全等三角形、軸對稱能力提高練習

.PAGE.AMAMPCB1.如圖,P是等邊△ABC內(nèi)的一點,連接PA、PB、PC.以PB為邊作等邊△BPM,連接CM.〔1觀察并猜想AP與CM之間的大小關(guān)系,并說明你的結(jié)論；〔2若∠APC=100°,△PMC為直角三角形,求∠APB的度數(shù)AAEDCB2.如圖,已知在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,過C作CE⊥AB于E,并且AE=,求∠ABC+∠ADC的度數(shù)。FEMNPOBAFEMNPOBA拓展：〔1若∠AOB=45o,連接OM,ON判斷△MON的形狀,并說明理由?！?已知點P在∠AOB內(nèi),在OA,OB上分別取點E,F,使△PEF周長最小,請畫出圖形,并寫出過程。FFEDACB4.已知如圖,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90o,點D是BC邊的中點,且BE=AF.求證：DE⊥DFAAEDCB5.如圖,△ABC中,∠ABC=90o,AB=CB,AE平分∠BAC,過點C作CD⊥AD于點D,求證：CD=AEGGECBAF7.如圖所示,△ABC中,AB=AC,在AB上取一點E,在AC延長線上取一點F,使BE=CF,EF交BC于G,求證：EG=FG8.已知△ABC中,AB=AC,且過△ABC的某一頂點的直線可將△ABC分成兩個等腰三角形,試求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)。CDBA9.如圖,△ABC中BD是AC邊上的中線,BD⊥BC于點B,且∠CDBA求證：AB=2BC.PPBCA10.如圖所示,△ABC是等邊三角形,P是三角形外一點,且∠ABP+∠ACP=180o,求證：PB+PC=PAPADEFPADEFBC試證明PD+PE+PF是不變的值。ADEBCADEBC求證：DB=DE21DCBA13.如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠ABC=221DCBAFEDCBA圖3FEDCBA圖3EDCBA圖2DCBEA圖1觀察思考：當點E為AB的中點時,如圖1,線段AE與DB的大小關(guān)系是：AEDB<填"＞","＜"或"="；拓展延伸：當點E不是AB的中點時,如圖2,猜想線段AE與DB的大小關(guān)系是：AEDB<填"＞","＜"或"=",并說明理由〔提示：在圖2中,過點E作EF∥BC角AC于點F,得到圖3。15.如圖1,在△ABC中,∠ACB為銳角,點D為射線BC上一點,連接AD,以AD為一邊且在AD右側(cè)作正方形ADEF.解答下列問題：如果AB=AC,∠BAC=90o①當點D在線段BC上時,〔與點B不重合,如圖2,線段CF、BD之間的位置關(guān)系為,數(shù)量關(guān)系為②當點D在線段BC的延長線上時,如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立,請說明理由。CBFDEA〔2如圖4,如果AB>AC,∠BAC>90o,點D在線段BC上運動,其余條件不變,猜想當∠BCACBFDEACCBFDEA圖2圖1圖2圖1FEFEDCBAFEDCBA圖4圖3圖4圖3FNMPEDCBA16.三角形ABC中,BD和CE是三角形的高,FNMPEDCBA在EC上取點P,使CP=AB,作FM垂直于BC,PN垂直于BC。求證PN+FM=BCPPCBA17.如圖,等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90o,P為△ABC內(nèi)部一點,滿足PB=PC,AP=AC,則∠BCP=<>ADECB18.如圖,△ABC中,AB=AC,角BAC=90度ADECBDE垂直AD,且DE=AD,連接BE,求∠DBE的度數(shù)。AACEDB19.如圖,△ABC中,∠BAC=90o,AB=AC,點D是BC上一點,DE⊥AD且DE=AD,求證：CE⊥ACDDCAB20.△ABC為等邊三角形,∠BDA=∠ADC=60°,試說明AD=BD+DCNNMEBDCA21.在等邊三角形ABC中的AC延長線上取一點E,以CE為邊做等邊三角形CDE,使它與三角形ABC位于直線AE的同一側(cè),點M為線段AD的中點,點N為線段BE的中點,求證：三角形CNM為等邊三角形。22.正方形ABCD,E為BC上一點,∠AEF為直角,CF平分∠DCG。<1>如圖〔1,當點E在線段BC上時,求證：AE=EF<2>如圖〔2,當點E在BC的延長線上時,試判斷AE=EF是否依然成立,并說明理由。DCDCBAFEG圖<1>DCBAFEG圖<2>OOAMNDECB23.如圖,ΔABC,ΔCDE是邊等三角形,C為線段AE上一不動點①CN∥AB②AD=BE③∠AOE=120度④CM=CN⑤OC平分∠AOE⑥OB+OC=OA⑦DM=CN其中正確的有…………AMAMPCB圖〔11.〔1AP=CM證明∶∵AB=BC,∠ABP=∠CBM,BP=BM∴△ABP≌△CBM﹙SAS﹚∴AP=CMAMPCBAMPCB圖〔2∴∠BAP+∠BCP=∠BCP+∠BCM=∠PCM=100-60=40°若∠CPM=90°,如圖〔1則∠APB=360-∠BPM-∠CPM-∠APC=360-60-90-100=110°若∠CMP=90°,如圖〔2則∠APB=360-∠BPM-∠CPM-∠APC=360-60-50-100=150°AAFEDCB2.過點C作CF⊥AD,交AD的延長線于點F∵AC平分∠BAD,CE⊥AB∴∠AEC=∠AFC=90o,∠EAC=∠FAC,CE=CF∴△AEC≌△AFC∴AE=AF∵AE=<AB+AD>∴2AE=AB+AD∴AB-AE=AE-AD∴AB-AE=AF-AD,即EB=FD在△EBC和△FDC中：CE=CF,∠BEC=∠DFC=90o,EB=FD∴△EBC≌△FDC∴∠B=∠FDC,即∠ABC=∠FDCFEMNPOBA∵∠FDC+∠ADC=180o∴∠ABFEMNPOBA3.∵M、N分別是點P關(guān)于OA、OB的對稱點∴EP=EM,FP=FN∴△PEF的周長=EP+EF+FP=EM+EF+FN,即△PEF的周長=線段MN∵△PEF的周長=20cm∴MN=20cm<1>連接OM,OP,ON∵M、N分別是點P關(guān)于OA,OB的對稱點∴OM=OP,ON=OP,∠MOA=∠POA,∠NOB=∠POB∴OM=ON∠MON=∠MOA+∠POA+∠NOB+∠POB=2<∠POA+∠POB>=2∠AOB∵∠AOB=45o,∴∠MON=90o,∴△MON是等腰直角三角形〔2分別作點P關(guān)于OA,OB的對稱點M、N,連接MN,分別交OA,OB于點E、F連接PE、PF,△PEF即為所求。4.提示：連接AD,證△ADF≌△BDE5.提示：延長AB與CD的延長線交于點F,證△ABE≌△CBF6.提示：〔1EC=BD<2>∠BOP=∠BAE=60o,故∠BOP的大小與△ABC形狀無關(guān)。7.提示：過點E作EM∥AC,交BC于點M,證△MEG≌△CFG8.〔1當在底邊BC邊上取點時,分兩種情況：4545o45o45o45oAECB圖〔1xxFxx2x2xACB圖〔2如圖〔1,在BC上取點E,使AE=BE=CE時,容易計算得∠B=∠C=45o,∠BAC=90o；如圖〔2,在BC上取點F,使AB=FB,AF=CF,設∠B=∠C=x,則∠FAC=x,∠BFA=∠BAF=2x,所以有x+x+x+2x=180o,x=36o,2x=72o,3x=108o,∠B=∠C=36o,∠BAC=108o；3x2x3x2x2xxxGCBA圖〔4xx2x2xxxDCBA圖〔3如圖〔3,在AC上取點D,使BD=AD=BC,設∠A=x,則∠ABD=x,所以∠BDC=2x,∠C=2x,∠DBC=x,所以有x+2x+2x=180o,x=36o,2x=72o.所以∠A=36o,∠ABC=∠ACB=72o.如圖〔4,在AC上取點G,使AG=BG,CG=CB,設∠A=x,則∠ABG=x,∠BGC=∠CBG=2x,所以,∠ABC=∠ACB=3x,所以x+3x+3x=180o,x=,3x=.所以∠A=,∠ABC=∠ACB=綜上所述,△ABC各內(nèi)角度數(shù)分別為45o,45o,90o或36o,36o,108o或36o,72o,72o或,,CDCDEBA△ADE≌△CDB,所以AE=BC,∠AED=90o,由∠ABC=120o,BD⊥BC,所以∠ABD=30o,所以AB=2AE=2BC10.延長PC到點D,使CD=BP,連接AD.∵∠ABP+∠ACP=180o,∠ACP+∠ACD=180oDPBCADPBCA在△ABP和△ACD中：AB=AC,∠ABP=∠ACD,BP=CD∴△ABP≌△ACD.∴AP=AD,∠BAP=∠CAD.∵∠BAP+∠PAC=60o,∴∠CAD+∠PAC=60o,即∠PAD=60o∴∠PAD=60o∴△PAD是等邊三角形∴AP=PD=PC+CDPAHPAHDEFBC11.過點A作AH⊥BC于H,連接PA、PB、PC.∵S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PACBC.AH=AB.PD+BC.PE+AC.PF又∵AB=BC=AC,∴AH=PD+PE+PF∴PD+PE+PF的值是等邊△ABC的高,是不變的值。12.如圖,延長AE到點F,使EF=AB,連接DF.ADEFBCADEFBC221EDCBA13.延長AB至點E,使BE=BD,連接DE,則∠BED=∠BDE∵∠ABD=∠E+∠BDE,∴∠ABD=2∠E∵∠ABC=2∠C,∴∠E=∠C在△AED和△ACD中：∠E=∠C,∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△ACD∴AC=AE∵AE=AB+BE,∴AC=AB+BD即AB+BD=AC14.提示：證明△BDE≌△FEC15.<1>①CF⊥BD,CF=BD②成立。提示：證明△ABD≌△ACF<2>如右圖,過點A作AG⊥AC交BC于點G,GABFEDC∴∠AGD+∠ACG=90oGABFEDC∵CF⊥BC∴∠ACF+∠ACG=90o,∴∠AGD=∠ACF∵四邊形ADFE是正方形∴∠CAF+∠DAC=90o,AD=AF∴∠GAD=∠CAF在△AGD和△ACF中：∠AGD=∠ACF,∠GAD=∠CAF,AD=AF∴△AGD≌△ACF∴AG=AC∴∠AGC=∠ACG=45o即∠BCA=45o∴當∠BCA=45o時CF⊥BC16.過點A作AQ⊥BC于點Q,FQNMPEDCBA∴∠FQNMPEDCBA∵CE⊥AB∴∠PCN+∠ABQ=90o∴∠BAQ=∠PCN∵PN⊥BC∴∠CNP=90o∴∠AQB=∠CNPPCBAPCBA∴△ABQ≌△CPN∴BQ=PN同理可證：△ACQ≌△BFM,∴CQ=FM∴PN+FM=BQ+CQ,即PN+FM=BC17.作PM⊥BC,PN⊥AC,垂足分別為M、N∴四邊形PMCN是矩形∴PN＝CM∵PB＝PC∴CM＝BM＝BC＝AC∴PN=ACAMNDECBAMNDECB∴在直角△PAN中,∠PAN＝30o∴∠PCA＝∠CPA＝75o∴∠BCP＝90o－75o＝15o18.過點A作AN⊥BC于點N,過點E作EM⊥BC于點M∴∠DME=∠AND=90o,∠DAN+∠ADN=90o∵DE⊥AD∴∠EDM+∠ADN=90o∴∠EDM=∠DAN在△EDM和△DAN中：∠DME=∠AND,∠EDM=∠DAN,DE=AD∴△EDM≌△DAN∴DM=AN,EM=DN∵AB=AC,∠BAC=90o∴BN=AN∴BN=DM∴BN-MN=DM-MN,即BM=DN∴EM=BMNMCANMCAEDB19.提示：過點A作AM⊥BC于點M,過點E作EN⊥BC,交BC的延長線于點N證明△AMD≌△DNE,其余如上題。EBDCA20.EBDCA∵∠BDA=60°,∴△BDE是等邊三角形,∴BD=BE,∠DBE=60°∵△ABC為等邊三角形,∴∠ABC=60°,AB=BC,∴∠ABC=∠DBE∴∠ABC-∠CBE=∠DBE-∠CBE,即∠ABE=∠CBD∵BD=BE,BC=AB,∴△CBD≌△ABE﹙SAS﹚∴CD=AE,∴AD=AE+DE=CD+BD21.提示：證明△ACD≌△BCE,然后證明△AMC≌△BNC∴∠MCA=∠NCB,MC=NC∵∠MCA+∠MCB=60o,∴∠NCB+∠MCB=60o,即∠MCN=60o,∴△CNM為等邊三角形。22.提示：〔1如圖〔1,在AB上截取AH=EC,證明△AHE≌△ECF〔2如圖〔2,延長BA到點H,使AH=EC,證明△AHE≌△ECFHHGECFDBA圖<2>HHDCBA/