無窮級數(shù)整理

-.z.無窮級數(shù)整理一、數(shù)項級數(shù)〔一〕數(shù)項級數(shù)的根本性質(zhì)1.收斂的必要條件：收斂級數(shù)的一般項必趨于0.2.收斂的充要條件〔柯西收斂原理〕：對任意給定的正數(shù)，總存在使得對于任何兩個大于的正整數(shù)m和n，總有.〔即局部和數(shù)列收斂〕3.收斂級數(shù)具有線性性〔即收斂級數(shù)進(jìn)展線性運(yùn)算得到的級數(shù)仍然收斂〕，而一個收斂級數(shù)和一個發(fā)散級數(shù)的和與差必發(fā)散.4.對收斂級數(shù)的項任意加括號所成級數(shù)仍然收斂，且其和不變.5.在一個數(shù)項級數(shù)內(nèi)去掉或添上有限項不會影響斂散性.〔二〕數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)及斂散性判斷1.正項級數(shù)的斂散性判斷方法〔1〕正項級數(shù)根本定理：如果正項級數(shù)的局部和數(shù)列有上界，則正項級數(shù)收斂.〔2〕比擬判別法〔放縮法〕：假設(shè)兩個正項級數(shù)和之間自*項以后成立著關(guān)系：存在常數(shù)，使，則〔i〕當(dāng)級數(shù)收斂時，級數(shù)亦收斂；〔ii〕當(dāng)級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)亦發(fā)散.推論：設(shè)兩個正項級數(shù)和，且自*項以后有，則〔i〕當(dāng)級數(shù)收斂時，級數(shù)亦收斂；〔ii〕當(dāng)級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)亦發(fā)散.〔3〕比擬判別法的極限形式〔比階法〕：給定兩個正項級數(shù)和，假設(shè)，則這兩個級數(shù)斂散性一樣.〔注：可以利用無窮小階的理論和等價無窮小的內(nèi)容〕另外，假設(shè)，則當(dāng)級數(shù)收斂時，級數(shù)亦收斂；假設(shè)，則當(dāng)級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)亦發(fā)散.常用度量：①等比級數(shù)：，當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散；②p-級數(shù)：，當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散(時稱調(diào)和級數(shù))；③廣義p-級數(shù)：，當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散.④交織p-級數(shù)：，當(dāng)時絕對收斂，當(dāng)時條件收斂.〔4〕達(dá)朗貝爾判別法的極限形式〔商值法〕：對于正項級數(shù)，當(dāng)時級數(shù)收斂；當(dāng)時級數(shù)發(fā)散；當(dāng)或時需進(jìn)一步判斷.〔5〕柯西判別法的極限形式〔根值法〕：對于正項級數(shù)，設(shè)，則時此級數(shù)必為收斂，時發(fā)散，而當(dāng)時需進(jìn)一步判斷.〔6〕柯西積分判別法：設(shè)為正項級數(shù)，非負(fù)的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)下降，且自*項以后成立著關(guān)系：，則級數(shù)與積分同斂散.2.任意項級數(shù)的理論與性質(zhì)〔1〕絕對收斂與條件收斂：①絕對收斂級數(shù)必為收斂級數(shù)，反之不然；②對于級數(shù)，將它的所有正項保存而將負(fù)項換為0，組成一個正項級數(shù)，其中；將它的所有負(fù)項變號而將正項換為0，也組成一個正項級數(shù)，其中，則假設(shè)級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)和都收斂；假設(shè)級數(shù)條件收斂，則級數(shù)和都發(fā)散.③絕對收斂級數(shù)的更序級數(shù)〔將其項重新排列后得到的級數(shù)〕仍絕對收斂，且其和一樣.④假設(shè)級數(shù)和都絕對收斂，它們的和分別為和，則它們各項之積按照任何方式排列所構(gòu)成的級數(shù)也絕對收斂，且和為.特別地，在上述條件下，它們的柯西乘積也絕對收斂，且和也為.注：，這里.〔2〕交織級數(shù)的斂散性判斷〔萊布尼茲判別法〕:假設(shè)交織級數(shù)滿足，且單調(diào)減少〔即〕，則收斂，其和不超過第一項，且余和的符號與第一項符號一樣，余和的值不超過余和第一項的絕對值.二、函數(shù)項級數(shù)〔一〕冪級數(shù)1.冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域〔1〕柯西-阿達(dá)馬定理：冪級數(shù)在內(nèi)絕對收斂，在內(nèi)發(fā)散，其中為冪級數(shù)的收斂半徑.〔2〕阿貝爾第一定理：假設(shè)冪級數(shù)在處收斂，則它必在內(nèi)絕對收斂；又假設(shè)在處發(fā)散，則它必在也發(fā)散.推論1：假設(shè)冪級數(shù)在處收斂，則它必在內(nèi)絕對收斂；又假設(shè)冪級數(shù)在處發(fā)散，則它必在時發(fā)散.推論2：假設(shè)冪級數(shù)在處條件收斂，則其收斂半徑，假設(shè)又有，則可以確定此冪級數(shù)的收斂域.〔3〕收斂域的求法：令解出收斂區(qū)間再單獨(dú)討論端點處的斂散性，取并集.2.冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)〔1〕冪級數(shù)進(jìn)展加減運(yùn)算時，收斂域取交集，滿足各項相加；進(jìn)展乘法運(yùn)算時，有：，收斂域仍取交集.〔2〕冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂域內(nèi)處處連續(xù)，且假設(shè)冪級數(shù)在處收斂，則在內(nèi)連續(xù)；又假設(shè)冪級數(shù)在處收斂，則在內(nèi)連續(xù).〔3〕冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂域內(nèi)可以逐項微分和逐項積分，收斂半徑不變.3.函數(shù)的冪級數(shù)展開以及冪級數(shù)的求和〔1〕常用的冪級數(shù)展開：①，*(,+).②1+*+*2+···+*n+···=，*(1,1).從而，，.③，*(,+).④，*(,+).⑤，*(1,1].⑥，*(1,1).⑦，*[1,1].⑧，*[1,1].〔2〕常用的求和經(jīng)歷規(guī)律：①級數(shù)符號里的局部可以提到級數(shù)外；②系數(shù)中常數(shù)的冪中假設(shè)含有，可以與的冪合并，如將和合并為；③對求導(dǎo)可消去分母因式里的,對積分可消去分子因式里的；④系數(shù)分母含可考慮的展開，含或等可考慮正余弦函數(shù)的展開；⑤有些和函數(shù)滿足特定的微分方程，可以考慮通過求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)這個微分方程并求解.〔二〕傅里葉級數(shù)1.狄利克雷收斂定理〔本定理為套話，不需真正驗證，條件在命題人手下必然成立〕假設(shè)以為周期，且在[l,l]上滿足：①連續(xù)或只有有限個第一類連續(xù)點；②只有有限個極值點；則誘導(dǎo)出的傅里葉級數(shù)在[l,l]上處處收斂.2.傅里葉級數(shù)與的關(guān)系：3.以為周期的函數(shù)的傅里葉展開展開：〔1〕在[l,l]上展開：；〔2〕正弦級數(shù)與余弦級數(shù)：①奇函數(shù)〔或在非對稱區(qū)間上作奇延拓〕展開成正弦級數(shù)：；②偶函數(shù)〔或在非對稱區(qū)間上作偶延拓〕展開成余弦級數(shù)：；4.一些在展開時常用的積分：〔1〕〔2〕；〔/r/