信號與系統(tǒng)實驗五 連續(xù)線性時不變系統(tǒng)分析

PAGEPAGE5/10信號與系統(tǒng)實驗報告課程名稱：信號與系統(tǒng)實驗實驗項目名稱：連續(xù)線性時不變系統(tǒng)分析專業(yè)班級：姓 名：學 號：完 成 時 間： 年 月 日一、實驗目的掌握連續(xù)LTI勵對應響應的求解方法。掌握連續(xù)LTI掌握連續(xù)LTI掌握連續(xù)LTI換。二、實驗原理1．連續(xù)(1)

LTI系統(tǒng)的時域分析連續(xù)線性時不變系統(tǒng)的描述設連續(xù)線性時不變系統(tǒng)的激勵為e(t)，響應為r(t)，則描述系統(tǒng)的微分方程可表示為ni0

ar(i)t)mij0

be(j)(t)j為了在Matlaba和b來表示該系統(tǒng)，即a [a , a , , a , a ]n n1 1 0b [b ,b , ,b ,b ]m m 1 1 0這里要注意，向量a和b的元素排列是按微分方程的微分階次降冪排列，缺項要用 0補齊。單位沖激響應單位沖激響應h(t)是指連續(xù)LTI系統(tǒng)在單位沖激信號(t)激勵下的零狀態(tài)響應，因此h(t)滿足線性常系數(shù)微分方程(5.1)及零初始狀態(tài)，即ni0

ah(i)t)mij0

b(j)(t)，h(k)(0j

)0, [k

,n-1]按照定義，它也可表示為

h(t)h(t)(t)對于連續(xù)LTI系統(tǒng)，若其輸入信號為e(t)，沖激響應為h(t)，則其零狀態(tài)響應y

(t)zs為y (t)e(t)h(t)zs可見，h(t)能夠刻畫和表征系統(tǒng)的固有特性，與何種激勵無關。一旦知道了系統(tǒng)的沖激響應h(t)，就可求得系統(tǒng)對任何輸入信號e(t)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應y

(t)。zsMatlab提供了專門用于求連續(xù)系統(tǒng)沖激響應的函數(shù)impulse()，該函數(shù)還能繪制其時域波形。單位階躍響應單位階躍響應s(t)是指連續(xù)LTI系統(tǒng)在單位階躍信號u(t)激勵下的零狀態(tài)響應，它可以表示為

s(t)u(t)h(t)t

)dMatlab提供了專門用于求連續(xù)系統(tǒng)單位階躍響應的函數(shù)step()，該函數(shù)還能繪制其時域波形。任意激勵下的零狀態(tài)響應已經(jīng)知道，連續(xù)LTI系統(tǒng)可用常系數(shù)線性微分方程(5.1)式來描述，Matlab提供的函數(shù)lsim()能對上述微分方程描述的連續(xù)LTI系統(tǒng)的響應進行仿真，該函數(shù)不僅能繪制指定時間范圍內(nèi)的系統(tǒng)響應波形圖，而且還能求出系統(tǒng)響應的數(shù)值解。其調(diào)用格式有l(wèi)sim(b,a,x,t)y=lsim(b,a,x,t)：只求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的數(shù)值解，而不繪制響應曲線需要特別強調(diào)的是，Matlab統(tǒng)。所以，利用impulse(b,a)，step(b,a)，lsim(b,a,x,t)函數(shù)求得的響應總是因果信號。（5）任意激勵下的全響應線性系統(tǒng)的全響應y(t)可以分解為自由響應（齊次解）和強迫響應（特解），也可以分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應，即y(t)yh

(t)yp

(t)yzi

yzs

(t)Matlab提供了專門用于求連續(xù)系統(tǒng)全響應的函數(shù)dsolve()，其調(diào)用格式有dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…):解符號形式的微分方程，輸入?yún)?shù)可以是n個微分方程，也可以是初始條件。值得注意的是，無論是輸入?yún)?shù)還是輸出參數(shù)都是符號形式的變量。例5-1描述某線性時不變系統(tǒng)的微分方程為y''(t)3y'(t)2y(t)f'(t)2f(t)且f(t)t2, y(0)1, y'(0)1；試求系統(tǒng)的全響應，并指出其零輸入響應、零狀態(tài) 響應自由響應與強迫響應。通過解微分方程得到的全響應為y(t)t22t2et2e2t3et2e2t2ett22t0 強迫響應（穩(wěn)態(tài)響應）

自由響應)

零輸入響應 零狀態(tài)響應2連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應所謂頻率響應（Frequencyresponse），是指系統(tǒng)在正弦信號激勵下的穩(wěn)態(tài)響應隨率變化的情況，包括響應的幅度隨頻率的變化情況和響應的相位隨頻率的變化情況兩個方面。連續(xù)LTI5-5ee(t)r(t)E(j)LTIh(t)H(j)R(j)圖5-5連續(xù)LTI系統(tǒng)的時域及頻域分析對應關系上圖中e(t)、r(t)分別為系統(tǒng)的時域激勵信號和響應信號，h(t)是系統(tǒng)的單位沖激響應，它們?nèi)咧g的關系為：r(t)x(t)*h(t)，由傅里葉變換的時域卷積定理可得到：R(j)E(j)H(j) （5.9）或者： H(j)R(j) （5.10）E(j)H(j)為系統(tǒng)的頻域數(shù)學模型，它實際上就是系統(tǒng)的單位沖激響應h(t)的傅里葉變換。即H(j)

h(t)edt （5.11）由于H(j)實際上是系統(tǒng)單位沖激響應h(t)的傅里葉變換，如果h(t)是收斂的，那么H(j)一定存在，而且H(j)通常是復數(shù)，因此，也可以表示成復數(shù)的不同表達形式。在研究系統(tǒng)的頻率響應時，更多的是把它表示成極坐標形式：H(j)H(j)ej() （5.12）系統(tǒng)響應的頻域求解方法對于一個系統(tǒng)，其頻率響應為H(j)，其幅頻響應和相頻響應分別為H(j)和()，如果作用于系統(tǒng)的信號為e(t)ejt，則其響應信號為r(t)H(j)ejtH(j)ej()ejtH(j)ej(t())0 0 0 0 00 0 0若輸入信號為正弦信號，即e(t)sin(t，則系統(tǒng)響應為0r(t)H(j)sin(t)|H(j)|sin(t())0 0 0 0 0可見，系統(tǒng)對某一頻率分量的影響表現(xiàn)為兩個方面，一是信號的幅度要被H(j)加權，二是信號的相位要被()移相。若輸入為周期信號，周期信號總可以展開成一系列的正弦信號的和的形式或者是一系列的虛指數(shù)信號的和的形式，周期信號展開式中的每次諧波所產(chǎn)生的響應都可由式（5.13）、（5.14）求出，總響應是基波和諧波產(chǎn)生的響應的和。若輸入為非周期信號，可以先求得輸入信號的頻譜Fj和系統(tǒng)的頻率響應HjYjFj)Hj，再求傅里葉反變y(t。信號的無失真?zhèn)鬏斴斎胄盘柺情T函數(shù)，輸出信號與輸入信號并不相同，即信號在傳輸?shù)倪^程中發(fā)生了失真。線性系統(tǒng)引起的失真有兩種：一種是幅度失真，信號通過系統(tǒng)時各頻率分量產(chǎn)生不成比例的衰減或增大；一種是相位失真，即系統(tǒng)對各頻率分量的相移不與頻率成正比。所謂無失真是指響應信號與激勵信號相比，只有幅度大小和出現(xiàn)時間先后的不同，而沒有波形上的變化。由于通過系統(tǒng)的信號不可避免的會發(fā)生時延，無失真?zhèn)鬏斠髸r延是常數(shù)。設輸入信號為f(t)，那么經(jīng)過無失真?zhèn)鬏?，輸出信號應為：y(t)Kf(ttd

) (5.15)即輸出信號的幅度是輸入信號幅度的K倍，而且比輸入信號延時了t 秒。d從時域角度出發(fā)，信號無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件為：h(t)K(ttd從頻域的角度出發(fā)，信號無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件為：

) (5.16)H(j)K()t

(5.17)d(5.17)式表明為了做到無失真?zhèn)鬏敚l響函數(shù)必須具備以下兩個條件：1）要求系統(tǒng)在全部頻率范圍(,)2）要求系統(tǒng)的相頻特性應為通過原點的直線