2004年高考試題-數(shù)學(xué)理(北京卷)

2004年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至2頁(yè)．第II卷3至9頁(yè)．共150分．考試時(shí)間120分鐘．第I卷（選擇題共40分）注意事項(xiàng)：1．答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上．2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試題卷上．3．考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回．參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式其中c’，c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，表示斜高或母線長(zhǎng)球體的表面積公式其中R表示球的半徑一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R，，，則等于（）A．B．C．的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是D．橢圓D．2．滿足條件（）A．一條直線B．兩條直線C．圓3．設(shè)m、n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若③若，，則，則②若④若，，，則，，，則其中正確命題的序號(hào)是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④4．如圖，在正方體中，P是側(cè)面的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線（）A．直線5．函數(shù)A．B．圓C．雙曲線D．拋物線在區(qū)間［1，2］上存在反函數(shù)的充分必要條件是（）B．D．C．6．已知a、b、c滿足，且，那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是（）A．C．B．D．7．從長(zhǎng)度分別為1，2，3，4，5的五條線段中，任取三條的不同取法共有n種．在這些取法中，以取出的三條線段為邊可組成的鈍角三角形的個(gè)數(shù)為m，則等于（）A．B．C．D．8．函數(shù)，其中P、M為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定，，給出下列四個(gè)判斷：①若③若，則，則②若④若，則，則其中正確判斷有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．9．函數(shù)的最小正周期是___________．的解是___________________．10．方程11．某地球儀上北緯______________cm2．緯線的長(zhǎng)度為，該地球儀的半徑是__________cm，表面積是12．曲線C：（為參數(shù)）的普通方程是__________，如果曲線C與直線有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________．13．在函數(shù)中，若a，b，c成等比數(shù)列且，則有最______________值（填“大”或“小”），且該值為______________．14．定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為______________，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為________________．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在中，，，，求的值和的面積．16．（本小題滿分14分）如圖，在正三棱柱中，AB＝3，，M為的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到M的最短路線長(zhǎng)為，設(shè)這條最短路線與的交點(diǎn)為N，求：（I）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng);（II）PC和NC的長(zhǎng);（III）平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）17．（本小題滿分14分）如圖，過(guò)拋物線上一定點(diǎn)（），作兩條直線分別交拋物線于，（I）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離（II）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù)18．（本小題滿分14分）函數(shù)是定義在［0，1］上的增函數(shù)，滿足且，在每個(gè)區(qū)間（1，2……）上，的圖象都是斜率為同一常數(shù)k的直線的一部分．（I）求及，的值，并歸納出的表達(dá)式;（II）設(shè)直線，，x軸及的圖象圍成的矩形的面積為（1，2……），記，求的表達(dá)式，并寫出其定義域和最小值19．（本小題滿分12分）某段城鐵線路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列車運(yùn)行時(shí)刻表上，規(guī)定列車8時(shí)整從A站發(fā)車，8時(shí)07分到達(dá)B站并停車1分鐘，8時(shí)12分到達(dá)C站．在實(shí)際運(yùn)行中，假設(shè)列車從A站正點(diǎn)發(fā)車，在B站停留1分鐘，并在行駛時(shí)以同一速度勻速行駛，列車從A站到達(dá)某站的時(shí)間與時(shí)刻表上相應(yīng)時(shí)間之差的絕對(duì)值稱為列車在該站的運(yùn)行誤差．（I）分別寫出列車在B、C兩站的運(yùn)行誤差;（II）若要求列車在B，C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過(guò)2分鐘，求的取值范圍．20．（本小題滿分13分）給定有限個(gè)正數(shù)滿足條件T：每個(gè)數(shù)都不大于50且總和L＝1275．現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組，每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是：首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差與所有可能的其他選擇相比是最小的，稱為第一組余差；然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對(duì)余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時(shí)的余差為；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組（余差為）、第四組（余差為）、……，直至第N組（余差為）把這些數(shù)全部分完為止．（I）判斷的大小關(guān)系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個(gè)數(shù);（II）當(dāng)構(gòu)成第n（n<N）組后，指出余下的每個(gè)數(shù)與的大小關(guān)系，并證明;（III）對(duì)任何滿足條件T的有限個(gè)正數(shù)，證明：2004年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）參考答案．一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分40分．1．A2．C3．A4．D5．D6．C7．B8．B二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分30分．9．10．11．12．13．大-314．3當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力．滿分13分．解法一：又,．解法二：,（1）,,（2）（1）+（2）得：（1）－（2）得：,,．（以下同解法一）16．本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、棱柱等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．滿分14分．解：（I）正三棱柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長(zhǎng)為9，寬為4的矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為．（II）如圖1，將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)成在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置，連接，則就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到點(diǎn)M的最短路線．設(shè)，則，在中，由勾股定理得求得．（III）如圖2，連結(jié)，則就是平面NMP與平面ABC的交線，作于H，又平面ABC，連結(jié)CH，由三垂線定理得，．就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）在在中，,．中，,故平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大小為．17．本小題主要考查直線、拋物線等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．滿分14分．解：（1）當(dāng)時(shí)，,又拋物線的準(zhǔn)線方程為．由拋物線定義得，所求距離為．（2）設(shè)直線PA的斜率為，直線PB的斜率為由，,相減得．．故同理可得．由PA，PB傾斜角互補(bǔ)知,即,所以,故．設(shè)直線AB的斜率為由，相減得,所以．將代入得，所以是非零常數(shù)．18．本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列等基本知識(shí)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．滿分14分．解：（I）由，得，得由及．同理，歸納得（II）當(dāng)．．時(shí),．所以所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,．的定義域?yàn)?，當(dāng)時(shí)取得最小值．19．本小題主要考查解不等式等基本知識(shí)，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．滿分12分．解：（I）列車在B，C兩站的運(yùn)行誤差（單位：分鐘）分別是和．（II）由于列車在/r/