽，….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計(jì)表，則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A．2 B．3 C．3.5 D．43．趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的）.類比“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成一個(gè)大等邊三角形.設(shè)，若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形（陰影部分）的概率是（）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象大致為()A． B．C． D．5．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則（）A．0 B．55 C．66 D．786．2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我國(guó)其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒(méi)有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門(mén)排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無(wú)法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測(cè)，若出現(xiàn)陽(yáng)性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為（）且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了5個(gè)人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當(dāng)時(shí)，最大，則（）A． B． C． D．7．已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．在平行四邊形中，若則()A． B． C． D．9．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．810．設(shè)向量，滿足，，，則的取值范圍是A． B．C． D．11．的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)是（）A．70 B．-70 C．28 D．-2812．已知，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．是假命題 B．是真命題C．是真命題 D．是假命題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，若，則__________．14．如圖是一個(gè)算法偽代碼，則輸出的的值為_(kāi)______________.15．在數(shù)列中，，，曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④數(shù)列是等比數(shù)列；其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是______.16．的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若銳二面角的余弦值為，求直線與平面所成的角.18．（12分）已知.（1）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).19．（12分）在等比數(shù)列中，已知，.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（，）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對(duì)傳統(tǒng)的堅(jiān)持，在我國(guó)有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國(guó)聞名，還大量遠(yuǎn)銷(xiāo)海外.近年來(lái)某手工藝品村制作的手工藝品在國(guó)外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷(xiāo)合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí)；（ii）若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級(jí)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí)；（iii）若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí).已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過(guò)關(guān)相互獨(dú)立.（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率；（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級(jí)均可外銷(xiāo)，且利潤(rùn)分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為D級(jí)不能外銷(xiāo)，利潤(rùn)記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷(xiāo)的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤(rùn)為X元，求X的分布列與期望.22．（10分）已知，函數(shù)的最小值為1．（1）證明：．（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

作出可行域，由，可得.當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，最大，可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域，如圖所示由，可得.平移直線，當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，最大，即最大，最大值為2.解方程組，得..，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.的最小值為8.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查基本不等式，屬于中檔題.2．C【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可容易求得中位數(shù).【詳解】由圖表可知，種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.3．A【解析】

根據(jù)幾何概率計(jì)算公式，求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可．【詳解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．4．A【解析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，計(jì)算時(shí)的函數(shù)值可排除三個(gè)選項(xiàng)．【詳解】時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，排除B，時(shí)，函數(shù)也是減函數(shù)，排除D，又時(shí)，，排除C，只有A可滿足．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，可通過(guò)解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等等排除，可通過(guò)特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除，最后剩下的一個(gè)即為正確選項(xiàng)．5．D【解析】

先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計(jì)算出的值，可進(jìn)一步得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后代入轉(zhuǎn)化計(jì)算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算出結(jié)果.【詳解】解：由題意得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以故選：D【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.6．A【解析】

根據(jù)題意分別求出事件A：檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B：檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達(dá)式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事件A：檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶”,事件B：檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶”,∴,.即設(shè),則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),即.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計(jì)算,涉及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對(duì)題意的理解和事件的分解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力,屬于較難題.7．C【解析】

將圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱，則圓心在漸近線上，.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心為.因?yàn)殡p曲線，所以其漸近線方程為，又因?yàn)閳A關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱，則圓心在漸近線上，所以.所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程及對(duì)稱性，還有雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.8．C【解析】

由，,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,先求得利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

，，,

因?yàn)?

所以

,

，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題.向量的運(yùn)算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.9．D【解析】

畫(huà)出可行域，計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為.所以的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.10．B【解析】

由模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，考查模長(zhǎng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.11．A【解析】試題分析：由題意得，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，所以的系數(shù)是，故選A．考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．12．D【解析】

舉例判斷命題p與q的真假，再由復(fù)合命題的真假判斷得答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，故命題為假命題；記f（x）＝ex﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝ex，易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上遞減，在（0，＋∞）上遞增，∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命題為真命題；∴是假命題故選D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假判斷，考查全稱命題與特稱命題的真假，考查指對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

分別代入集合中的元素，求出值，再結(jié)合集合中元素的互異性進(jìn)行取舍可解.【詳解】依題意，分別令，，，由集合的互異性，解得，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查集合元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性．確定集合中元素，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性．14．5【解析】

執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，即得結(jié)果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖得,結(jié)束循環(huán)，輸出.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，考查基本分析與運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.15．①③④【解析】

先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在點(diǎn)處的切線方程，由此求得與的遞推關(guān)系式，進(jìn)而證得數(shù)列是等比數(shù)列，由此判斷出四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論編號(hào).【詳解】∵，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則.∵，∴，則是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，從而，，.故所有正確結(jié)論的編號(hào)是①③④.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法，考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，考慮當(dāng)?shù)闹笖?shù)為零時(shí)，對(duì)應(yīng)的值即為常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為：，令，所以，所以常數(shù)項(xiàng)為.

故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解，難度較易.解答問(wèn)題的關(guān)鍵是，能通過(guò)展開(kāi)式通項(xiàng)公式分析常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的取值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由余弦定理解得，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可得到，從而得證；（Ⅱ）在平面中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法得到二面角的余弦，即可得到的關(guān)系，從而得解；【詳解】解：（Ⅰ）證明：在中，，解得，則，從而因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，，平面，平面，所以平面；（Ⅱ）解：在平面中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，則設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則又平面的一個(gè)法向量，則從而，故則直線與平面所成的角為，大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，利用空間向量法解決立體幾何問(wèn)題，屬于中檔題.18．(1)(2)三個(gè)零點(diǎn)【解析】

(1)由題意知恒成立,構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)最值，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，再證，.【詳解】（1）由得，由題意知恒成立，即，設(shè)，，時(shí)，遞減，時(shí)，，遞增；故，即，故的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，，一方面，，且在遞減，所以在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).另一方面，，設(shè)，則，從而在遞增，則，即，又在遞增，所以在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).因此，當(dāng)時(shí)在和各有一個(gè)零點(diǎn)，將這兩個(gè)零點(diǎn)記為，，當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即：從而在遞增，在遞減，在遞增；于是是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn).下面證明：，由得，即，由得，令，則，①當(dāng)時(shí)，遞減，則，而，故；②當(dāng)時(shí)，遞減，則，而，故；一方面，因?yàn)?，又，且在遞增，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有一個(gè)零點(diǎn).另一方面，根據(jù)得，則有：，又，且在遞增，故在上有一個(gè)零點(diǎn)，故在上有一個(gè)零點(diǎn).又，故有三個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．在研究函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，有一種方法是把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，再把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，特別是利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，這樣就可利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而得出函數(shù)的變化趨勢(shì)，得出結(jié)論．19．（1）（2）見(jiàn)解析（3）存在唯一的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，滿足題設(shè)【解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得數(shù)列的遞推公式，即可知結(jié)果為常數(shù)，即得證；（3）由（2）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，，設(shè)出等差數(shù)列，再根據(jù)不等關(guān)系來(lái)算出的首項(xiàng)和公差即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，，所以，解?所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由（1）得，當(dāng)，時(shí)，可得①，②②①得，，則有，即，，.因?yàn)?，由①得，，所以，所以?所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）得，所以，.假設(shè)存在等差數(shù)列，其通項(xiàng)，使得對(duì)任意，都有，即對(duì)任意，都有.③首先證明滿足③的.若不然，，則，或.（i）若，則當(dāng)，時(shí)，，這與矛盾.（ii）若，則當(dāng)，時(shí)，.而，，所以.故，這與矛盾.所以.其次證明：當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)，時(shí)，.再次證明.（iii）若時(shí)，則當(dāng)，，，，這與③矛盾.（iv）若時(shí)，同（i）可得矛盾.所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以?duì)任意，都有.所以，.綜上，存在唯一的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，滿足題設(shè).【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，證明等差數(shù)列，以及數(shù)列中的探索性問(wèn)題，是一道數(shù)列綜合題，考查學(xué)生的分析，推理能力.20．（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值可判斷是否恒成立，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2），則，.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，由，得，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；由，