2008年高考數(shù)學(xué)試題

2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)含答案本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．第Ⅰ卷1至2頁．第Ⅱ卷3至10頁．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷注意事項：1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目涂寫在答題卡上．2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．不能答在試題卷上．3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．參考公式：如果事件如果事件互斥，那么球的表面積公式相互獨立，那么其中表示球的半徑球的體積公式如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生次的概率其中表示球的半徑一、選擇題1．設(shè)集合A．，（）B．C．D．【答案】B【解析】，，【高考考點】集合的運算，整數(shù)集的符號識別?！驹u注】歷年來高考數(shù)學(xué)第一個小題一般都是集合問題，都超簡單。其實集合問題是可以出難題的，但高考中的集合問題比較簡單。需要注意的是：很多復(fù)習(xí)書都把集合作為高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的起點，我認為這是不妥當(dāng)?shù)模咧械募蠁栴}涉及到的集合知識并不多（就是一種表達方式），其難度主要體現(xiàn)在知識的綜合性上，學(xué)生應(yīng)當(dāng)先學(xué)習(xí)其他知識，再在集合中綜合。建議把“數(shù)學(xué)的基本運算”作為高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的起點，學(xué)生花1個月的時間溫習(xí)、強化初等數(shù)學(xué)的基本運算是必要的，重要的，也是值得的。數(shù)學(xué)的基本運算具體包括的內(nèi)容可以參考本人編寫的《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專用教材》2．設(shè)且，若復(fù)數(shù)是實數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因是實數(shù)且，所以【高考考點】復(fù)數(shù)的基本概念、基本運算，立方和公式（基本運算）【評注】很多學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過立方和公式，不會用立方和公式一步到位地展開，有人按進行展開，也有人按進行展開，還有人用二項式定理進行展開，這都是可行的思路。但是，學(xué)生就此產(chǎn)生浮躁、急躁情緒。這才第二題，就要如此大動干戈？！建議：（一）數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)一定要塌實，該硬的硬，例如：對數(shù)指數(shù)運算是否過關(guān)，是否能熟練運用楊輝三角進行二項式展開，這都是基本的硬工夫。復(fù)習(xí)時，要把練就硬功夫放在第一位。技巧也要學(xué)，但那是第二位的東西。（二）數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不要老盯著高考，高考指定要考的當(dāng)然要學(xué)習(xí)，高考沒有指明要考的，也要適當(dāng)學(xué)習(xí)。這就是老師的任務(wù)啦。作為學(xué)生要聽話。（三）要注意提高心理素質(zhì)。要能憋得住。要有韌性。從這個角度講，本題有考察學(xué)生心理素質(zhì)的意圖。3．函數(shù)的圖像關(guān)于（）B．直線D．直線A．軸對稱對稱C．坐標(biāo)原點對稱對稱【答案】C【解析】是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點對稱【高考考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)、對稱【評注】對常見函數(shù)的圖象、奇偶性、單調(diào)性等主要性質(zhì)一定要了如指掌，做到脫口而出。本題可以取點進行排除。?。?，0）點，而（0，1）點無意義，有（-1，0）點，于是排除B、D，再取，有點排除A，確定C是正確的。這樣的方法也能體現(xiàn)出學(xué)生的基本能力，有些學(xué)生取點進行驗證都出錯，都心慌，說明平時的學(xué)習(xí)是何等的被動、漂浮啊。對稱問題也是初等數(shù)學(xué)中的基本問題，本人編寫的《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專用教材》列有專講。對稱也是高考數(shù)學(xué)熱點、重點之一。此題并沒有什么新奇之處。和第二題相比，本題要簡單點。本卷在題目難度的安排上已經(jīng)有點不按規(guī)則出牌了。但我覺得和外國的高考試題相比，中國的高考試題更具體，抽象感和理論感明顯遜色。這道題目也暴露出我國學(xué)生抽象思維能力不足的弱點，這道題還不算太抽象呢！4．若，則（）C．<<D．<<A．<<【答案】CB．<<【解析】取，<<也可以如下解：當(dāng)然從比較費時間?！靖呖伎键c】對數(shù)的基本基本運算、比較實數(shù)的大小?！驹u注】這類問題用特值法是非常容易搞定的，但也有人缺乏數(shù)字感覺，不能取到內(nèi)合適的數(shù)，也有人取成導(dǎo)致錯誤，這就是基礎(chǔ)不牢固的表現(xiàn)。取值時候，應(yīng)該多試，注意驗證，確定取對后再運算。否則“后”功盡棄。5．設(shè)變量滿足約束條件：，則的最小值（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖作出可行域，知可行域的頂點是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，于是【高考考點】簡單的線性規(guī)劃。大家要注意，各地高考試題中已經(jīng)出現(xiàn)比較復(fù)雜靈活的線性規(guī)劃問題，要注意學(xué)習(xí)和領(lǐng)會，估計今后的線性規(guī)劃問題不會老停留在初級階段?！驹u注】這是個簡單題，但也離不開運算6．從20名男同學(xué)，10名女同學(xué)中任選3名參加體能測試，則選到的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的概率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【高考考點】排列組合應(yīng)用，概率基本知識，分類討論思想。往年高考題中的排列組合比這難?！驹u注】本題可以使用正難則反的方法去做。7．的展開式中的系數(shù)是（）A．B．C．3D．4【答案】B【解析】【易錯提醒】容易漏掉項或該項的負號【評注】本人的方法是寫出楊輝三角分別硬展，再取舍，也很簡單。如果想到再判斷出的系數(shù)是也非常簡單啊。和8．若動直線與函數(shù)的圖像分別交于兩點，則的最大值為（）A．1【答案】B【解析】在同一坐標(biāo)系中作出B．C．D．2及在的圖象，由圖象知，當(dāng)，即時，得，，∴【高考考點】三角函數(shù)的圖象，兩點間的距離【評注】本例就是求在上的最大值，只不過在表達上繞了個彎。考查學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)語言理解能力。本題不難，但有味道。文科試題也有本題，就是直接表達的。【備考提示】函數(shù)圖像問題是一個?？汲Ｐ碌膯栴}。9．設(shè)A．，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）B．C．D．【答案】B【解析】，因為是減函數(shù)，所以當(dāng)時，所以，即【高考考點】解析幾何與函數(shù)的交匯點【評注】本題可以使用特值法進行判斷，也可以使用帶入法進行排除。兩者最好能結(jié)合起來。再由知道，問題轉(zhuǎn)化成定區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題，就容易解決了。不是很難吧。代入法是這樣的：假設(shè)正確的。，合題設(shè)?？梢耘懦鼳、C、D確定B是10．已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】連接AC、BD交于O，連接OE，因OE∥SD.所以∠AEO為所求。設(shè)側(cè)棱長與底面邊長都等于2，則在⊿AEO中，OE＝1,AO＝，AE=，于是【評注】本題是比較簡單的，屬于立體幾何中的常規(guī)題目，平常練習(xí)中這類題目很常見。處理手段也很平常。11．等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為（）A．3B．2C．D．【答案】A【解析】，，設(shè)底邊為由題意，到所成的角等于到所成的角于是有再將A、B、C、D代入驗證得正確答案是A?！靖呖伎键c】兩直線成角的概念及公式【備考提示】本題是由教材的一個例題改編而成。（人教版P49例7）。做題時應(yīng)該畫一個草圖，可以斷定C、D是錯誤的，這樣代A、B驗證即可。方法二：由于有的同學(xué)對直線的到角公式不太熟悉（不能確定誰減去誰），因此想使用夾角公式，也是可以的。從題意可以知道：與是等腰三角形腰所在，求的是底邊作在直線的斜率，因此腰和底邊所成的角度就是腰和底邊所成的夾角的大小。從而有：結(jié)合觀察出來的將k=3代入驗算，正確，選A。不用擔(dān)心漏值。12．已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓．若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】設(shè)兩圓的圓心分別為對角線,而、，球心為，公共弦為AB，其中點為E，則為矩形，于是，∴立體幾何中的球體問題主要障礙就在圖象，我們采取特殊的位置的方法解決問題。取水平截面為大圓，另一圓為豎直面，再平面化如下圖：B=2，B=1BA，∴【高考考點】球的有關(guān)概念，兩平面垂直的性質(zhì)【評注】在解析幾何和立體幾何中，第10題、第11題、第12題均沒有給圖，含有考查學(xué)生作圖能力的意圖?！颈救藢x擇題目的總看法】題目本身不是太難，但除了第1題、第3題外，都需要進行一定量的運算，可見，本年題目把考查運算能力放在了一個十分突出的位置。有考生反映：光選擇題目就做了40多分鐘。其實這可能還算比較快的了，有的考生在選擇題上用時超過1個小時。第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．設(shè)向量【答案】2，若向量與向量共線，則．【解析】＝則向量與向量共線【評注】剛剛從荊棘叢中掙扎出來的考生，怎么也不相信第13題會如此簡單，很多人進行了驗算?？忌男睦碛忠淮问艿?jīng)_擊。14．設(shè)曲線【答案】2在點處的切線與直線垂直，則．【解析】，∴切線的斜率，所以由得【評注】又是這么簡單，沒有任何懸念。15．已知是拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于兩點．設(shè)，則與的比值等于．【答案】【解析】設(shè)A（，）B（，）由，，（）；∴由拋物線的定義知這是用圓錐曲線定義做的。也可以使用下面的方法：作垂直x軸于，作垂直x軸于，于是相似，于是應(yīng)該求出直線AB和拋物線的焦點（消去x）拋物線【高考考點】直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線定義的應(yīng)用，一元二次方程求根，簡單的平面幾何知識（看考生做哪條解題路線）【評注】本題也不難。以往填空題目使考生望而生畏，成為丟分的重災(zāi)區(qū)，可是2008年的高考數(shù)學(xué)填空題目，也太簡單了點吧。到目前為止，15道題目除第8題的表達稍微有點新意之外，都是老面孔。有人認為（見《西海都市報》有關(guān)報道）本運算量大，本人不敢茍同。16．平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：充要條件①；．充要條件②（寫出你認為正確的兩個充要條件）【答案】兩組相對側(cè)面分別平行；一組相對側(cè)面平行且全等；對角線交于一點；底面是平行四邊形．注：上面給出了四個充要條件．如果考生寫出其他正確答案，同樣給分．【評注】很多考生對直棱柱、正棱柱、正棱錐之類的概念不是很清楚，面對本題毫無頭緒。也有的考生表達能力欠缺，知道條件，但就是表達不出來，或表達不到位。建議大家讀讀數(shù)學(xué)書，去欣賞欣賞數(shù)學(xué)中的語言美，不要一提數(shù)學(xué)，就是算。本題考查了學(xué)生類比能力。這類題目已經(jīng)在上海卷中出現(xiàn)好幾年了。建議大家有時間的話看看上海卷，尤其是志懷高遠的學(xué)生，要仔細研究上海卷。三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）在中，，．（Ⅰ）求（Ⅱ）設(shè)的值；的面積，求的長．解：（Ⅰ）由，得．，由，得所以．5分（Ⅱ）由得，由（Ⅰ）知，故又，8分，．故，所以．10分方法二：A這種解法，充分利用了已知條件，有點代數(shù)技巧的味道。BC18．（本小題滿分12分）購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為．（Ⅰ）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率；（Ⅱ）設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費（單位：元）．解：各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是，記投保的10000人中出險的人數(shù)為，則．（Ⅰ）記表示事件：保險公司為該險種至少支付10000元賠償金，則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)，2分又故，．5分說明：（1）本題數(shù)據(jù)多，而且兩個數(shù)據(jù)一樣，文字又較長，給一些學(xué)生造成閱讀困難。更要命的是如果不理解“保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元”的真實含義就是“投保的10000人中至少有一人出險”將無法解答此題。理解后，如何計算至少有一人出險的概率又是一個難題。10000人啊，怎么辦，“正難則反”，求一個人也不出險概率，則用1減去一個人也不出險概率就是至少有一人出險的概率。（2）數(shù)據(jù)讓一些考生沒看明白。這只能說，某些考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也太不夠了。（Ⅱ）該險種總收入為支出元，支出是賠償金總額與成本的和．，盈利，盈利的期望為，9分由知，，．（元）．故每位投保人應(yīng)交納的最低保費為15元．12分說明：都說本題第（Ⅱ）難，我怎么不覺得，是很多考生沒有真正弄懂概率中的基本概念和基本運算吧！19．（本小題滿分12分）如圖，正四棱柱中，，點在上且．（Ⅰ）證明：（Ⅱ）求二面角解法一：平面；的大?。李}設(shè)知，．（Ⅰ）連結(jié)交于點，則．3分．由三垂線定理知，在平面由于故內(nèi)，連結(jié)交于點，，，，與互余．于是．與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，所以平面．6分說明：（1）“結(jié)交于點”，什么？大家看矩形就明白了，和在同一個平面內(nèi)，這種地方看似平常，其實很能體現(xiàn)基礎(chǔ)。（2）很好證明，連接，利用正方形對角線性質(zhì)和正四棱柱定義就可以了。關(guān)鍵是如何證明。我給大家提供一條思路：如果，結(jié)合就會有，將長方形取出，結(jié)合數(shù)據(jù)證明（可以從證得）當(dāng)然也可以將平移到E處,計算在證明。（3）由于初中教學(xué)內(nèi)容的修改，很多高中生應(yīng)用“平行線等分線段成比例”和相似三角形的判定法則來證明問題的能力不高?？梢杂袃蓚€方案，要么回頭學(xué)習(xí)“平行線等分線段成比例”和相似三角形的判定法則，但代價大。要么尋找替代手段。我認為三角函數(shù)是個比較好的替代手段。（4）也有些同學(xué)幾何運算能力欠佳，不會運用三角函數(shù)、面積法、比例法求解幾何量。建議使用傳統(tǒng)方法解決立體幾何問題的學(xué)生一定要把經(jīng)典問題（如本題及其他的高考試題）多做幾遍，弄懂每一個細節(jié)，全面掌握幾何運算技術(shù)（不是簡單那的技巧問題）。（Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．由三垂線定理知，故是二面角的平面角．8分，，．，．又，．．所以二面角的大小為．12分解法二：以為坐標(biāo)原點，射線建立如圖所示直角坐標(biāo)系依題設(shè)，為軸的正半軸，．．，．3分（Ⅰ）因為，，故，．又，所以平面．6分（Ⅱ）設(shè)向量是平面的法向量，則，．故令，．，則，，．9分等于二面角的平面角，．所以二面角的大小為．12分【評注】相對而言：向量法就簡單多了，為了12分是值得花時間學(xué)習(xí)向量法的，同時學(xué)習(xí)向量法，也能提高運算能力。20．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項和為．已知，，．（Ⅰ）設(shè)（Ⅱ）若，求數(shù)列的通項公式；，，求的取值范圍．，即解：（Ⅰ）依題意，由此得，．4分因此，所求通項公式為，．①6分說明：第（Ⅰ）問考的是數(shù)列的通項公式，而且消去，再湊出就已經(jīng)暗示了解題方法：應(yīng)該運用即可。請仔細研究本題為什么沒有進行討論，細節(jié)在何處，有什么啟發(fā)？（Ⅱ）由①知，，于是，當(dāng)時，，，當(dāng)又時，．．綜上，所求的的取值范圍是．12分說明：（1）如果不進行“”，則解答存在紕漏：（2）可以有兩種轉(zhuǎn)化方案，方案一：作差方案一：代入，，按指數(shù)合并同類項，同樣可以得到：。得到后，還有重要的一個步驟：才能得到（3）本題是簡單的恒成立問題，其主要難度在于運算和化簡方向的把握。21．（本小題滿分12分）設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．（Ⅰ）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為，．2分如圖，設(shè)，其中，且故滿足方程，．①由知，得；由在所以上知，得．，化簡得解得，或．6分【評注】（1）原題無圖，大家要大膽按常規(guī)情況確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，不