第36講 動(dòng)態(tài)專題(旋轉(zhuǎn)、翻折問題) 2020屆廣東九年級(jí)數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)課件 共PP

第二部分專題提升第36講動(dòng)態(tài)專題(2)(旋轉(zhuǎn)、翻折問題)第二部分專題提升第36講動(dòng)態(tài)專題(2)(旋轉(zhuǎn)、翻近五年廣東中考情況近五年廣東中考情況知識(shí)梳理軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)是平面幾何的三大變換.縱觀幾年的數(shù)學(xué)試卷，雖然廣東中考考翻折和旋轉(zhuǎn)綜合題比較少，但是我們還是要重視.此類問題涉及幾何、函數(shù)、方程、相似等多方面的知識(shí)點(diǎn)，其解題關(guān)鍵在于認(rèn)真分析圖形的變換過程，明確在圖形變換的各個(gè)不同階段，所要求的量的變化情況，進(jìn)而準(zhǔn)確確定其函數(shù)表達(dá)式或具體的值.知識(shí)梳理軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)是平面幾何的三大變換.縱觀考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：旋轉(zhuǎn)問題1.（2018天津）如圖2-36-1，在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（5，0）,點(diǎn)B（0,3）.以點(diǎn)A為中心,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形ADEF,點(diǎn)O，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn).（1）如圖2-36-1①，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：旋轉(zhuǎn)問題（2）如圖2-36-1②，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí)，AD與BC交于點(diǎn)H，連接AB.①求證：△ADB≌△AOB；②求點(diǎn)H的坐標(biāo).（3）記K為矩形AOBC對(duì)角線的交點(diǎn)，S為△KDE的面積,求S的取值范圍.（直接寫出結(jié)果即可）（2）如圖2-36-1②，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí)，AD與BC解：（1）∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3.∵四邊形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°.∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到，∴AD=AO=5.在Rt△ADC中，CD=∴BD=BC-CD=1.∴D（1，3）.（2）①由四邊形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°.∵點(diǎn)D在線段BE上，∴∠ADB=90°.由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）.解：（1）∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3②由△ADB≌△AOB，得∠BAD=∠BAO.又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB.∴∠BAD=∠CBA.∴BH=AH.設(shè)AH=BH=m，則HC=BC-BH=5-m.在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2.②由△ADB≌△AOB，得∠BAD=∠BAO.（3）如答圖2-36-1，a.當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，△KDE的面積最小，最小值b.當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時(shí)，△D′E′K的面積最大，最大值綜上所述，S的取值范圍為（3）如答圖2-36-1，a.當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，△KDE變式診斷2.（2019內(nèi)江）兩條拋物線C1：y1＝3x2-6x-1與C2：y2＝x2-mx+n的頂點(diǎn)相同.（1）求拋物線C2的解析式；（2）點(diǎn)A是拋物線C2在第四象限內(nèi)圖象上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A作AP⊥x軸，P為垂足，求AP+OP的最大值；（3）設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,-4),問在C2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使線段QB繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段QB′，且點(diǎn)B′恰好落在拋物線C2上？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.變式診斷2.（2019內(nèi)江）兩條拋物線C1：y1＝3x2-6解：（1）y1＝3x2-6x-1的頂點(diǎn)為（1，-4），∵拋物線C1：y1＝3x2-6x-1與C2：y2＝x2-mx+n的頂點(diǎn)相同,∴m＝2，n＝-3.∴拋物線C2的解析式為y2＝x2-2x-3.（2）如答圖2-36-2，設(shè)A（a，a2-2a-3）.∵點(diǎn)A在第四象限，∴0＜a＜3.∴AP＝-a2+2a+3，PO＝a.∴AP+OP＝-a2+3a+3＝∵0＜a＜3，∴AP+OP的最大值為解：（1）y1＝3x2-6x-1的頂點(diǎn)為（1，-4），（2）（3）假設(shè)C2的對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)Q，如答圖2-36-3，過點(diǎn)B′作B′D⊥l于點(diǎn)D.∴∠B′DQ＝90°.①當(dāng)點(diǎn)Q在頂點(diǎn)C的下方時(shí)，∵B（-1，-4）,C（1，-4）,拋物線的對(duì)稱軸為x＝1,∴BC⊥l，BC＝2，∠BCQ＝90°.（3）假設(shè)C2的對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)Q，①當(dāng)點(diǎn)Q在頂點(diǎn)C的下方時(shí)∴△BCQ≌△QDB′（AAS）.∴B′D＝CQ，QD＝BC.設(shè)點(diǎn)Q（1，b），∴B′D＝CQ＝-4-b，QD＝BC＝2，可知B′（-3-b，2+b），又點(diǎn)B′在拋物線C2上，∴（-3-b）2-2（-3-b）-3＝2+b.∴b2+7b+10＝0.∴b＝-2或b＝-5.∵b＜-4，∴Q（1，-5）.②當(dāng)點(diǎn)Q在頂點(diǎn)C的上方時(shí)，同理可得Q（1，-2）.綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-5）或（1，-2）.∴△BCQ≌△QDB′（AAS）.∴B′D＝CQ，QD＝BC考點(diǎn)突破考點(diǎn)二：翻折問題3.已知：如圖2-36-2①,在△ABC中，AB=6，AC=33,BC=3，過邊AC上的動(dòng)點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，C重合）作EF⊥AB于點(diǎn)F，將△AEF沿EF所在的直線折疊得到△A′EF，設(shè)CE=x，折疊后的△A′EF與四邊形BCEF重疊部分的面積記為S.（1）如圖2-36-2②,當(dāng)點(diǎn)A′與頂點(diǎn)B重合時(shí),求AE的長;（2）如圖2-36-2③，當(dāng)點(diǎn)A′落在△ABC的外部時(shí)，A′E與BC相交于點(diǎn)D，求證：△A′BD是等腰三角形；考點(diǎn)突破考點(diǎn)二：翻折問題（3）試用含x的式子表示S，并求出S的最大值.（3）試用含x的式子表示S，并求出S的最大值.解：（1）∵AC2+BC2=（）2+32=36，AB2=36，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°.當(dāng)點(diǎn)A′與頂點(diǎn)B重合時(shí)，AF=FB=3，（2）由（1）可知∠A=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°.∵∠ABC=∠A′+∠BDA′，∠A′=∠A=30°，∴∠A′=∠A′DB=30°.∴BA′=BD.∴△BDA′是等腰三角形.解：（1）∵AC2+BC2=（）2+32=36，AB2（3）①如圖2-36-2③，當(dāng)0＜x＜時(shí)，重疊部分是四邊形EFBD，S=S△EFA′-S△BDA′（3）①如圖2-36-2③，當(dāng)0＜x＜時(shí)，重疊部分是四②如圖2-36-2①，≤x＜時(shí)，重疊部分是△EFA′，②如圖2-36-2①，≤x＜時(shí)，重疊部分是△EF4.（2018鄂爾多斯）如圖2-36-3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝6，DC＝4，求AD的長.小明同學(xué)利用翻折，巧妙地解答了此題，按小明的思路探究并解答下列問題：（1）分別以AB，AC所在直線為對(duì)稱軸，畫出△ABD和△ACD的對(duì)稱圖形，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，延長EB和FC相交于點(diǎn)G，求證：四邊形AEGF是正方形；（2）設(shè)AD＝x，建立關(guān)于x的方程模型，求出AD的長.4.（2018鄂爾多斯）如圖2-36-3，在△ABC中，∠B（1）證明：由題意可得，△ABD≌△ABE，ACD≌△ACF.∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC.又∵∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°.又∵AD⊥BC.∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°.∴四邊形AEGF是矩形.又∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF.∴矩形AEGF是正方形.（2）解：設(shè)AD＝x，則AE＝EG＝GF＝x.∵BD＝6，DC＝4，∴BE＝6，CF＝4.∴BG＝x-6,CG＝x-4.在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，∴（x-6）2+（x-4）2＝102.化簡，得x2-10x-24＝0.解得x1＝12，x2＝-2（舍去）.∴AD＝x＝12.（1）證明：由題意可得，△ABD≌△ABE，ACD≌△ACF分層訓(xùn)練A組5.（2019桂林）如圖2-36-4，拋物線y＝-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）作射線AC，將射線AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交拋物線于另一點(diǎn)D，在射線AD上是否存在一點(diǎn)H，使△CHB的周長最小.若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.分層訓(xùn)練A組解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和B（1,0),∴交點(diǎn)式為y＝-（x+2）（x-1）＝-（x2+x-2）.∴拋物線的表達(dá)式為y＝-x2-x+2.（2）在射線AD上存在一點(diǎn)H，使△CHB的周長最小.如答圖2-36-4，延長CA到C′，使AC′＝AC，連接BC′,BC′與AD交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)H.解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和B（1,0),∵x＝0時(shí)，y＝-x2-x+2＝2，∴C（0，2）.∴OA＝OC＝2.∴∠CAO＝45°，直線AC的解析式為y＝x+2.∵射線AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得射線AD，∴∠CAD＝90°.∴∠OAD＝∠CAD-∠CAO＝45°.∴直線AD的解析式為y＝-x-2.∵AC′＝AC，AD⊥CC′，∴C′（-4，-2），AD垂直平分CC′.∴CH＝C′H.∴當(dāng)C′，H，B在同一直線上時(shí)，△CHB的周長為CH+BH+BC＝C′H+BH+BC＝BC′+BC，此時(shí)周長最小.∵x＝0時(shí)，y＝-x2-x+2＝2，設(shè)直線BC′的解析式為y＝kx+a，∴直線BC′的解析式為.聯(lián)立直線A′D與直線BC′的解析式，得設(shè)直線BC′的解析式為y＝kx+a，∴直線BC′的解析式為B組6.（2018煙臺(tái)）【問題解決】一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖2-36-5①，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度數(shù)嗎？小明通過觀察、分析、思考，形成了如下兩種思路：思路一：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)；思路二：將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CP′B，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)．請(qǐng)參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程．B組【類比探究】如圖2-36-5②,若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PA=3,PB=1，PC=，求∠APB的度數(shù)．【類比探究】解：【問題解決】思路一，如答圖2-36-5，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3.在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°.根據(jù)勾股定理，得PP′=∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9.∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2.解：【問題解決】思路一，如答圖2-36-5，將△BPC繞點(diǎn)B∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°.∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°.思路二同思路一的方法.【類比探究】如答圖2-36-6，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′=∠ABC=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=.∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°.思路二同思路在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°.根據(jù)勾股定理，得PP′=BP=.∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11.∵AP′2=（）2=11，∴AP2+PP′2=AP′2.∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°.∴∠APB=∠APP′-∠BPP′=90°-45°=45°．在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°.C組7.如圖2-36-6，將一塊三角板放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一直角邊與射線DC相交于點(diǎn)Q.過點(diǎn)P作AD的平行線交于邊AB于點(diǎn)M，交于CD于點(diǎn)N，設(shè)AP＝x.C組（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明；（2）是否存在點(diǎn)P（P不與A重合），使△PCQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出相應(yīng)的x值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）設(shè)以點(diǎn)B，C，P，Q為頂點(diǎn)的多邊形的面積為y，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB有怎樣的數(shù)量關(guān)系解：（1）PQ＝PB.證明：如答圖2-36-7，過P點(diǎn)作MN∥BC分別交AB，DC于點(diǎn)M，N，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，∴AM＝PM.又∵AB＝MN，∴MB＝PN.∵∠BPQ＝90°，∴∠BPM+∠NPQ＝90°.又∵∠MBP+∠BPM＝90°，∴∠MBP＝∠NPQ.解：（1）PQ＝PB.在Rt△MBP與Rt△NPQ中，∴Rt△MBP≌Rt△NPQ.∴PB＝PQ.（2）存在.如答圖2-36-8，當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長線上,且CP＝CQ時(shí)，在Rt△MBP與Rt△NPQ中，∴Rt△MBP≌Rt△NPQ（3）①如答圖2-36-7，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上時(shí)，S四邊形PBCQ＝S△PBC+S△PCQ.（3）①如答圖2-36-7，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長線上時(shí)，如答圖2-36-8.S四邊形PCQB＝S△PBC+S△BCQ②當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長線上時(shí)，如答圖2-36-8.第二部分專題提升第36講動(dòng)態(tài)專題(2)(旋轉(zhuǎn)、翻折問題)第二部分專題提升第36講動(dòng)態(tài)專題(2)(旋轉(zhuǎn)、翻近五年廣東中考情況近五年廣東中考情況知識(shí)梳理軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)是平面幾何的三大變換.縱觀幾年的數(shù)學(xué)試卷，雖然廣東中考考翻折和旋轉(zhuǎn)綜合題比較少，但是我們還是要重視.此類問題涉及幾何、函數(shù)、方程、相似等多方面的知識(shí)點(diǎn)，其解題關(guān)鍵在于認(rèn)真分析圖形的變換過程，明確在圖形變換的各個(gè)不同階段，所要求的量的變化情況，進(jìn)而準(zhǔn)確確定其函數(shù)表達(dá)式或具體的值.知識(shí)梳理軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)是平面幾何的三大變換.縱觀考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：旋轉(zhuǎn)問題1.（2018天津）如圖2-36-1，在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（5，0）,點(diǎn)B（0,3）.以點(diǎn)A為中心,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形ADEF,點(diǎn)O，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn).（1）如圖2-36-1①，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：旋轉(zhuǎn)問題（2）如圖2-36-1②，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí)，AD與BC交于點(diǎn)H，連接AB.①求證：△ADB≌△AOB；②求點(diǎn)H的坐標(biāo).（3）記K為矩形AOBC對(duì)角線的交點(diǎn)，S為△KDE的面積,求S的取值范圍.（直接寫出結(jié)果即可）（2）如圖2-36-1②，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí)，AD與BC解：（1）∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3.∵四邊形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°.∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到，∴AD=AO=5.在Rt△ADC中，CD=∴BD=BC-CD=1.∴D（1，3）.（2）①由四邊形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°.∵點(diǎn)D在線段BE上，∴∠ADB=90°.由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）.解：（1）∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3②由△ADB≌△AOB，得∠BAD=∠BAO.又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB.∴∠BAD=∠CBA.∴BH=AH.設(shè)AH=BH=m，則HC=BC-BH=5-m.在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2.②由△ADB≌△AOB，得∠BAD=∠BAO.（3）如答圖2-36-1，a.當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，△KDE的面積最小，最小值b.當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時(shí)，△D′E′K的面積最大，最大值綜上所述，S的取值范圍為（3）如答圖2-36-1，a.當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，△KDE變式診斷2.（2019內(nèi)江）兩條拋物線C1：y1＝3x2-6x-1與C2：y2＝x2-mx+n的頂點(diǎn)相同.（1）求拋物線C2的解析式；（2）點(diǎn)A是拋物線C2在第四象限內(nèi)圖象上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A作AP⊥x軸，P為垂足，求AP+OP的最大值；（3）設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,-4),問在C2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使線段QB繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段QB′，且點(diǎn)B′恰好落在拋物線C2上？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.變式診斷2.（2019內(nèi)江）兩條拋物線C1：y1＝3x2-6解：（1）y1＝3x2-6x-1的頂點(diǎn)為（1，-4），∵拋物線C1：y1＝3x2-6x-1與C2：y2＝x2-mx+n的頂點(diǎn)相同,∴m＝2，n＝-3.∴拋物線C2的解析式為y2＝x2-2x-3.（2）如答圖2-36-2，設(shè)A（a，a2-2a-3）.∵點(diǎn)A在第四象限，∴0＜a＜3.∴AP＝-a2+2a+3，PO＝a.∴AP+OP＝-a2+3a+3＝∵0＜a＜3，∴AP+OP的最大值為解：（1）y1＝3x2-6x-1的頂點(diǎn)為（1，-4），（2）（3）假設(shè)C2的對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)Q，如答圖2-36-3，過點(diǎn)B′作B′D⊥l于點(diǎn)D.∴∠B′DQ＝90°.①當(dāng)點(diǎn)Q在頂點(diǎn)C的下方時(shí)，∵B（-1，-4）,C（1，-4）,拋物線的對(duì)稱軸為x＝1,∴BC⊥l，BC＝2，∠BCQ＝90°.（3）假設(shè)C2的對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)Q，①當(dāng)點(diǎn)Q在頂點(diǎn)C的下方時(shí)∴△BCQ≌△QDB′（AAS）.∴B′D＝CQ，QD＝BC.設(shè)點(diǎn)Q（1，b），∴B′D＝CQ＝-4-b，QD＝BC＝2，可知B′（-3-b，2+b），又點(diǎn)B′在拋物線C2上，∴（-3-b）2-2（-3-b）-3＝2+b.∴b2+7b+10＝0.∴b＝-2或b＝-5.∵b＜-4，∴Q（1，-5）.②當(dāng)點(diǎn)Q在頂點(diǎn)C的上方時(shí)，同理可得Q（1，-2）.綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-5）或（1，-2）.∴△BCQ≌△QDB′（AAS）.∴B′D＝CQ，QD＝BC考點(diǎn)突破考點(diǎn)二：翻折問題3.已知：如圖2-36-2①,在△ABC中，AB=6，AC=33,BC=3，過邊AC上的動(dòng)點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，C重合）作EF⊥AB于點(diǎn)F，將△AEF沿EF所在的直線折疊得到△A′EF，設(shè)CE=x，折疊后的△A′EF與四邊形BCEF重疊部分的面積記為S.（1）如圖2-36-2②,當(dāng)點(diǎn)A′與頂點(diǎn)B重合時(shí),求AE的長;（2）如圖2-36-2③，當(dāng)點(diǎn)A′落在△ABC的外部時(shí)，A′E與BC相交于點(diǎn)D，求證：△A′BD是等腰三角形；考點(diǎn)突破考點(diǎn)二：翻折問題（3）試用含x的式子表示S，并求出S的最大值.（3）試用含x的式子表示S，并求出S的最大值.解：（1）∵AC2+BC2=（）2+32=36，AB2=36，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°.當(dāng)點(diǎn)A′與頂點(diǎn)B重合時(shí)，AF=FB=3，（2）由（1）可知∠A=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°.∵∠ABC=∠A′+∠BDA′，∠A′=∠A=30°，∴∠A′=∠A′DB=30°.∴BA′=BD.∴△BDA′是等腰三角形.解：（1）∵AC2+BC2=（）2+32=36，AB2（3）①如圖2-36-2③，當(dāng)0＜x＜時(shí)，重疊部分是四邊形EFBD，S=S△EFA′-S△BDA′（3）①如圖2-36-2③，當(dāng)0＜x＜時(shí)，重疊部分是四②如圖2-36-2①，≤x＜時(shí)，重疊部分是△EFA′，②如圖2-36-2①，≤x＜時(shí)，重疊部分是△EF4.（2018鄂爾多斯）如圖2-36-3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝6，DC＝4，求AD的長.小明同學(xué)利用翻折，巧妙地解答了此題，按小明的思路探究并解答下列問題：（1）分別以AB，AC所在直線為對(duì)稱軸，畫出△ABD和△ACD的對(duì)稱圖形，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，延長EB和FC相交于點(diǎn)G，求證：四邊形AEGF是正方形；（2）設(shè)AD＝x，建立關(guān)于x的方程模型，求出AD的長.4.（2018鄂爾多斯）如圖2-36-3，在△ABC中，∠B（1）證明：由題意可得，△ABD≌△ABE，ACD≌△ACF.∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC.又∵∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°.又∵AD⊥BC.∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°.∴四邊形AEGF是矩形.又∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF.∴矩形AEGF是正方形.（2）解：設(shè)AD＝x，則AE＝EG＝GF＝x.∵BD＝6，DC＝4，∴BE＝6，CF＝4.∴BG＝x-6,CG＝x-4.在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，∴（x-6）2+（x-4）2＝102.化簡，得x2-10x-24＝0.解得x1＝12，x2＝-2（舍去）.∴AD＝x＝12.（1）證明：由題意可得，△ABD≌△ABE，ACD≌△ACF分層訓(xùn)練A組5.（2019桂林）如圖2-36-4，拋物線y＝-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）作射線AC，將射線AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交拋物線于另一點(diǎn)D，在射線AD上是否存在一點(diǎn)H，使△CHB的周長最小.若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.分層訓(xùn)練A組解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和B（1,0),∴交點(diǎn)式為y＝-（x+2）（x-1）＝-（x2+x-2）.∴拋物線的表達(dá)式為y＝-x2-x+2.（2）在射線AD上存在一點(diǎn)H，使△CHB的周長最小.如答圖2-36-4，延長CA到C′，使AC′＝AC，連接BC′,BC′與AD交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)H.解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和B（1,0),∵x＝0時(shí)，y＝-x2-x+2＝2，∴C（0，2）.∴OA＝OC＝2.∴∠CAO＝45°，直線AC的解析式為y＝x+2.∵射線AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得射線AD，∴∠CAD＝90°.∴∠OAD＝∠CAD-∠CAO＝45°.∴直線AD的解析式為y＝-x-2.∵AC′＝AC，AD⊥CC′，∴C′（-4，-2），AD垂直平分CC′.∴CH＝C′H.∴當(dāng)C′，H，B在同一直線上時(shí)，△CHB的周長為CH+BH+BC＝C′H+BH+BC＝BC′+BC，此時(shí)周長最小.∵x＝0時(shí)，y＝-x2-x+2＝2，設(shè)直線BC′的解析式為y＝kx+a，∴直線BC′的解析式為.聯(lián)立直線A′D與直線BC′的解析式，得設(shè)直線BC′的解析式為y＝kx+a，∴直線BC′的解析式為B組6.（2018煙臺(tái)）【問題解決】一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖2-36-5①，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度數(shù)嗎？小明通過觀察、分析、思考，形成了如下兩種思路：思路一：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)；思路二：將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CP′B，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)．請(qǐng)參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程．B組【類比探究】如圖2-36-5②,若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PA=3,PB=1，PC=，求∠APB的度數(shù)．【類比探究】解：【問題解決】思路一，如答圖2-36-5，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3.在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°.根據(jù)勾股定理，得PP′=∵AP=1，∴AP2+PP′2=1