無(wú)窮級(jí)數(shù)整理

-.z.無(wú)窮級(jí)數(shù)整理一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)〔一〕數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)1.收斂的必要條件：收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)必趨于0.2.收斂的充要條件〔柯西收斂原理〕：對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在使得對(duì)于任何兩個(gè)大于的正整數(shù)m和n，總有.〔即局部和數(shù)列收斂〕3.收斂級(jí)數(shù)具有線性性〔即收斂級(jí)數(shù)進(jìn)展線性運(yùn)算得到的級(jí)數(shù)仍然收斂〕，而一個(gè)收斂級(jí)數(shù)和一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)的和與差必發(fā)散.4.對(duì)收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所成級(jí)數(shù)仍然收斂，且其和不變.5.在一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)內(nèi)去掉或添上有限項(xiàng)不會(huì)影響斂散性.〔二〕數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)及斂散性判斷1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷方法〔1〕正項(xiàng)級(jí)數(shù)根本定理：如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)的局部和數(shù)列有上界，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.〔2〕比擬判別法〔放縮法〕：假設(shè)兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和之間自*項(xiàng)以后成立著關(guān)系：存在常數(shù)，使，則〔i〕當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)亦收斂；〔ii〕當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)亦發(fā)散.推論：設(shè)兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和，且自*項(xiàng)以后有，則〔i〕當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)亦收斂；〔ii〕當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)亦發(fā)散.〔3〕比擬判別法的極限形式〔比階法〕：給定兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和，假設(shè)，則這兩個(gè)級(jí)數(shù)斂散性一樣.〔注：可以利用無(wú)窮小階的理論和等價(jià)無(wú)窮小的內(nèi)容〕另外，假設(shè)，則當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)亦收斂；假設(shè)，則當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)亦發(fā)散.常用度量：①等比級(jí)數(shù)：，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散；②p-級(jí)數(shù)：，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散(時(shí)稱調(diào)和級(jí)數(shù))；③廣義p-級(jí)數(shù)：，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.④交織p-級(jí)數(shù)：，當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)條件收斂.〔4〕達(dá)朗貝爾判別法的極限形式〔商值法〕：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)或時(shí)需進(jìn)一步判斷.〔5〕柯西判別法的極限形式〔根值法〕：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)，則時(shí)此級(jí)數(shù)必為收斂，時(shí)發(fā)散，而當(dāng)時(shí)需進(jìn)一步判斷.〔6〕柯西積分判別法：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，非負(fù)的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)下降，且自*項(xiàng)以后成立著關(guān)系：，則級(jí)數(shù)與積分同斂散.2.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的理論與性質(zhì)〔1〕絕對(duì)收斂與條件收斂：①絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必為收斂級(jí)數(shù)，反之不然；②對(duì)于級(jí)數(shù)，將它的所有正項(xiàng)保存而將負(fù)項(xiàng)換為0，組成一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中；將它的所有負(fù)項(xiàng)變號(hào)而將正項(xiàng)換為0，也組成一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中，則假設(shè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)和都收斂；假設(shè)級(jí)數(shù)條件收斂，則級(jí)數(shù)和都發(fā)散.③絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的更序級(jí)數(shù)〔將其項(xiàng)重新排列后得到的級(jí)數(shù)〕仍絕對(duì)收斂，且其和一樣.④假設(shè)級(jí)數(shù)和都絕對(duì)收斂，它們的和分別為和，則它們各項(xiàng)之積按照任何方式排列所構(gòu)成的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂，且和為.特別地，在上述條件下，它們的柯西乘積也絕對(duì)收斂，且和也為.注：，這里.〔2〕交織級(jí)數(shù)的斂散性判斷〔萊布尼茲判別法〕:假設(shè)交織級(jí)數(shù)滿足，且單調(diào)減少〔即〕，則收斂，其和不超過(guò)第一項(xiàng)，且余和的符號(hào)與第一項(xiàng)符號(hào)一樣，余和的值不超過(guò)余和第一項(xiàng)的絕對(duì)值.二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)〔一〕冪級(jí)數(shù)1.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域〔1〕柯西-阿達(dá)馬定理：冪級(jí)數(shù)在內(nèi)絕對(duì)收斂，在內(nèi)發(fā)散，其中為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.〔2〕阿貝爾第一定理：假設(shè)冪級(jí)數(shù)在處收斂，則它必在內(nèi)絕對(duì)收斂；又假設(shè)在處發(fā)散，則它必在也發(fā)散.推論1：假設(shè)冪級(jí)數(shù)在處收斂，則它必在內(nèi)絕對(duì)收斂；又假設(shè)冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則它必在時(shí)發(fā)散.推論2：假設(shè)冪級(jí)數(shù)在處條件收斂，則其收斂半徑，假設(shè)又有，則可以確定此冪級(jí)數(shù)的收斂域.〔3〕收斂域的求法：令解出收斂區(qū)間再單獨(dú)討論端點(diǎn)處的斂散性，取并集.2.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)〔1〕冪級(jí)數(shù)進(jìn)展加減運(yùn)算時(shí)，收斂域取交集，滿足各項(xiàng)相加；進(jìn)展乘法運(yùn)算時(shí)，有：，收斂域仍取交集.〔2〕冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂域內(nèi)處處連續(xù)，且假設(shè)冪級(jí)數(shù)在處收斂，則在內(nèi)連續(xù)；又假設(shè)冪級(jí)數(shù)在處收斂，則在內(nèi)連續(xù).〔3〕冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂域內(nèi)可以逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分，收斂半徑不變.3.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)以及冪級(jí)數(shù)的求和〔1〕常用的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：①，*(,+).②1+*+*2+···+*n+···=，*(1,1).從而，，.③，*(,+).④，*(,+).⑤，*(1,1].⑥，*(1,1).⑦，*[1,1].⑧，*[1,1].〔2〕常用的求和經(jīng)歷規(guī)律：①級(jí)數(shù)符號(hào)里的局部可以提到級(jí)數(shù)外；②系數(shù)中常數(shù)的冪中假設(shè)含有，可以與的冪合并，如將和合并為；③對(duì)求導(dǎo)可消去分母因式里的,對(duì)積分可消去分子因式里的；④系數(shù)分母含可考慮的展開(kāi)，含或等可考慮正余弦函數(shù)的展開(kāi)；⑤有些和函數(shù)滿足特定的微分方程，可以考慮通過(guò)求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)這個(gè)微分方程并求解.〔二〕傅里葉級(jí)數(shù)1.狄利克雷收斂定理〔本定理為套話，不需真正驗(yàn)證，條件在命題人手下必然成立〕假設(shè)以為周期，且在[l,l]上滿足：①連續(xù)或只有有限個(gè)第一類連續(xù)點(diǎn)；②只有有限個(gè)極值點(diǎn)；則誘導(dǎo)出的傅里葉級(jí)數(shù)在[l,l]上處處收斂.2.傅里葉級(jí)數(shù)與的關(guān)系：3.以為周期的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)展開(kāi)：〔1〕在[l,l]上展開(kāi)：；〔2〕正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)：①奇函數(shù)〔或在非對(duì)稱區(qū)間上作奇延拓〕展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)：；②偶函數(shù)〔或在非對(duì)稱區(qū)間上作偶延拓〕展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)：；4.一些在展開(kāi)時(shí)常用的積分：〔1〕〔2〕；〔/r/