同濟(jì)第三版 高數(shù) (13) 第三節(jié) 函數(shù)的極限同濟(jì)第三版 高數(shù)課件

中國藥科大學(xué)數(shù)學(xué)教研室楊訪第三節(jié)函數(shù)的極限本節(jié)概要函數(shù)

y

=

f(

x

)在一點(diǎn)

x

0處實(shí)際有兩個(gè)不同的“值”的概念，一個(gè)是函數(shù)在點(diǎn)

x

0

處的函數(shù)值，另一個(gè)是函數(shù)在點(diǎn)

x

0

處的極限值。

y

=

f(

x

)在點(diǎn)

x

0處的函數(shù)值是指當(dāng)自變量

x

取確定值

x

0時(shí)，因變量的值

y0

=

f(

x0

)是多少,它反映因變量

y

按對應(yīng)法則

f的變化“結(jié)果”。

y

=

f(

x

)在點(diǎn)

x

0

處的極限值是指當(dāng)變量

x

趨向于確定值

x

0時(shí)，因變量

y

按對應(yīng)法則

f的變化“趨勢”。中國藥科大學(xué)數(shù)學(xué)教研室楊訪第三節(jié)函數(shù)的極限本例：設(shè)有作變速直線運(yùn)動的物體，其路程函數(shù)為

S=S(

t

)=2(

t

2-

t)，求該物體在時(shí)刻

t

0=1

時(shí)的速度

V(

t

0

)．

對非勻速直線運(yùn)動，由于在同樣長的時(shí)間段內(nèi)物體走過的路程不盡相同，故不能直接利用速度公式

V=S/T計(jì)算其速度。然而，變和不變是相對的，因此可考慮取較短的時(shí)間段，在此時(shí)間段內(nèi)物體可近似看作勻速直線運(yùn)動，于是可將變速直線運(yùn)動局部視作勻速直線運(yùn)動進(jìn)行考察。一.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限引例分析例：設(shè)有作變速直線運(yùn)動的物體，其路程函數(shù)為一.自變量趨于有

考察物體在時(shí)間段[

t

0

,t

]內(nèi)的平均速度

對

t

0

=

1

有故求得

考察物體在時(shí)間段[t0,t]內(nèi)的平均速度

由從函數(shù)性質(zhì)討論的角度看，盡管函數(shù)

V=V(

t

)在點(diǎn)

t

0

=

1

處沒有定義，但卻可確定自變量

t

趨向于

1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢。

當(dāng)

t

→

1時(shí)，函數(shù)值趨于一個(gè)確定“數(shù)值”，這個(gè)值并不是函數(shù)

V=V(

t

)在點(diǎn)

t

0

=1

處的函數(shù)值，而是另一種性質(zhì)的“值”。

結(jié)果說明這個(gè)值反映了函數(shù)在一點(diǎn)的變化趨勢由從函數(shù)性質(zhì)討論的角結(jié)果說明這個(gè)值反映(1)

函數(shù)在一點(diǎn)極限的描述性定義

對于函數(shù)

y

=

f(

x

)，如果當(dāng)自變量

x

的變化趨向于某一定值

x

0

時(shí)，函數(shù)值

f(

x

)的變化無限接近于某個(gè)常數(shù)

A

，就稱當(dāng)

x

→

x

0

時(shí)，函數(shù)

y=f(

x

)以

A

為極限，或常數(shù)

A

是函數(shù)

y=f(

x

)當(dāng)

x

→x

0時(shí)的極限，記作：1.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限(1)函數(shù)在一點(diǎn)極限的描述性定義對于函數(shù)y(2)

對函數(shù)在一點(diǎn)極限值的認(rèn)識極限值與函數(shù)值是兩種不同性質(zhì)的“值”的概念。這兩種值是相互獨(dú)立的，一般情況下二者獨(dú)立存在，彼此沒有直接聯(lián)系。例：函數(shù)

在點(diǎn)

t

0=1

沒有函數(shù)值，但卻有極限值，即有

函數(shù)值不存在但極限值存在

(2)對函數(shù)在一點(diǎn)極限值的認(rèn)識極限值與函數(shù)值是函數(shù)值不存在而極限值存在函數(shù)在點(diǎn)x

=

1處的極限值函數(shù)值不存在而極限值存在函數(shù)在點(diǎn)x=1處的極限值例：函數(shù)

在點(diǎn)

x

0=

0

處的函數(shù)值為f(

0

)=0

，但其在x

0

=

0

處的極限值卻不存在。

極限值不存在但函數(shù)值存在

函數(shù)在點(diǎn)x

=

0處因振蕩而沒有極限例：函數(shù)

極限值、函數(shù)值均存在但二者不相等

例：函數(shù)

在點(diǎn)

x

0=1

處的函數(shù)值為g(

1

)=1

，在點(diǎn)x

0=1

處的極限值為在點(diǎn)x

0=1處函數(shù)值和極限值都存在，但二者不相等。極限值、函數(shù)值均存在但二者不相等例：函數(shù)函數(shù)值和極限值均存在但不相等函數(shù)值和極限值均存在但不相等究竟什么叫x→x

0時(shí)，f(

x

)→A

？

由數(shù)列極限的討論可推知，x→x

0，f(

x

)→

A的意義就是，對

>0，隨著

x的變化，

當(dāng)

x和x

0

接近到一定程度后，最終可使得

|

f(

x

)-

A

|<．

問題是“一定程度”究竟是什么樣一種程度呢？問題函數(shù)極限的描述不夠嚴(yán)謹(jǐn)！究竟什么叫x→

為弄清當(dāng)x→x

0時(shí)，|

f(

x

)-

A

|<的具體過程，可先通過實(shí)例進(jìn)行考察。設(shè)有函數(shù)

f(

x

)=

2

x

-

1，考察其在點(diǎn)

x

0=

1

處取得的極限

1

的情形。f(

x

)與A

=

1

的接近程度可用絕對值|

f(

x

)-

1

|的大小來表達(dá)，

x與

x

0

=

1的接近程度可用絕對值

|

x

-

1

|的大小來表達(dá)。

由于

f(

x

)與

1

無限接近可通過

|

f(

x

)-

1

|<

來刻劃，于是所論問題就歸結(jié)為考察，對于取定的

>

0，當(dāng)|

x

-

1

|變得多么小時(shí)可使得

|

f(

x

)-

1

|<

成立。分析為弄清當(dāng)x→x0時(shí)

若取

1=10

-

2，即要求有|

f(

x

)-

1

|<10

-2，由于|

f(

x

)-

1

|=|(

2

x

-

1

)-

1

|=2|

x

-

1

|，因此只要x滿足

就可使|

f(

x

)-

1

|=2|

x

-

1

|

<10

-2.若取

2=10

-4，即要求有

|

f(

x

)-

1

|

<10

-

4，則只要x滿足

就可使|

f(

x

)-

1

|=2|

x

-

1

|

<10

-4.若取1=10-2，即要求有由此可以推想，所謂當(dāng)

x和

x

0

接近到一定程度后有|

f(

x

)-

A

|<中的“一定程度”意義實(shí)際是：對

>0，可找到一個(gè)和

相關(guān)的某個(gè)正數(shù)，用以刻劃|

f(

x

)-

A

|<時(shí)，x

與

x

0

所需接近的程度。若用

來表示這一正數(shù)，則為使

|

f(

x

)-

A

|<

，相應(yīng)

x

與

x

0

的接近程度可表為

0<|

x

-

x

0

|<.于是函數(shù)在一點(diǎn)

x

0處極限的敘述：當(dāng)

x→x

0時(shí)，f(

x

)→

A的意義就是：對

>0，總存在這樣一個(gè)正數(shù)

，

使得當(dāng)

x滿足0<|

x

-

x

0|<時(shí)有|

f(

x

)-

A

|<．由此可以推想，所謂當(dāng)x和x0接近到函數(shù)取極限過程的直觀認(rèn)識函數(shù)取極限過程的直觀認(rèn)識

|

f(

x

)-

A

|<

A-

<

f(

x

)<

A

+

，且這一結(jié)果是在x→

x

0的過程中發(fā)生的。從幾何上看，x→x

0對應(yīng)于動點(diǎn)x不斷向定點(diǎn)

x

0

靠近的過程，此時(shí)曲線y=f(

x

)上的點(diǎn)(

x

,y

)相應(yīng)不斷沿曲線運(yùn)動，最終函數(shù)

y=f(

x

)的圖形都會落在水平線y

=

A

-

和

y

=

A

+

之間。

當(dāng)動點(diǎn)(

x

,y

)沿曲線

y=f(

x

)進(jìn)入兩直線

y=A

-

和

y=A

+

構(gòu)成的水平區(qū)域內(nèi)時(shí)，必和兩直線各有一 個(gè)交點(diǎn)，分別記之為

P、Q

.設(shè)

P、Q

的橫坐分別為

x

0-

1，x

0+

2，

1

,

2>0

,并取

=Min{

1

,

2

}，則當(dāng)x

0-

<x

<

x

0+

時(shí)便有A

-

<

f(

x

)<

A

+

．分析|f(x)-A|

由函數(shù)y=f(

x

)在點(diǎn)

x

0處取極限過程的直觀認(rèn)識可見，正數(shù)

定量地表達(dá)了x

和

x

0接近到何種程度時(shí)就會有

|

f

(

x

)-

A

|<

．所謂當(dāng)

x

和

x

0接近到“一定程度”實(shí)際是通過

的具體數(shù)值來體現(xiàn)的。因此，能否確定這樣的正數(shù)

或這樣的正數(shù)

是否存在，就是函數(shù)

y=f(

x

)在點(diǎn)

x

0處是否存在極限的關(guān)鍵！

由函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0(3)

函數(shù)在一點(diǎn)極限的精確定義設(shè)函數(shù)

f(

x

)在點(diǎn)

x

0

的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)

A，對于任意給定的正數(shù)

(

無論它多么小),總存在正數(shù)

，使得當(dāng)

x滿足不等式

0

<|

x-

x

0

|<

時(shí),對應(yīng)的函數(shù)值

f

(

x

)就滿足不等式

|

f(

x

)-

A|<

，那么常數(shù)

A

就叫做函數(shù)

f(

x

)當(dāng)

x→

x

0時(shí)的極限，記作:如果這樣的常數(shù)不存在，那么稱

x

→

x

0

時(shí)

f(

x

)沒有極限，或

不存在。(3)函數(shù)在一點(diǎn)極限的精確定義設(shè)函數(shù)f((5)

用“–”定義證明函數(shù)極限為某定值例：用定義證明

由函數(shù)極限的“

-

”定義知：

f(

x

)→

A

,(

x

→

x

0

)，就是對任意給定的正數(shù)

，一定存在這樣的正數(shù)

，使得當(dāng)

0

<|

x

-

x

0|<

時(shí)，不等式

|

f(

x

)-

A|<

能成立。對本例，|

f(

x

)-

A

|=|

C

-

C

|=

0

，因此，對任意給定的正數(shù)

，總有

|

f(

x

)-

A|<

，于是可取任意正數(shù)作為

，使得當(dāng)0

<|

x

-

x

0|<

時(shí)，不等式|

f(

x

)-

A|<

成立。因此有分析(5)用“–”定義證明函數(shù)極限為某定值例：本例取極限過程幾何示意本例取極限過程幾何示意例：用定義證明

用極限的“

-

”定義證明函數(shù)

y

=f(

x

)在一點(diǎn)x

0處的極限為某值

A，就是對任意給定的正數(shù)

，要說明一定存在正數(shù)

，使得當(dāng)

0

<|

x

-

x

0|<

時(shí)，不等式|

f(

x

)-

A|<

能成立。要說明這樣的

存在，最直接的辦法就是將

找出來。由于式子|

f(

x

)-

A|

隨|

x-

x

0

|的不斷變小而逐步變小，故可從所證式子

|

f(

x

)-

A|<

出發(fā)確定

.歸納地看，用“

-

”定義證明函數(shù)極限為某定值實(shí)際就是對給定

>

0

，從不等式|

f(

x

)-

A|<

出發(fā)去找出

的過程。分析例：用定義證明分析從所證式子

|

f(

x

)-

A

|

<

出發(fā)找

證

對本例，由于

|

f(

x

)-

A

|

=

|

x

-

x

0

|.因此對任意給定的正數(shù)

，只要取

=

，則當(dāng)0

<|

x

-

x

0|<

=

時(shí)就有|

f(

x

)-

A|=

|

x

-

x

0

|<

=

，由極限的“

-

”定義知從所證式子|f(x)-A|<出發(fā)找例：用定義證明

用極限的“

-”定義證明函數(shù)

y=f(

x

)在一點(diǎn)x

0處的極限為某值

A，就是對任意給定的正數(shù)

，要說明一定存在正數(shù)

，使得當(dāng)

0

<|

x

-

x

0|<

時(shí)，不等式|

f(

x

)-

A|<

能成立。要說明這樣的

存在，最直接的辦法就是將

找出來。由于式子|

f(

x

)-

A|

是隨|

x-

x

0

|

的不斷變小而逐步變小的，故可從所證式子

|

f(

x

)-

A|<

出發(fā)確定

.

歸納地看，用“

-

”定義證明函數(shù)極限為某定值實(shí)就是對給定的

>0

，從不等式|

f(

x

)-

A|<

出發(fā)去找出

的過程。分析例：用定義證明分析證從不等式|

f(

x

)-

A

|

<

出發(fā)找

對本例，由于

|

f(

x

)-

A

|

=

|(

3

x+1

)-

4

|=3|

x-

1

|．故對任意給定的正數(shù)

，要使

|

f(

x

)-

A

|=

3|

x

-

1

|<

，只需|

x

-

1|<

/3

．因此取

=

/

3，則對這個(gè)確定的

，當(dāng)0

<|

x

-

1|<

=

/

3時(shí)有

|(

3x+1

)-

4

|=3|

x

-

1

|<3

=3

/

3

=

，由極限定義知證從不等式|f(x)-A|<出發(fā)找本例極限證明的幾何示意本例極限證明的幾何示意

對于極限證明問題一般可按以下步驟求解：

將|

f(

x

)-

A

|放大成|

f(

x

)-

A

|k|

x-

x

0|；

對

>0，由|

f(

x

)-

A

|k|

x-

x

0|<

解出|

x-

x

0|<

/k；取

=

/k，驗(yàn)證

0

<|

x-

x

0

|<

時(shí)有|

f(

x

)-

A|<

.方法歸納證明函數(shù)極限的一般步驟對于極限證明問題方法歸納證明函數(shù)極限的一般步驟按照極限的一般概念，函數(shù)

f(

x

)在一點(diǎn)x

0

的取極限過程中，動點(diǎn)x趨于定點(diǎn)x

0

的方式必須是任意的，但出于某些特殊問題的研究需要，有時(shí)需考慮動點(diǎn)x按某種特殊方式趨于定點(diǎn)x

0

時(shí)函數(shù)的變化趨勢。在動點(diǎn)x趨于定點(diǎn)x

0的各種方式中，有兩種特殊方式值得關(guān)注，即

x

僅從x

0左側(cè)趨于

x

0(記作:x→

x0-

)時(shí)的極限和

x僅從x

0

右側(cè)趨于x

0

(記作:x→

x0+)時(shí)的極限，這就是單側(cè)極限的概念。相應(yīng)地，x

以任意方式趨向于定點(diǎn)x

0

時(shí)的極限稱為雙側(cè)極限。2.相應(yīng)單側(cè)極限的概念按照極限的一般概念，函數(shù)f(x)在一點(diǎn)x0(1)

單側(cè)極限的定義設(shè)函數(shù)

y

=

f(

x

)在點(diǎn)

x

0

的左鄰域內(nèi)有定義，如果對于任意給定的正數(shù)

(無論它多么小)，總存在正數(shù)

,使得對于適合不等式

-

<x-

x

0

<

0

的一切

x，對應(yīng)的函數(shù)值

f(

x

)都滿足不等式

|

f(

x

)-

A

|<

，則常數(shù)

A就叫做函數(shù)

y=f(

x

)當(dāng)

x

→

x

0

時(shí)的左極限，記作：(1)單側(cè)極限的定義設(shè)函數(shù)y=f(類似地，設(shè)函數(shù)

y=f(

x

)在點(diǎn)

x

0

的右鄰域內(nèi)有定義，如果對于任意給定的正數(shù)

(無論它多么小)，總存存在正數(shù)

，使得對于適合不等式

0<x-

x

0

<

的一切x，對應(yīng)函數(shù)值

f(

x

)都滿足不等式

|

f(

x

)-

A|<

，則常數(shù)

A

就叫做函數(shù)

y

=

f(

x

)當(dāng)

x→

x

0時(shí)的右極限，記作:類似地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的(2)

單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)極限雖然是函數(shù)極限的一種特殊形式，但它和一般的函數(shù)極限，即雙側(cè)極限卻有著密切的聯(lián)系。由函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)極限與雙側(cè)極限的定義，容易證明二者有如下關(guān)系：C.P.U.Math.Dept.·楊訪(2)單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系函數(shù)在按定義進(jìn)行證明證·

必要性

設(shè)

，要證因?yàn)?，由定義，對

>

0，存在

>

0

,使得當(dāng)0

<|

x

-

x

0|<

時(shí)，|

f(

x

)-

A|<

，即當(dāng)x

0-

<x

<

x

0

時(shí)，有|

f(

x

)-

A|<

，當(dāng)x

0<x

<

x

0+

時(shí)，有|

f(

x

)-

A|<

.由單側(cè)極限的定義知：按定義進(jìn)行證明證·必要性設(shè)·

充分性

設(shè)

，要證因?yàn)?，由單?cè)極限的定義對

>0，存在

1,

2

>0，使得當(dāng)x

0-

1

<x

<

x

0

時(shí)，有|

f(

x

)-

A|<

，當(dāng)x

0<x

<

x

0+

2

時(shí)，有|

f(

x

)-

A|<

.取

=min{

1,

2

}，則當(dāng)0

<|

x

-

x

0|<

時(shí)，以上兩式均成立，即恒有|

f(

x

)-

A|<

.由極限定義知：·充分性設(shè)

由于單側(cè)極限形式相對簡單，利用這一結(jié)果?？蓪?fù)雜的雙側(cè)極限問題轉(zhuǎn)化為較簡單的單側(cè)極限問題進(jìn)行討論，特別是對分段函數(shù)在分段點(diǎn)處極限問題，應(yīng)用這一結(jié)果尤為方便。

結(jié)果說明由于單側(cè)極限形式相對簡單，利用這一結(jié)果?？衫涸O(shè)函數(shù)證明：當(dāng)x→0時(shí)，f(

x

)的極限不存在。這是個(gè)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限討論問題。由于該分段函數(shù)在分段點(diǎn)

x

=

0

兩側(cè)的表達(dá)式不同，故宜分別通過兩個(gè)單側(cè)極限來考察此分段點(diǎn)處的極限。分析例：設(shè)函數(shù)分析解根據(jù)單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系證明·

確定分段點(diǎn)處的左極限

當(dāng)

x

<

0

時(shí)，f(

x

)=x

-1

，由直觀容易看出應(yīng)有為說明結(jié)果的正確性，考慮用“-

”定義證之。因?yàn)閨

f(

x

)-(

-1

)|=

|(

x

-1

)-(

-1

)|=

|

x|，故

對

>0，存在

=

，使得當(dāng)

-

<x

<

0

時(shí)，有

|(

x

-1

)-(

-1

)|=

|

x|<

=

.由左極限的定義知：解根據(jù)單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系證明·確定分段點(diǎn)處·

確定分段點(diǎn)處的右極限

當(dāng)

x

>

0

時(shí)，f(

x

)=x

+1

，易看出應(yīng)有與左極限的情形相類似，可方便地證明這一結(jié)果。因?yàn)樵诜侄吸c(diǎn)x

=

0

處有

由函數(shù)在一點(diǎn)的極限與單側(cè)極限的關(guān)系知：

不存在?！?/p>

證明分段點(diǎn)處的極限不存在

·確定分段點(diǎn)處的右極限當(dāng)x>0時(shí)，對函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識通常是建立在有限區(qū)間基礎(chǔ)之上的。然而，通過這種認(rèn)識方法對函數(shù)性質(zhì)的了解往往還只是“局部的”或“有限的”。從微積分研究需要和某些實(shí)際問題的討論要求看，對定義在無窮區(qū)間上的函數(shù)f(

x

)，要了解其“總體”或“全局”的性質(zhì)，還需要考慮自變量x無限增大時(shí)函數(shù)的性質(zhì)，即需研究x

→

時(shí)函數(shù)

f(

x

)的變化趨勢及性質(zhì)。二.自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限對函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識通常是建立在有限區(qū)間基二例如，對于函數(shù)f(

x

)=

arctan

x，要了其沿

x

軸的兩端無限遠(yuǎn)去時(shí)的性狀，就必須研究x

→

時(shí)，f(

x

)的變化趨勢。又如，在考慮點(diǎn)電荷電場的作功問題時(shí)，就會遇到如下形式的極限問題：

f(

x

)=kq

/x

2→0,(

x

→

).例如，對于函數(shù)f(x)=arctan設(shè)有定義在(

-

,+

)上的函數(shù)

y=f(

x

)，直觀地考慮極限問題：

f(

x

)→

A，x

→

.(1)自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)極限的直觀認(rèn)識設(shè)有定義在(-,+)上的函數(shù)y=(2)自變量趨于無窮時(shí)函數(shù)極限的精確定義設(shè)函數(shù)

f(

x

)當(dāng)|

x

|大于某正數(shù)

M時(shí)定義，如果存在常數(shù)

A，使得對于任意給定的正數(shù)

(無論它多么小),總存在著正數(shù)

X，只要自變量

x適合不等式

|

x

|>

X，對應(yīng)的函數(shù)值f(

x

)就都滿足不等式|

f(

x

)-

A

|<

，那么常數(shù)

A

就叫做函數(shù)

f(

x

)當(dāng)

x

→

時(shí)的極限，記作：如果這樣的常數(shù)不存在，那么稱

x

→

時(shí)

f(

x

)沒有極限。(2)自變量趨于無窮時(shí)函數(shù)極限的精確定義設(shè)(3)

用“–

X”定義證明函數(shù)極限為某定值例：用定義證明

由極限的“

-X

”定義知：f(

x

)→

A,(

x

→

),就是對任意給定的正數(shù)

，一定存在正數(shù)

X

，使得當(dāng)|

x

|>

X

時(shí)，不等式|

f(

x

)-

A|<

能成立。要說明這樣的

X

存在，最直接的辦法就是將

X

找出來。由于式子|

f(

x

)-

A|

是隨著|

x

|

的不斷變大而逐步變小的，故可從所證式子

|

f(

x

)-

A|<

出發(fā)確定

X

.

歸納地看，用“

-X

”定義證明函數(shù)極限為某定值實(shí)際就是對給定的

>0

，從不等式|

f(

x

)-

A|<

出發(fā)去找出

X的過程。分析(3)用“–X”定義證明函數(shù)極限為某定值例：證從不等式|

f(

x

)-

A

|

<

出發(fā)找

X

對本例，由于故對任意給定的正數(shù)

，要使

只需|

x

|>

1

/

．因此取

X

=1

/

，則對這個(gè)確定的

X

，當(dāng)

|

x

|>

X=

1

/

時(shí)有由極限的“

-X

”定義知證從不等式|f(x)-A|<出發(fā)找X由于

x

→

的過程可以是取正值而無限增大，也可以是取負(fù)值而絕對值無限增大，因此

x

→

的過程也是一種雙向極限過程。在某些具體問題討論中，常需要分別考察函數(shù)當(dāng)

x

→

-

和x

→

+

時(shí)的極限問題，于是有了相應(yīng)單側(cè)極限的概念。2.相應(yīng)單側(cè)極限的概念由于x→的過程可以是取正值而無限增大，也可設(shè)函數(shù)

y

=

f(

x

)當(dāng)

x

大于某正數(shù)時(shí)定義，如果存在常數(shù)

A，使得對于任意給定的正數(shù)

(無論它多么小)，總存在正數(shù)

X，只要自變量適合不等式

x

>

X

，對應(yīng)的函數(shù)值f(

x

)都滿足不等式

|

f(

x

)-

A

|<

，那么常數(shù)

A就叫做函數(shù)

y=f(

x

)當(dāng)

x→+

時(shí)的極限，記作：

如果這樣的常數(shù)不存在，那么稱

x

→

+

時(shí)

f(

x

)沒有極限。(1)

自變量趨于無窮時(shí)單側(cè)極限的精確定義自變量取正值而無限增大時(shí)的極限

設(shè)函數(shù)y=f(x)當(dāng)x大于某正數(shù)時(shí)定義設(shè)函數(shù)

y

=

f(

x

)當(dāng)

x

小于某負(fù)數(shù)時(shí)定義，如果存在常數(shù)

A，使得對于任意給定的正數(shù)

(無論它多么小)，總存在正數(shù)

X，只要自變量適合不等式

x

<

-

X

，對應(yīng)的函數(shù)值f(

x

)都滿足不等式

|

f(

x

)-

A

|<

，那么常數(shù)

A就叫做函數(shù)

y=f(

x

)當(dāng)

x→-

時(shí)的極限，記作：如果這樣的常數(shù)不存在，那么稱

x

→

-

時(shí)

f(

x

)沒有極限。

自變量取負(fù)值而絕對值無限增大時(shí)的極限

設(shè)函數(shù)y=f(x)當(dāng)x小于某負(fù)數(shù)時(shí)定義例：用定義證明

由單側(cè)極限的“

-X

”定義知：要證當(dāng)

x

→

-

時(shí)，f(

x

)→

A，就是對任意的

>0

，要設(shè)法找出正數(shù)

X

，使得當(dāng)

x

<-

X

時(shí)，不等式|

f(

x

)-

A|<

能成立。找

X的過程實(shí)際是由不等式

|

f(

x

)-

A|<

解出x

<

(

)，再取

X

=

-(

)的過程。分析例：用定義證明分析證從不等式|

f(

x

)-

A

|

<

出發(fā)找

X

對任意給定的正數(shù)

，為證明方便不妨設(shè)

0

<

<

1

.于是，要使不等式

|

f(

x

)-

A|=

|

a

x

-

0|=

a

x

<

，成立，只需

x

ln

a

<

ln

，即x

<

ln

/

ln

a

．

取

X

=-

ln

/

ln

a

，由于當(dāng)

a

>

1

時(shí)，指數(shù)函數(shù)

a

x單調(diào)增，故當(dāng)x

<-

X

時(shí)有|

a

x

-

0|=

a

x

<

a

-X=

a

ln

/

ln

a

=

a

log

a=

.由單側(cè)極限的“

-X

”定義知證從不等式|f(x)-A|<出發(fā)找X(2)

單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系自變量趨于無窮時(shí)的單側(cè)極限雖然是函數(shù)極限的一種特殊形式，但它和對應(yīng)雙側(cè)極限卻有著密切的聯(lián)系。由函數(shù)當(dāng)自變量趨于無窮時(shí)的單側(cè)極限與雙側(cè)極限的定義，容易證明二者有如下關(guān)系：(2)單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系自變量按定義進(jìn)行證明證·

必要性

設(shè)

，要證因?yàn)?，由定義，對

>0，存在

X

>

0

,使得當(dāng)

|

x

|>

X

時(shí)，|

f(

x

)-

A|<

，即當(dāng)x

<

-

X

時(shí)，有|

f(

x

)-

A|<

，當(dāng)x

>

X

時(shí)，有|

f(

x

)-

A|<

.由單側(cè)極限的定義知：按定義進(jìn)行證明證·必要性設(shè)·

充分性

設(shè)

，要證因?yàn)椋蓡蝹?cè)極限定義，對

>0，存在

X

1,X

2

>0，使得當(dāng)x

<

-

X

1

時(shí)，有|

f(

x

)-

A|<

，當(dāng)x

>

X

2

時(shí)，有|

f(

x

)-

A|<

.

取

X

=max{

X

1,X

2

}，則當(dāng)|

x

|>

X

時(shí)，以上兩式均成立，即恒有|

f(

x

)-

A|<

.由極限定義知：·充分性設(shè)單側(cè)極限與雙側(cè)極限關(guān)系圖示單側(cè)極限與雙側(cè)極限關(guān)系圖示例：判別極限是否存在，若存在，試確定之；若不存在，試說明理由。由于基本初等函數(shù)

arctan

x只是形式表達(dá)式而非運(yùn)算式。因此可直接從其幾何性質(zhì)考察極限存在性。由函數(shù)圖形易看出，當(dāng)

x→-

和

x→+

時(shí)，該函數(shù)有不同的變化趨勢，故可由單側(cè)極限確定該極限不存在。因?yàn)楣视蓡蝹?cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系知，極限不存在。分析通過單側(cè)極限進(jìn)行考察解例：判別極限是否存在，若單側(cè)極限與雙側(cè)極限關(guān)系圖示單側(cè)極限與雙側(cè)極限關(guān)系圖示(3)水平漸近線的概念

自變量趨向于無窮大時(shí)函數(shù)取極限的幾何特征是函數(shù)圖形無限接近于一條水平直線。由此可建立所謂水平漸近線的概念。

若函數(shù)

y=f(

x

)具有下列三種情形之一：則稱直線

y=A

為函數(shù)

y

=

f(

x

)圖形的水平漸近線。

函數(shù)

y=f(

x

)圖形的漸近線對了解函數(shù)的幾何性質(zhì)及函數(shù)作圖都有重要作用。

水平漸近線的定義

(3)水平漸近線的概念自變量趨向于無窮大時(shí)函數(shù)函數(shù)圖形的水平漸近線圖示函數(shù)圖形的水平漸近線圖示

已證得極限由定義知，直線

y

=

0為曲線

y

=

1/x的一條水平漸近線。

水平漸近線的例

已證得極限水平漸近線的例因?yàn)?/p>

故直線y

=

/2,

y

=

-

/2均為曲線y

=

arctan

x的水平漸近線。

因?yàn)槿?函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)在一點(diǎn)的性質(zhì)是由其在該點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)決定的，而函數(shù)在一點(diǎn)的極限反映了函數(shù)在該點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)。同理，函數(shù)當(dāng)自變量趨于無窮大時(shí)的極限反映了函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)。因此，研究和了解函數(shù)極限性質(zhì)是研究函數(shù)性質(zhì)的基本手段和方法。

C.P.U.Math.Dept.·楊訪三.函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)在一點(diǎn)的性質(zhì)是由其在該點(diǎn)鄰域

如果，且

A

0，那么必存在某個(gè)正數(shù)

，使得當(dāng)

0<|

x

-

x

0|<

時(shí)

f(

x

)恒不為零且與

A

有相同的符號。如果，且

A

0，那么必存在某個(gè)正數(shù)X，使得當(dāng)|

x|>

X

時(shí)

f(

x

)恒不為零且與

A有相同符號。定理局部保號性定理保號性如果，且A0，那么必存定理是按兩種極限形式敘述的，每一種極限形式下又可分為兩種不同情形。對

x

→

x

0的極限形式，定理的兩種情形可表為：如果

，且

A

>0，那么就存在點(diǎn)

x

0的某個(gè)去心鄰域，當(dāng)

x

在該鄰域內(nèi)時(shí)有

f(

x

)>0；如果

，且

A

<0，那么就存在點(diǎn)

x

0的某個(gè)去心鄰域，當(dāng)

x

在該鄰域內(nèi)時(shí)有

f(

x

)<

0.

結(jié)果說明定理是按兩種極限形式敘述的，每一種極限形式結(jié)保號性定理的幾何意義一若A

>0，則存在

>0，使得當(dāng)

xU(

x

0

,

)時(shí)有

f(

x

)>

0

，即在x

0

的某去心鄰域內(nèi)有無窮多個(gè)點(diǎn)x滿足f(

x)>

0

．保號性定理的幾何意義一若A>0，則存在證根據(jù)定義進(jìn)行證明

證明

，且

A

>

0的情形。因?yàn)?/p>

，根據(jù)極限存在的定義，對

=

A/2

>

0，必存在正數(shù)

，使得只要點(diǎn)

x適合不等式0<|

x-

x

0

|<

，對應(yīng)的函數(shù)值

f(

x

)就滿足不等式|

f(

x

)-

A|<

?A

-

<f(

x

)<

A

+

.因此，在點(diǎn)

x

0的去心鄰域內(nèi)有證根據(jù)定義進(jìn)行證明證明證根據(jù)定義進(jìn)行證明

證明

，且

A

<

0的情形。因?yàn)?/p>

，根據(jù)極限存在的定義，對

*=

-

A/2

>0，必存在正數(shù)

*，使得只要點(diǎn)

x適合不等式

0<|

x-

x

0

|<

*，對應(yīng)函數(shù)值

f(

x

)就滿足不等式|

f(

x

)-

A|<

*

?A

-

*

<f(

x

)<

A

+

*.因此，在點(diǎn)

x

0的去心鄰域內(nèi)有證根據(jù)定義進(jìn)行證明證明

如果當(dāng)

0<|

x

-

x

0|<

時(shí)，f(

x

)

0，且

，那么

A

0.如果當(dāng)

0<|

x

-

x

0|<

時(shí)，f(

x

)

0，且

，那么

A

0.如果當(dāng)|

x|>

X

時(shí)，

f(

x

)

0，且，那么

A

0.如果當(dāng)|

x|>

X

時(shí)，

f(

x

)

0，且，那么

A

0.推論保號性定理的逆否命題如果當(dāng)0<|x-x0|<時(shí)，

結(jié)果說明

對該推論的理解應(yīng)注意其條件和結(jié)論的關(guān)系。若將推論條件改為f(

x

)>

0

，則結(jié)論仍為A

0，而不能將結(jié)論相應(yīng)地改為

A

>

0

.

若將推論條件改為

f(

x

)<

0

，則結(jié)論仍為A

0，而不能將結(jié)論相應(yīng)地改為A

<

0

.反例，設(shè)有函數(shù)顯然，對一切x

有f(

x

)

>

0

，但此時(shí)有結(jié)果說明對該推論的理解應(yīng)注意其條件和同濟(jì)第三版高數(shù)(13)第三節(jié)函數(shù)的極限同濟(jì)第三版高數(shù)課件中國藥科大學(xué)數(shù)學(xué)教研室楊訪第三節(jié)函數(shù)的極限本節(jié)概要函數(shù)

y

=

f(

x

)在一點(diǎn)

x

0處實(shí)際有兩個(gè)不同的“值”的概念，一個(gè)是函數(shù)在點(diǎn)

x

0

處的函數(shù)值，另一個(gè)是函數(shù)在點(diǎn)

x

0

處的極限值。

y

=

f(

x

)在點(diǎn)

x

0處的函數(shù)值是指當(dāng)自變量

x

取確定值

x

0時(shí)，因變量的值

y0

=

f(

x0

)是多少,它反映因變量

y

按對應(yīng)法則

f的變化“結(jié)果”。

y

=

f(

x

)在點(diǎn)

x

0

處的極限值是指當(dāng)變量

x

趨向于確定值

x

0時(shí)，因變量

y

按對應(yīng)法則

f的變化“趨勢”。中國藥科大學(xué)數(shù)學(xué)教研室楊訪第三節(jié)函數(shù)的極限本例：設(shè)有作變速直線運(yùn)動的物體，其路程函數(shù)為

S=S(

t

)=2(

t

2-

t)，求該物體在時(shí)刻

t

0=1

時(shí)的速度

V(

t

0

)．

對非勻速直線運(yùn)動，由于在同樣長的時(shí)間段內(nèi)物體走過的路程不盡相同，故不能直接利用速度公式

V=S/T計(jì)算其速度。然而，變和不變是相對的，因此可考慮取較短的時(shí)間段，在此時(shí)間段內(nèi)物體可近似看作勻速直線運(yùn)動，于是可將變速直線運(yùn)動局部視作勻速直線運(yùn)動進(jìn)行考察。一.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限引例分析例：設(shè)有作變速直線運(yùn)動的物體，其路程函數(shù)為一.自變量趨于有

考察物體在時(shí)間段[

t

0

,t

]內(nèi)的平均速度

對

t

0

=

1

有故求得

考察物體在時(shí)間段[t0,t]內(nèi)的平均速度

由從函數(shù)性質(zhì)討論的角度看，盡管函數(shù)

V=V(

t

)在點(diǎn)

t

0

=

1

處沒有定義，但卻可確定自變量

t

趨向于

1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢。

當(dāng)

t

→

1時(shí)，函數(shù)值趨于一個(gè)確定“數(shù)值”，這個(gè)值并不是函數(shù)

V=V(

t

)在點(diǎn)

t

0

=1

處的函數(shù)值，而是另一種性質(zhì)的“值”。

結(jié)果說明這個(gè)值反映了函數(shù)在一點(diǎn)的變化趨勢由從函數(shù)性質(zhì)討論的角結(jié)果說明這個(gè)值反映(1)

函數(shù)在一點(diǎn)極限的描述性定義

對于函數(shù)

y

=

f(

x

)，如果當(dāng)自變量

x

的變化趨向于某一定值

x

0

時(shí)，函數(shù)值

f(

x

)的變化無限接近于某個(gè)常數(shù)

A

，就稱當(dāng)

x

→

x

0

時(shí)，函數(shù)

y=f(

x

)以

A

為極限，或常數(shù)

A

是函數(shù)

y=f(

x

)當(dāng)

x

→x

0時(shí)的極限，記作：1.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限(1)函數(shù)在一點(diǎn)極限的描述性定義對于函數(shù)y(2)

對函數(shù)在一點(diǎn)極限值的認(rèn)識極限值與函數(shù)值是兩種不同性質(zhì)的“值”的概念。這兩種值是相互獨(dú)立的，一般情況下二者獨(dú)立存在，彼此沒有直接聯(lián)系。例：函數(shù)

在點(diǎn)

t

0=1

沒有函數(shù)值，但卻有極限值，即有

函數(shù)值不存在但極限值存在

(2)對函數(shù)在一點(diǎn)極限值的認(rèn)識極限值與函數(shù)值是函數(shù)值不存在而極限值存在函數(shù)在點(diǎn)x

=

1處的極限值函數(shù)值不存在而極限值存在函數(shù)在點(diǎn)x=1處的極限值例：函數(shù)

在點(diǎn)

x

0=

0

處的函數(shù)值為f(

0

)=0

，但其在x

0

=

0

處的極限值卻不存在。

極限值不存在但函數(shù)值存在

函數(shù)在點(diǎn)x

=

0處因振蕩而沒有極限例：函數(shù)

極限值、函數(shù)值均存在但二者不相等

例：函數(shù)

在點(diǎn)

x

0=1

處的函數(shù)值為g(

1

)=1

，在點(diǎn)x

0=1

處的極限值為在點(diǎn)x

0=1處函數(shù)值和極限值都存在，但二者不相等。極限值、函數(shù)值均存在但二者不相等例：函數(shù)函數(shù)值和極限值均存在但不相等函數(shù)值和極限值均存在但不相等究竟什么叫x→x

0時(shí)，f(

x

)→A

？

由數(shù)列極限的討論可推知，x→x

0，f(

x

)→

A的意義就是，對

>0，隨著

x的變化，

當(dāng)

x和x

0

接近到一定程度后，最終可使得

|

f(

x

)-

A

|<．

問題是“一定程度”究竟是什么樣一種程度呢？問題函數(shù)極限的描述不夠嚴(yán)謹(jǐn)！究竟什么叫x→

為弄清當(dāng)x→x

0時(shí)，|

f(

x

)-

A

|<的具體過程，可先通過實(shí)例進(jìn)行考察。設(shè)有函數(shù)

f(

x

)=

2

x

-

1，考察其在點(diǎn)

x

0=

1

處取得的極限

1

的情形。f(

x

)與A

=

1

的接近程度可用絕對值|

f(

x

)-

1

|的大小來表達(dá)，

x與

x

0

=

1的接近程度可用絕對值

|

x

-

1

|的大小來表達(dá)。

由于

f(

x

)與

1

無限接近可通過

|

f(

x

)-

1

|<

來刻劃，于是所論問題就歸結(jié)為考察，對于取定的

>

0，當(dāng)|

x

-

1

|變得多么小時(shí)可使得

|

f(

x

)-

1

|<

成立。分析為弄清當(dāng)x→x0時(shí)

若取

1=10

-

2，即要求有|

f(

x

)-

1

|<10

-2，由于|

f(

x

)-

1

|=|(

2

x

-

1

)-

1

|=2|

x

-

1

|，因此只要x滿足

就可使|

f(

x

)-

1

|=2|

x

-

1

|

<10

-2.若取

2=10

-4，即要求有

|

f(

x

)-

1

|

<10

-

4，則只要x滿足

就可使|

f(

x

)-

1

|=2|

x

-

1

|

<10

-4.若取1=10-2，即要求有由此可以推想，所謂當(dāng)

x和

x

0

接近到一定程度后有|

f(

x

)-

A

|<中的“一定程度”意義實(shí)際是：對

>0，可找到一個(gè)和

相關(guān)的某個(gè)正數(shù)，用以刻劃|

f(

x

)-

A

|<時(shí)，x

與

x

0

所需接近的程度。若用

來表示這一正數(shù)，則為使

|

f(

x

)-

A

|<

，相應(yīng)

x

與

x

0

的接近程度可表為

0<|

x

-

x

0

|<.于是函數(shù)在一點(diǎn)

x

0處極限的敘述：當(dāng)

x→x

0時(shí)，f(

x

)→

A的意義就是：對

>0，總存在這樣一個(gè)正數(shù)

，

使得當(dāng)

x滿足0<|

x

-

x

0|<時(shí)有|

f(

x

)-

A

|<．由此可以推想，所謂當(dāng)x和x0接近到函數(shù)取極限過程的直觀認(rèn)識函數(shù)取極限過程的直觀認(rèn)識

|

f(

x

)-

A

|<

A-

<

f(

x

)<

A

+

，且這一結(jié)果是在x→

x

0的過程中發(fā)生的。從幾何上看，x→x

0對應(yīng)于動點(diǎn)x不斷向定點(diǎn)

x

0

靠近的過程，此時(shí)曲線y=f(

x

)上的點(diǎn)(

x

,y

)相應(yīng)不斷沿曲線運(yùn)動，最終函數(shù)

y=f(

x

)的圖形都會落在水平線y

=

A

-

和

y

=

A

+

之間。

當(dāng)動點(diǎn)(

x

,y

)沿曲線

y=f(

x

)進(jìn)入兩直線

y=A

-

和

y=A

+

構(gòu)成的水平區(qū)域內(nèi)時(shí)，必和兩直線各有一 個(gè)交點(diǎn)，分別記之為

P、Q

.設(shè)

P、Q

的橫坐分別為

x

0-

1，x

0+

2，

1

,

2>0

,并取

=Min{

1

,

2

}，則當(dāng)x

0-

<x

<

x

0+

時(shí)便有A

-

<

f(

x

)<

A

+

．分析|f(x)-A|

由函數(shù)y=f(

x

)在點(diǎn)

x

0處取極限過程的直觀認(rèn)識可見，正數(shù)

定量地表達(dá)了x

和

x

0接近到何種程度時(shí)就會有

|

f

(

x

)-

A

|<

．所謂當(dāng)

x

和

x

0接近到“一定程度”實(shí)際是通過

的具體數(shù)值來體現(xiàn)的。因此，能否確定這樣的正數(shù)

或這樣的正數(shù)

是否存在，就是函數(shù)

y=f(

x

)在點(diǎn)

x

0處是否存在極限的關(guān)鍵！

由函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0(3)

函數(shù)在一點(diǎn)極限的精確定義設(shè)函數(shù)

f(

x

)在點(diǎn)

x

0

的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)

A，對于任意給定的正數(shù)

(

無論它多么小),總存在正數(shù)

，使得當(dāng)

x滿足不等式

0

<|

x-

x

0

|<

時(shí),對應(yīng)的函數(shù)值

f

(

x

)就滿足不等式

|

f(

x

)-

A|<

，那么常數(shù)

A

就叫做函數(shù)

f(

x

)當(dāng)

x→

x

0時(shí)的極限，記作:如果這樣的常數(shù)不存在，那么稱

x

→

x

0

時(shí)

f(

x

)沒有極限，或

不存在。(3)函數(shù)在一點(diǎn)極限的精確定義設(shè)函數(shù)f((5)

用“–”定義證明函數(shù)極限為某定值例：用定義證明

由函數(shù)極限的“

-

”定義知：

f(

x

)→

A

,(

x

→

x

0

)，就是對任意給定的正數(shù)

，一定存在這樣的正數(shù)

，使得當(dāng)

0

<|

x

-

x

0|<

時(shí)，不等式

|

f(

x

)-

A|<

能成立。對本例，|

f(

x

)-

A

|=|

C

-

C

|=

0

，因此，對任意給定的正數(shù)

，總有

|

f(

x

)-

A|<

，于是可取任意正數(shù)作為

，使得當(dāng)0

<|

x

-

x

0|<

時(shí)，不等式|

f(

x

)-

A|<

成立。因此有分析(5)用“–”定義證明函數(shù)極限為某定值例：本例取極限過程幾何示意本例取極限過程幾何示意例：用定義證明

用極限的“

-

”定義證明函數(shù)

y

=f(

x

)在一點(diǎn)x

0處的極限為某值

A，就是對任意給定的正數(shù)

，要說明一定存在正數(shù)

，使得當(dāng)

0

<|

x

-

x

0|<

時(shí)，不等式|

f(

x

)-

A|<

能成立。要說明這樣的

存在，最直接的辦法就是將

找出來。由于式子|

f(

x

)-

A|

隨|

x-

x

0

|的不斷變小而逐步變小，故可從所證式子

|

f(

x

)-

A|<

出發(fā)確定

.歸納地看，用“

-

”定義證明函數(shù)極限為某定值實(shí)際就是對給定

>

0