北京市2021年高考復習數(shù)學試卷(理科)課件

2021

年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題共

8

小題，每小題

5

分，共

40

分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（5分）已知復數(shù)

z＝2+i，則

z?z

=

（）A．

3B．

5C．3D．5高考2．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的

s

值為（）A．1B．2C．3D．43．（5分）已知直線

l

的參數(shù)方程為{x

=

1

+

3t，?

=

2

+

4?（t

為參數(shù)），則點（1，0）到直線

l

的距離是（）15254565A．B．C．D．?2

?21=

1（a＞b＞0）的離心率為

，則（）?224．（5分）已知橢圓?2A．a(chǎn)2＝2b2+B．3a2＝4b2C．a(chǎn)＝2bD．3a＝4b5．（5分）若

x，y

滿足|x|≤1﹣y，且

y≥﹣1，則

3x+y

的最大值為（）A．﹣7B．1C．5D．712021年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題共8小題16．（5分）在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足

m

﹣m

=21?15lg

，其中星等為

m

的星的亮度為

E

（k＝1，2）．已知太陽的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣kk2

?21.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.1→→→→→7．（5分）設點

A，B，C

不共線，則“AB與AC的夾角為銳角”是“|AB

+

AC|＞|BC|”的（）A．充分而不必要條件C．充分必要條件B．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件8．（5分）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線

C：x2+y2＝1+|x|y

就是其中之一（如圖）．給出下列三個結論：①曲線

C

恰好經(jīng)過

6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線

C

上任意一點到原點的距離都不超過

2；③曲線

C

所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于

3．其中，所有正確結論的序號是（）試卷A．①B．②C．①②D．①②③二、填空題共

6

小題，每小題

5

分，共

30

分。9．（5分）函數(shù)

f（x）＝sin22x

的最小正周期是

．26．（5分）在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描210．（5分）設等差數(shù)列{a

}的前

n

項和為

S

，若

a

＝﹣3，S

＝﹣10，則

a

＝

，S

的最小值nnn255為

．11．（5分）某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為

1，那么該幾何體的體積為

．高考12．（5分）已知

l，m

是平面

α

外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：

．13．（5分）設函數(shù)

f（x）＝ex+ae﹣x（a

為常數(shù)）．若

f（x）為奇函數(shù)，則

a＝

的增函數(shù)，則

a

的取值范圍是

．

；若

f（x）是

R

上14．（5分）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為

60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到

120元，顧客就少付

x

元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的

80%．①當

x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各

1盒，需要支付

元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則

x

的最大值為

．三、解答題共

6

小題，共

80

分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。310．（5分）設等差數(shù)列{a}的前n項和為S，若31215．（13分）在△ABC

中，a＝3，b﹣c＝2，cosB

=-．（Ⅰ）求

b，c

的值；（Ⅱ）求

sin（B﹣C）的值．16．（14分）如圖，在四棱錐

P﹣ABCD

中，PA⊥平面

ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，??1BC＝3．E

為

PD

的中點，點

F

在

PC

上，且??

=

．3（Ⅰ）求證：CD⊥平面

PAD；（Ⅱ）求二面角

F﹣AE﹣P

的余弦值；??2（Ⅲ）設點

G

在

PB

上，且??

=

．判斷直線

AG

是否在平面

AEF

內(nèi)，說明理由．3練17．（13分）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月

A，B

兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了

100人，試卷發(fā)現(xiàn)樣本中

A，B

兩種支付方式都不使用的有

5人，樣本中僅使用

A

和僅使用

B

的學生的支付金額分布情況如下：（0，1000]（1000，2000]大于

2000僅使用

A18人9人3人1人僅使用

B10人14人4115．（13分）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，co4（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取

1人，估計該學生上個月

A，B

兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用

A

和僅使用

B

的學生中各隨機抽取

1人，以

X

表示這

2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求

X

的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用

A

的學生中，隨機抽查

3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于

2000元．根據(jù)抽查結果，能否認為樣本僅使用

A

的學生中本月支付金額大于

2000元的人數(shù)有變化？說明理由．18．（14分）已知拋物線

C：x2＝﹣2py

經(jīng)過點（2，﹣1）．（Ⅰ）求拋物線

C

的方程及其準線方程；（Ⅱ）設

O

為原點，過拋物線

C

的焦點作斜率不為

0的直線

l

交拋物線

C

于兩點

M，N，直線

y＝﹣1分別交直線

OM，ON

于點

A

和點

B．求證：以

AB

為直徑的圓經(jīng)過

y

軸上的兩個定點．119．（13分）已知函數(shù)

f（x）

=

x3﹣x2+x．4（Ⅰ）求曲線

y＝f（x）的斜率為

1的切線方程；（Ⅱ）當

x∈[﹣2，4]時，求證：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）設

F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），記

F（x）在區(qū)間[﹣2，4]上的最大值為

M（a）．當

M（a）最小時，求

a

的值．20．（13分）已知數(shù)列{a

}，從中選取第

i

項、第

i

項、…、第

i

項（i

＜i

＜…＜i

），若

a

＜ai2n12m12mi1＜?＜ai

，則稱新數(shù)列

ai

，ai

，…，ai

為{a

}的長度為

m

的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列{a

}的任意一項?12?nn都是{a

}的長度為

1的遞增子列．n（Ⅰ）寫出數(shù)列

1，8，3，7，5，6，9的一個長度為

4的遞增子列；（Ⅱ）已知數(shù)列{a

}的長度為

p

的遞增子列的末項的最小值為

a

，長度為

q

的遞增子列的末項的最小nm0值為

a

．若

p＜q，求證：a

＜a

；nmn000（Ⅲ）設無窮數(shù)列{a

}的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等．若{a

}的長度為

s

的遞增子列末項的nn5（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B5最小值為

2s﹣1，且長度為

s

末項為

2s﹣1的遞增子列恰有

2s﹣1個（

＝

，

，…），求數(shù)列s12{a

}的通項n公式．6最小值為2s﹣1，且長度為s末項為2s﹣1的遞增子62021

年北京市高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題共

8

小題，每小題

5

分，共

40

分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（5分）（2021?北京）已知復數(shù)

z＝2+i，則

z?z

=

（）A．

3B．

5C．3D．5【考點】A5：復數(shù)的運算．【專題】38：對應思想；4R：轉化法；5N：數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】直接由z

?

?

=

|?|2求解．【解答】解：∵z＝2+i，222

+

12

2)

=

5．∴z?z

=

|z|

=

(故選：D．【點評】本題考查復數(shù)及其運算性質(zhì)，是基礎的計算題．2．（5分）（2021?北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的

s

值為（）試卷72021年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題共8小題7A．1B．2C．3D．4【考點】EF：程序框圖．【專題】11：計算題；27：圖表型；4B：試驗法；5K：算法和程序框圖．【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量

s

的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：模擬程序的運行，可得k＝1，s＝1s＝2不滿足條件

k≥3，執(zhí)行循環(huán)體，k＝2，s＝2不滿足條件

k≥3，執(zhí)行循環(huán)體，k＝3，s＝2此時，滿足條件

k≥3，退出循環(huán)，輸出

s

的值為

2．故選：B．【點評】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題．3．（5分）（2021?北京）已知直線

l

的參數(shù)方程為{x

=

1

+

3t，（t

為參數(shù)），則點（1，0）到直線

l

的距?

=

2

+

4?離是（）15254565A．B．C．D．【考點】IT：點到直線的距離公式；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【專題】34：方程思想；4R：轉化法；5S：坐標系和參數(shù)方程．【分析】消參數(shù)

t

化參數(shù)方程為普通方程，再由點到直線的距離公式求解．8A．1B．2C．3D．4【考點】EF：程序框圖．【專題】118{x

=

1

+

3t【解答】解：由（t

為參數(shù)），消去

t，可得

4x﹣3y+2＝0．?

=

2

+

4?|4

×

1

?

3

×

0

+

2|6則點（1，0）到直線

l

的距離是

d

=故選：D．=

．42

+

(

?

3)25【點評】本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查點到直線距離公式的應用，是基礎題．?2

?24．（5分）（2021?北京）已知橢圓?21+=

1（a＞b＞0）的離心率為

，則（）?22A．a(chǎn)2＝2b2B．3a2＝4b2C．a(chǎn)＝2bD．3a＝4b【考點】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】34：方程思想；4A：數(shù)學模型法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由橢圓離心率及隱含條件

a

＝2b2+c2得答案．?1?2【解答】解：由題意，

=

，得

=

，則1?2

?

?21=

，?2?24?24∴4a

﹣

＝

，即

3a2＝4b224b2

a2．故選：B．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，熟記隱含條件是關鍵，是基礎題．5．（5分）（2021?北京）若

x，y

滿足|x|≤1﹣y，且

y≥﹣1，則

3x+y

的最大值為（）A．﹣7B．1C．5D．7【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】31：數(shù)形結合；4R：轉化法；59：不等式的解法及應用．【分析】由約束條件作出可行域，令

z＝3x+y，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)9{x=1+3t（t為參數(shù)），消去t，可得4x﹣9202解的坐標代入目標函數(shù)得答案．{|x|

≤

1

-

y【解答】解：由作出可行域如圖，?

≥?

1高考{y

=-

1?

+

?

?

1

=

0聯(lián)立，解得

A（2，﹣1），令

z＝3x+y，化為

y＝﹣3x+z，由圖可知，當直線

y＝﹣3x+z

過點

A

時，z

有最大值為

3×2﹣1＝5．故選：C．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．6．（5分）（2021?北京）在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿?15足

m

﹣m

=

lg

，其中星等為

m

的星的亮度為

E

（k＝1，2）．已知太陽的星等是﹣26.7，天狼星21kk2

?2的星等是﹣1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.1【考點】4H：對數(shù)的運算性質(zhì)．【專題】33：函數(shù)思想；4O：定義法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用．?15【分析】把已知熟記代入

m

﹣m

=

lg

，化簡后利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解．212

?2【解答】解：設太陽的星等是

m

＝﹣26.7，天狼星的星等是

m

＝﹣1.45，1210202解的坐標代入目標函數(shù)得答案．{|x|≤1-y作10?51由題意可得：

-

1.45

-

(

-

26.7)

=

2???2，?1∴l(xiāng)g??150.55==

10.1，則?

=

1010.1．22故選：A．【點評】本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎的計算題．→→→→→7．（5分）（2021?北京）設點

A，B，C

不共線，則“AB與AC的夾角為銳角”是“|AB

+

AC|＞|BC|”的（）A．充分而不必要條件C．充分必要條件B．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件．【專題】11：計算題；34：方程思想；4O：定義法；5L：簡易邏輯；64：直觀想象．→→→→→→→→→→【分析】“AB與AC的夾角為銳角”?“|AB

+

AC|＞|BC|”，“|AB

+

AC|＞|BC|”?“AB與AC的夾角為銳角”，由此能求出結果．【解答】解：點

A，B，C

不共線，→→→→→“AB與AC的夾角為銳角”?“|AB

+

AC|＞|BC|”，→→→→→“|AB

+

AC|＞|BC|”?“AB與AC的夾角為銳角”，→→→→→∴設點

A，B，C

不共線，則“AB與AC的夾角為銳角”是“|AB

+

AC|＞|BC|”的充分必要條件．故選：C．【點評】本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，考查向量等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題．11?51由題意可得：-1.45-(-26.7)=118．（5分）（2021?北京）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線

C：x2+y2＝1+|x|y

就是其中之一（如圖）．給出下列三個結論：①曲線

C

恰好經(jīng)過

6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線

C

上任意一點到原點的距離都不超過

2；③曲線

C

所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于

3．高考其中，所有正確結論的序號是（）A．①B．②C．①②D．①②③【考點】2K：命題的真假判斷與應用；KE：曲線與方程．【專題】11：計算題；5L：簡易邏輯．【分析】將

x

換成﹣x

方程不變，所以圖形關于

y

軸對稱，根據(jù)對稱性討論

y

軸右邊的圖形可得．【解答】解：將

x

換成﹣x

方程不變，所以圖形關于

y

軸對稱，當

x＝0時，代入得

y

＝

，∴

＝±

，即曲線經(jīng)過（

，

），（

，﹣

）；21y101012

33當

x＞0時，方程變?yōu)?/p>

y

﹣2xy+x2﹣

＝

，所以△＝

﹣

（

﹣

）≥

，解得

x∈（

，10x24x2100]，所以

x

只能取整數(shù)

1，當

x＝1時，y

﹣

＝

，解得

＝

或

＝

，即曲線經(jīng)過（

，

），（

，

），2y0y0y11011根據(jù)對稱性可得曲線還經(jīng)過（﹣1，0），（﹣1，1），故曲線一共經(jīng)過

6個整點，故①正確．128．（5分）（2021?北京）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美12?2

+

?2當

x＞0時，由

x2+y2＝1+xy

得

x2+y2﹣

＝xy

≤1，（當

x＝y(tǒng)

時取等），2∴x2+y2≤

，∴

x22

+

?2≤2，即曲線

C

上

y

軸右邊的點到原點的距離不超過

2，根據(jù)對稱性可得：曲線

C

上任意一點到原點的距離都不超過

2；故②正確．1在

x

軸上圖形面積大于矩形面積＝1×2＝2，x

軸下方的面積大于等腰直角三角形的面積

=

2×

2

×

1

=

1，因此曲線

C

所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于

2+1＝3，故③錯誤．高考故選：C．【點評】本題考查了命題的真假判斷與應用，屬中檔題．二、填空題共

6

小題，每小題

5

分，共

30

分。?9．（5分）（2021?北京）函數(shù)

f（x）＝sin22x

的最小正周期是

．2【考點】H1：三角函數(shù)的周期性．【專題】11：計算題；57：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．11【分析】用二倍角公式可得

f（x）

=-

???(4?)

+

，然后用周期公式求出周期即可．22【解答】解：∵f（x）＝sin

（2x），211∴f（x）

=-

???(4?)

+

，22?，∴f（x）的周期

T

=

213?2+?2當x＞0時，由x2+y2＝1+xy得13?故答案為：

．2【點評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關鍵是合理使用二倍角公式，屬基礎題．10．（5分）（2021?北京）設等差數(shù)列{a

}的前

n

項和為

S

，若

a

＝﹣3，S

＝﹣10，則

a

＝

0

，S

的nn255n最小值為﹣10

．【考點】84：等差數(shù)列的通項公式；85：等差數(shù)列的前

n項和．【專題】11：計算題；34：方程思想；4O：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；62：邏輯推理．【分析】利用等差數(shù)列{a

}的前

n

項和公式、通項公式列出方程組，能求出

a

＝﹣4，d＝1，由此能求n1出

a

的

S

的最小值．5n【解答】解：設等差數(shù)列{a

}的前

n

項和為

S

，a

＝﹣3，S

＝﹣10，nn25a

+

?

=?

31∴{?

=?

10，5

×

45?

+12解得

a

＝﹣4，d＝1，1∴a

＝a

+4d＝﹣4+4×1＝0，51?(?

?

1)?(?

?

1)19818

，S

=

n?

+?

=?

4n

+=

（n

-

）2

-n12222∴n＝4或

n＝5時，S

取最小值為

S

＝S

＝﹣10．n45故答案為：0，﹣10．【點評】本題考查等差數(shù)列的第

5項的求法，考查等差數(shù)列的前

n

項和的最小值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題．11．（5分）（2021?北京）某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為

1，那么該幾何體的體積為

40

．14?2【點評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關鍵是合理使用二1420高考【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】31：數(shù)形結合；4R：轉化法；5F：空間位置關系與距離．【分析】由三視圖還原原幾何體，然后利用一個長方體與一個棱柱的體積作和求解．【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，練試卷該幾何體是把棱長為

4的正方體去掉一個四棱柱，1則該幾何體的體積

V

=

4

×

2

×

2

+

(2

+

4)

×

2

×

4

=

40．2故答案為：40．【點評】本題考查由三視圖求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．12．（5分）（2021?北京）已知

l，m

是平面

α

外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：1520高考【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】31：數(shù)15①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：若

l⊥α，l⊥m，則m∥α

．【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系．【專題】11：計算題；35：轉化思想；4R：轉化法；5F：空間位置關系與距離；64：直觀想象．【分析】由

l，m

是平面

α

外的兩條不同直線，利用線面平行的判定定理得若

l⊥α，l⊥m，則

m∥α．【解答】解：由

l，m

是平面

α

外的兩條不同直線，知：由線面平行的判定定理得：若

l⊥α，l⊥m，則

m∥α．故答案為：若

l⊥α，l⊥m，則

m∥α．【點評】本題考查滿足條件的真命題的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．13．（5分）（2021?北京）設函數(shù)

f（x）＝ex+ae﹣x（a

為常數(shù)）．若

f（x）為奇函數(shù)，則

a＝﹣1

；若

f（x）是

R

上的增函數(shù)，則

a

的取值范圍是（﹣∞，0]

．【考點】3E：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷；3K：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷．【專題】11：計算題；34：方程思想；35：轉化思想；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】對于第一空：由奇函數(shù)的定義可得

f（﹣x）＝﹣f（x），即

e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x），變形可得分析可得

a

的值，即可得答案；對于第二空：求出函數(shù)的導數(shù)，由函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關系分析可得

f（x）的導數(shù)

f′（x）＝e

﹣xae﹣x≥0在

R

上恒成立，變形可得：a≤e2x

恒成立，據(jù)此分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)

f（x）＝ex+ae﹣x，16①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的兩個論斷作為條件，余下16若

f（x）為奇函數(shù)，則

f（﹣x）＝﹣f（x），即

e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x），變形可得

＝﹣

，a1函數(shù)

f（x）＝ex+ae﹣x，導數(shù)

′（

）＝

﹣fxex

ae﹣x若

f（x）是

R

上的增函數(shù)，則

f（x）的導數(shù)

f′（x）＝e

﹣ae﹣x≥

在R

上恒成立，x0變形可得：a≤e

恒成立，分析可得

≤

，即

的取值范圍為（﹣∞，

；2xa0a0]故答案為：﹣1，（﹣∞，0]．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定，關鍵是理解函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義，屬于基礎題．14．（5分）（2021?北京）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為

60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到

120元，顧客就少付

x

元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的

80%．①當

x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各

1盒，需要支付

130

元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則

x

的最大值為15

．【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】34：方程思想；48：分析法；59：不等式的解法及應用．【分析】①由題意可得顧客一次購買的總金額，減去

x，可得所求值；②在促銷活動中，設訂單總金額為

m

元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%，解不等式，結合恒成立思想，可得

x

的最大值．【解答】解：①當

x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各

1盒，可得

60+80＝140（元），即有顧客需要支付

140﹣10＝130（元）；②在促銷活動中，設訂單總金額為

m

元，17若f（x）為奇函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x17可得（m﹣x）×80%≥m×70%，?即有

x

≤

8，由題意可得

m≥120，120可得

x

≤=

15，8則

x

的最大值為

15元．故答案為：130，15【點評】本題考查不等式在實際問題的應用，考查化簡運算能力，屬于中檔題．三、解答題共

6

小題，共

80

分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。115．（13分）（2021?北京）在△ABC

中，a＝3，b﹣c＝2，cosB

=-

2．（Ⅰ）求

b，c

的值；（Ⅱ）求

sin（B﹣C）的值．【考點】HR：余弦定理．【專題】11：計算題；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理可得

b

＝a2+c2﹣2accosB，代入已知條件即可得到關于

b

的方程，解方程2即可；（Ⅱ）sin（B﹣C）＝sinBcosC﹣cosBsinC，根據(jù)正弦定理可求出

sinC，然后求出

cosC，代入即可得解．1【解答】解：（Ⅰ）∵a＝3，b﹣c＝2，cosB

=-

2．∴由余弦定理，得

b

＝a2+c2﹣2accosB218可得（m﹣x）×80%≥m×70%，?即有x≤8，由題1812=

9

+

(b

-

2)

?

2

×

3

×

(?

?

2)

×

(

?

)，2∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；13，（Ⅱ）在△ABC

中，∵cosB

=-

，∴sinB

=

22??，由正弦定理有：=????

????35

×

27?????5

314

，∴sinC

===?∵b＞c，∴B＞C，∴C

為銳角，11∴cosC

=，14∴sin（B﹣C）＝sinBcosC﹣cosBsinC3=

2111415

314×?

(

?

)

×24

37

．=【點評】本題考查了正弦定理余弦定理和兩角差的正弦公式，屬基礎題．16．（14分）（2021?北京）如圖，在四棱錐

P﹣ABCD

中，PA⊥平面

ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝??1AD＝CD＝2，BC＝3．E

為

PD

的中點，點

F

在

PC

上，且??

=

．3（Ⅰ）求證：CD⊥平面

PAD；（Ⅱ）求二面角

F﹣AE﹣P

的余弦值；??2（Ⅲ）設點

G

在

PB

上，且??

=

．判斷直線

AG

是否在平面

AEF

內(nèi)，說明理由．31912=9+(b-2)?2×3×(??1920【考點】LW：直線與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】14：證明題；31：數(shù)形結合；41：向量法；5F：空間位置關系與距離；5G：空間角；63：數(shù)學建模．【分析】（Ⅰ）推導出

PA⊥CD，AD⊥CD，由此能證明

CD⊥平面

PAD．（Ⅱ）以

A

為原點，在平面

ABCD

內(nèi)過

A

作

CD

的平行線為

x

軸，AD

為

y

軸，AP

為

z

軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角

F﹣AE﹣P

的余弦值．→42→→→（Ⅲ）求出AG

=

（

，0，

），平面

AEF

的法向量m

=

（1，1，﹣1），m

?

??

=

0，從而直線

AG

在平面33AEF

內(nèi)．【解答】證明：（Ⅰ）∵PA⊥平面

ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面

PAD．解：（Ⅱ）以

A

為原點，在平面

ABCD

內(nèi)過

A

作

CD

的平行線為

x

軸，AD

為

y

軸，AP

為

z

軸，建立空間直角坐標系，2

2

4A（0，0，0），E（0，1，1），F(xiàn)（

，

，

），3

3

3P（0，0，2），B（2，﹣1，0），→→2

2

4AE

=

（0，1，1），AF

=

（

，

，

），3

3

32020【考點】LW：直線與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法20→平面

AEP

的法向量n

=

（1，0，0），→設平面

AEF

的法向量m

=

（x，y，z），→m→→?

??

=

?

+

?

=

0{→則

→224，取

x＝1，得m

=

（1，1，﹣1），?

?

??

=

?

+

?

+

?

=

0333設二面角

F﹣AE﹣P

的平面角為

θ，→→|?

?

?|13則

cosθ

==3

=

3．→→|?|

?

|?|3∴二面角

F﹣AE﹣P

的余弦值為

3．（Ⅲ）直線

AG

在平面

AEF

內(nèi)，理由如下：??∵點

G

在

PB

上，且

=

．∴G（

，

-

，

），??

3

3242

233→42

2∴AG

=

（

，

-

，

），3

33→∵平面

AEF

的法向量m

=

（1，1，﹣1），→→4

2

2m

?

??

=

?

?

=

0，3

3

3故直線

AG

在平面

AEF

內(nèi)．21→平面AEP的法向量n=（1，0，0），→設平面A21202高考復【點評】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查直線是否在已知平面內(nèi)的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．17．（13分）（2021?北京）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月

A，B

兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了

100人，發(fā)現(xiàn)樣本中

A，B

兩種支付方式都不使用的有

5人，樣本中僅使用

A

和僅使用

B

的學生的支付金額分布情況如下：（0，1000]（1000，2000]大于

2000僅使用

A僅使用

B18人10人9人3人1人14人（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取

1人，估計該學生上個月

A，B

兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用

A

和僅使用

B

的學生中各隨機抽取

1人，以

X

表示這

2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求

X

的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用

A

的學生中，隨機抽查

3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于

2000元．根據(jù)抽查結果，能否認為樣本僅使用

A

的學生中本月支付金額大于

2000元的人數(shù)有變化？說明理由．22202高考復【點評】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦22【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5I：概率與統(tǒng)計；66：數(shù)據(jù)分析．【分析】（Ⅰ）從全校所有學生中隨機抽取的

100人中，A，B

兩種支付方式都不使用的有

5人，僅使用

A

的有

30人，僅使用

B

的有

25人，從而

A，B

兩種支付方式都使用的人數(shù)有

40人，由此能求出從全校學生中隨機抽取

1人，估計該學生上個月

A，B

兩種支付方式都使用的概率．（Ⅱ）從樣本僅使用

A

和僅使用

B

的學生中各隨機抽取

1人，以

X

表示這

2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，則

X

的可能取值為

0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出

X

的分布列和數(shù)學期望

E（X）．（Ⅲ）從樣本僅使用

A

的學生有

30人，其中

27人月支付金額不大于

2000元，有

3人月支付金額大3?13于

2000元，隨機抽查

3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于

2000元的概率為

p

=認為認為樣本僅使用

A

的學生中本月支付金額大于

2000元的人數(shù)有變化．【解答】解：（Ⅰ）由題意得：=，不能3304060?從全校所有學生中隨機抽取的

100人中，A，B

兩種支付方式都不使用的有

5人，僅使用

A

的有

30人，僅使用

B

的有

25人，∴A，B

兩種支付方式都使用的人數(shù)有：100﹣5﹣30﹣25＝40，40∴從全校學生中隨機抽取

1人，估計該學生上個月

A，B

兩種支付方式都使用的概率

p

=

100

=

0.4．（Ⅱ）從樣本僅使用

A

和僅使用

B

的學生中各隨機抽取

1人，以

X

表示這

2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，則

X

的可能取值為

0，1，2，樣本僅使用

A

的學生有

30人，其中支付金額在（0，1000]的有

18人，超過

1000元的有

12人，23【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；CH：離散型隨機變量23樣本僅使用

B

的學生有

25人，其中支付金額在（0，1000]的有

10人，超過

1000元的有

15人，18

10

1806，P（X＝0）

=P（X＝1）

=P（X＝2）

=×==30

25

750

2518

15

12

10

390

13，30

25

30

25

750

2512

15

180×+×==6，30

25

750

25×==∴X

的分布列為：X012613256P2525613256+

2

×

=

1．數(shù)學期望

E（X）

=

0

×

25

+

1

×25（Ⅲ）不能認為樣本僅使用

A

的學生中本月支付金額大于

2000元的人數(shù)有變化，理由如下：從樣本僅使用

A

的學生有

30人，其中

27人月支付金額不大于

2000元，有

3人月支付金額大于

2000元，3?13隨機抽查

3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于

2000元的概率為

p

==，3304060?1雖然概率較小，但發(fā)生的可能性為4060．故不能認為認為樣本僅使用

A

的學生中本月支付金額大于

2000元的人數(shù)有變化．【點評】本題考查概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，考查古典概型、相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查推理能力與計算能力，是中檔題．18．（14分）（2021?北京）已知拋物線

C：x2＝﹣2py

經(jīng)過點（2，﹣1）．24樣本僅使用B的學生有25人，其中支付金額在（0，1024（Ⅰ）求拋物線

C

的方程及其準線方程；（Ⅱ）設

O

為原點，過拋物線

C

的焦點作斜率不為

0的直線

l

交拋物線

C

于兩點

M，N，直線

y＝﹣1分別交直線

OM，ON

于點

A

和點

B．求證：以

AB

為直徑的圓經(jīng)過

y

軸上的兩個定點．【考點】KN：直線與拋物線的綜合．【專題】34：方程思想；48：分析法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）代入點（2，﹣1），解方程可得

p，求得拋物線的方程和準線方程；（Ⅱ）拋物線

x

＝﹣

的焦點為

（

，﹣

），設直線方程為

＝

﹣

，聯(lián)立拋物線方程，運用韋達定理，以及直線的斜率和方程，求得

A，B

的坐標，可得

AB

為直徑的圓方程，可令

x＝0，解方程，即可得到所求定點．24yF01ykx1【解答】解：（Ⅰ）拋物線

C：x

＝﹣2py

經(jīng)過點（

，﹣

）．可得

＝2p，即

＝

，2214p2可得拋物線

C

的方程為

x

＝﹣4y，準線方程為

＝

；2y

1（Ⅱ）證明：拋物線

x

＝﹣4y

的焦點為

（

，﹣

），2F01設直線方程為

y＝kx﹣1，聯(lián)立拋物線方程，可得

x2+4kx﹣

＝

，40設

M（x

，y

），N（x

，y

），1122可得

x

+x

＝﹣4k，x

x

＝﹣4，121

2?1?1直線

OM

的方程為

y

=

?1x，即

y

=-

4

x，?2?2直線

ON

的方程為

y

=

?2x，即

y

=-

4

x，44可得

A（

，﹣1），B（

，﹣1），??2111?

4?可得

AB

的中點的橫坐標為

2（?1

+

?2）＝2?

?

4

=

2k，即有

AB

為直徑的圓心為（2k，﹣1），25（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程；（Ⅱ）設O為原點252|??|

1

4半徑為

2

=

|

?

?

|＝2?2

?416?

+

162=

2

1

+

?

，412可得圓的方程為（x﹣2k）

（2+

y+1）

＝

（1+k2），24化為

x

﹣4kx+（y+1）

＝

，224由

x＝0，可得

y＝1或﹣3．則以

AB

為直徑的圓經(jīng)過

y

軸上的兩個定點（0，1），（0，﹣3）．【點評】本題考查拋物線的定義和方程、性質(zhì)，以及圓方程的求法，考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．119．（13分）（2021?北京）已知函數(shù)

f（x）

=

x3﹣x2+x．4（Ⅰ）求曲線

y＝f（x）的斜率為

1的切線方程；（Ⅱ）當

x∈[﹣2，4]時，求證：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）設

F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），記

F（x）在區(qū)間[﹣2，4]上的最大值為

M（a）．當

M（a）最小時，求

a

的值．【考點】6E：利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】15：綜合題；31：數(shù)形結合；33：函數(shù)思想；4R：轉化法；53：導數(shù)的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求導數(shù)

f′（x），由

f′（x）＝1求得切點，即可得點斜式方程；（Ⅱ）把所證不等式轉化為﹣6≤f（x）﹣x≤0，再令

g（x）＝f（x）﹣x，利用導數(shù)研究

g（x）在[﹣2，4]的單調(diào)性和極值點即可得證；（Ⅲ）先把

F（x）化為|g（x）﹣a|，再利用（Ⅱ）的結論，引進函數(shù)

h（t）＝|t﹣a|，結合絕對值函數(shù)的對稱性，單調(diào)性，通過對稱軸

t＝a

與﹣3的關系分析即可．32【解答】解：（Ⅰ）f′（x）

=

?

?

2?

+

1，4262|??|14416?+162=21+?，268由

f′（x）＝1得

x（x

-

）＝0，38得x

=

0，?

=

．12388又

f（0）＝0，f（

）

=，32788=

?

?

，3∴y＝x

和y

-276427即

y＝x

和

y＝x

-；（Ⅱ）證明：欲證

x﹣6≤f（x）≤x，只需證﹣6≤f（x）﹣x≤0，132令

g（x）＝f（x）﹣x

=

?

?

?

，x∈[﹣2，4]，43382則

g′（x）

=

?

?

2?

=

?(?

?

)，44388可知

g′（x）在[﹣2，0]為正，在（0，

）為負，在[

，4]為正，3388∴g（x）在[﹣2，0]遞增，在[0，

]遞減，在[

，4]遞增，3386427又

g（﹣2）＝﹣6，g（0）＝0，g（

）

=-＞

?

6，g（4）＝0，3∴﹣6≤g（x）≤0，∴x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，F(xiàn)（x）＝|f（x）﹣（x+a）|＝|f（x）﹣x﹣a|＝|g（x）﹣a|278由f′（x）＝1得x（x-）＝0，38得x=27∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，令

t＝g（x），h（t）＝|t﹣a|，則問題轉化為當

t∈[﹣6，0]時，h（t）的最大值

M（a）的問題了，高考復①當

a≤﹣3時，M（a）＝h（0）＝|a|＝﹣a，此時﹣a≥3，當

a＝﹣3時，M（a）取得最小值

3；②當

a≥﹣3時，M（a）＝h（﹣6）＝|﹣6﹣a|＝|6+a|，∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a，也是

a＝﹣3時，M（a）最小為

3．綜上，當

M（a）取最小值時

a

的值為﹣3．【點評】此題考查了導數(shù)的綜合應用，構造法，轉化法，數(shù)形結合法等，難度較大．20．（13分）（2021?北京）已知數(shù)列{a

}，從中選取第

i

項、第

i

項、…、第

i

項（i

＜i

＜…＜i

），若n12m12ma

＜a

＜?＜a

，則稱新數(shù)列

a

，a

，…，a

為{a

}的長度為

m

的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列{a

}的任iiiiiinn12?12?意一項都是{a

}的長度為

1的遞增子列．n（Ⅰ）寫出數(shù)列

1，8，3，7，5，6，9的一個長度為

4的遞增子列；（Ⅱ）已知數(shù)列{a

}的長度為

p

的遞增子列的末項的最小值為

a

，長度為

q

的遞增子列的末項的最小nm0值為

a

．若

p＜q，求證：a

＜a

；nmn00028∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，令t＝g（x），h28（Ⅲ）設無窮數(shù)列{a

}的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等．若{a

}的長度為

s

的遞增子列末項的nn最小值為

2s﹣1，且長度為

s

末項為

2s﹣1的遞增子列恰有

2s﹣1個（

＝

，

，…），求數(shù)列{a

}的通項ns12公式．【考點】8B：數(shù)列的應用．【專題】49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；59：不等式的解法及應用．【分析】（I）1，3，5，6．答案不唯一．（II）考慮長度為

q

的遞增子列的前

p

項可以組成長度為

p

的一個遞增子列，可得a

＞該數(shù)列的第

p?0項

≥

?

，即可證明結論．?0（III）考慮

2s﹣1與

2s

這一組數(shù)在數(shù)列中的位置．若{a

}中有

2s，在

2s

在

2s﹣1之后，則必然在長度n為

s+1，且末項為

2s

的遞增子列，這與長度為

s

的遞增子列末項的最小值為

2s﹣1矛盾，可得

2s

必在2s﹣1之前．繼續(xù)考慮末項為

2s+1的長度為

s+1的遞增子列．因此對于數(shù)列

2n﹣1，2n，由于

2n

在

2n﹣1之前，可得研究遞增子列時，不可同時取

2n

與

2n﹣1，即可得出：遞增子列最多有

2

個．由題意，這

s

組數(shù)列對全部存在于原數(shù)列中，并且全在

2s+1之前．可得

2，1，4，3，6，5，……，是唯一構造．s【解答】解：（I）1，3，5，6．（II）證明：考慮長度為

q

的遞增子列的前

p

項可以組成長度為

p

的一個遞增子列，∴a

＞該數(shù)列的第

p

項

≥

?

，?0?0∴a

＜a

．??00（III）解：考慮

2s﹣1與

2s

這一組數(shù)在數(shù)列中的位置．若{a

}中有

2s，在

2s

在

2s﹣1之后，則必然在長度為

s+1，且末項為

2s

的遞增子列，n這與長度為

s

的遞增子列末項的最小值為

2s﹣1矛盾，∴2s

必在

2s﹣1之前．繼續(xù)考慮末項為

2s+1的長度為

s+1的遞增子列．29（Ⅲ）設無窮數(shù)列{a}的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等29∵對于數(shù)列

2n﹣1，2n，由于

2n

在

2n﹣1之前，∴研究遞增子列時，不可同時取

2n

與

2n﹣1，∵對于

1至

2s

的所有整數(shù)，研究長度為

s+1的遞增子列時，第

1項是

1與

2二選

1，第

2項是

3與

4二選

1，……，第

s

項是

2s﹣1與

2s

二選

1，故遞增子列最多有

2

個．由題意，這

組數(shù)列對全部存在于原數(shù)列中，并且全在

2s+1之前．ss∴2，1，4，3，6，5，……，是唯一構造．即

a

＝2k﹣1，a＝2k，k∈N

．*2k2k﹣1【點評】本題考查了數(shù)列遞推關系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了邏輯推理能力、分析問題與解決問題的能力，屬于難題．30∵對于數(shù)列2n﹣1，2n，由于2n在2n﹣1之前，302021

年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題共

8

小題，每小題

5

分，共

40

分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（5分）已知復數(shù)

z＝2+i，則

z?z

=

（）A．

3B．

5C．3D．5高考2．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的

s

值為（）A．1B．2C．3D．43．（5分）已知直線

l

的參數(shù)方程為{x

=

1

+

3t，?

=

2

+

4?（t

為參數(shù)），則點（1，0）到直線

l

的距離是（）15254565A．B．C．D．?2

?21=

1（a＞b＞0）的離心率為

，則（）?224．（5分）已知橢圓?2A．a(chǎn)2＝2b2+B．3a2＝4b2C．a(chǎn)＝2bD．3a＝4b5．（5分）若

x，y

滿足|x|≤1﹣y，且

y≥﹣1，則

3x+y

的最大值為（）A．﹣7B．1C．5D．712021年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題共8小題316．（5分）在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足

m

﹣m

=21?15lg

，其中星等為

m

的星的亮度為

E

（k＝1，2）．已知太陽的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣kk2

?21.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.1→→→→→7．（5分）設點

A，B，C

不共線，則“AB與AC的夾角為銳角”是“|AB

+

AC|＞|BC|”的（）A．充分而不必要條件C．充分必要條件B．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件8．（5分）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線

C：x2+y2＝1+|x|y

就是其中之一（如圖）．給出下列三個結論：①曲線

C

恰好經(jīng)過

6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線

C

上任意一點到原點的距離都不超過

2；③曲線

C

所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于

3．其中，所有正確結論的序號是（）試卷A．①B．②C．①②D．①②③二、填空題共

6

小題，每小題

5

分，共

30

分。9．（5分）函數(shù)

f（x）＝sin22x

的最小正周期是

．26．（5分）在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描3210．（5分）設等差數(shù)列{a

}的前

n

項和為

S

，若

a

＝﹣3，S

＝﹣10，則

a

＝

，S

的最小值nnn255為

．11．（5分）某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為

1，那么該幾何體的體積為

．高考12．（5分）已知

l，m

是平面

α

外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：

．13．（5分）設函數(shù)

f（x）＝ex+ae﹣x（a

為常數(shù)）．若

f（x）為奇函數(shù)，則

a＝

的增函數(shù)，則

a

的取值范圍是

．

；若

f（x）是

R

上14．（5分）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為

60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到

120元，顧客就少付

x

元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的

80%．①當

x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各

1盒，需要支付

元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則

x

的最大值為

．三、解答題共

6

小題，共

80

分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。310．（5分）設等差數(shù)列{a}的前n項和為S，若331215．（13分）在△ABC

中，a＝3，b﹣c＝2，cosB

=-．（Ⅰ）求

b，c

的值；（Ⅱ）求

sin（B﹣C）的值．16．（14分）如圖，在四棱錐

P﹣ABCD

中，PA⊥平面

ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，??1BC＝3．E

為

PD

的中點，點

F

在

PC

上，且??

=

．3（Ⅰ）求證：CD⊥平面

PAD；（Ⅱ）求二面角

F﹣AE﹣P

的余弦值；??2（Ⅲ）設點

G

在

PB

上，且??

=

．判斷直線

AG

是否在平面

AEF

內(nèi)，說明理由．3練17．（13分）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月

A，B

兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了

100人，試卷發(fā)現(xiàn)樣本中

A，B

兩種支付方式都不使用的有

5人，樣本中僅使用

A

和僅使用

B

的學生的支付金額分布情況如下：（0，1000]（1000，20