2023屆廣東省汕尾市高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．842．已知的內(nèi)角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，，是拋物線上的兩個動點，且滿足，設(shè)線段的中點在上的投影為，則的最大值是（）A． B． C． D．4．設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（）A． B．0 C．1 D．35．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（）A． B． C． D．6．當(dāng)時，函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．7．單位正方體ABCD-，黑、白兩螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”．白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（iN*）.設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處，這時黑、白兩螞蟻的距離是（）A．1 B． C． D．08．已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9，若點，則的最大值為（）A．3 B．6 C．9 D．129．已知，復(fù)數(shù)，，且為實數(shù)，則（）A． B． C．3 D．-310．若表示不超過的最大整數(shù)(如，，)，已知，，，則（）A．2 B．5 C．7 D．811．的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為A．-40 B．-20 C．20 D．4012．祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是說：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設(shè)、為兩個同高的幾何體，、的體積不相等，、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知，是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知半徑為的圓周上有一定點，在圓周上等可能地任意取一點與點連接，則所得弦長介于與之間的概率為__________．14．正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，為中點，則三棱錐的體積為________．15．已知函數(shù)圖象上一點處的切線方程為，則_______．16．利用等面積法可以推導(dǎo)出在邊長為a的正三角形內(nèi)任意一點到三邊的距離之和為定值，類比上述結(jié)論，利用等體積法進行推導(dǎo)，在棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和也為定值，則這個定值是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，上、下頂點分別是、，上、下焦點分別是、，焦距為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上異于、的動點，過作與軸平行的直線，直線與交于點，直線與直線交于點，判斷是否為定值，說明理由.18．（12分）已知函數(shù)，，（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)有且僅有一個零點，且此時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.19．（12分）已知，，（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，求邊上的高的最大值．20．（12分）在中，設(shè)、、分別為角、、的對邊，記的面積為，且．（1）求角的大??；（2）若，，求的值．21．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，求的極值；（2）證明：.（參考數(shù)據(jù)：）22．（10分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，試求曲線在點處的切線；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

畫出幾何體的直觀圖，計算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示：故.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.2、C【解析】

由，化簡得到的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因為為三角形的最大角，所以，又由余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運算能力.3、B【解析】

試題分析：設(shè)在直線上的投影分別是，則，，又是中點，所以，則，在中，所以，即，所以，故選B．考點：拋物線的性質(zhì)．【名師點晴】在直線與拋物線的位置關(guān)系問題中，涉及到拋物線上的點到焦點的距離，焦點弦長，拋物線上的點到準(zhǔn)線（或與準(zhǔn)線平行的直線）的距離時，常?？紤]用拋物線的定義進行問題的轉(zhuǎn)化．象本題弦的中點到準(zhǔn)線的距離首先等于兩點到準(zhǔn)線距離之和的一半，然后轉(zhuǎn)化為兩點到焦點的距離，從而與弦長之間可通過余弦定理建立關(guān)系．4、C【解析】

先根據(jù)奇偶性，求出的解析式，令，即可求出?！驹斀狻恳驗椤⒎謩e是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，用替換，得，化簡得，即令，所以，故選C。【點睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。5、B【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得，即可得到，代入由誘導(dǎo)公式計算可得．【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，，故選：B．【點睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】由，解得，即或，函數(shù)有兩個零點，，不正確，設(shè)，則，由，解得或，由，解得：，即是函數(shù)的一個極大值點，不成立，排除，故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.7、B【解析】

根據(jù)規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點，得到每爬1步回到起點，周期為1．計算黑螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點，即可計算出它們的距離．【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即過1段后又回到起點，可以看作以1為周期，由，白螞蟻爬完2020段后到回到C點；同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，黑螞蟻爬完2020段后回到D1點，所以它們此時的距離為.故選B.【點睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.8、C【解析】

分析：先畫出滿足約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域，利用平面區(qū)域的面積為9求出，然后分析平面區(qū)域多邊形的各個頂點，即求出邊界線的交點坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值.詳解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：則，所以平面區(qū)域的面積，解得，此時，由圖可得當(dāng)過點時，取得最大值9，故選C.點睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.9、B【解析】

把和代入再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，利用虛部為0求得m值．【詳解】因為為實數(shù)，所以，解得.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查運算求解能力.10、B【解析】

求出，，，，，，判斷出是一個以周期為6的周期數(shù)列，求出即可．【詳解】解：.，∴，，，同理可得：；；.；，，…….∴.故是一個以周期為6的周期數(shù)列，則.故選：B.【點睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用．11、D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應(yīng)的常數(shù)項=80，由5-2r=-1得r=3,對應(yīng)的常數(shù)項=-40，故所求的常數(shù)項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數(shù)項==-40+80=4012、A【解析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.【詳解】解：由題意，若、的體積不相等，則、在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，、在等高處的截面積不恒相等，但、的體積可能相等，例如是一個正放的正四面體，一個倒放的正四面體，必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】在圓上其他位置任取一點B，設(shè)圓半徑為R，其中滿足條件AB弦長介于與之間的弧長為?2πR，則AB弦的長度大于等于半徑長度的概率P==；故答案為：．14、【解析】

試題分析：因為正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為為中點，所以底面的面積為，到平面的距離為就是底面正三角形的高，所以三棱錐的體積為．考點：幾何體的體積的計算．15、1【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由切線方程得切線斜率和切點坐標(biāo)，從而可求得．【詳解】由題意，∵函數(shù)圖象在點處的切線方程為，∴，解得，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)是解題基礎(chǔ)，16、【解析】

計算正四面體的高，并計算該正四面體的體積，利用等體積法，可得結(jié)果.【詳解】作平面，為的重心如圖則，所以設(shè)正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為則故答案為：【點睛】本題考查類比推理的應(yīng)用，還考查等體積法，考驗理解能力以及計算能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），理由見解析.【解析】

（1）求出橢圓的上、下焦點坐標(biāo)，利用橢圓的定義求得的值，進而可求得的值，由此可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，求出直線的方程，求出點的坐標(biāo)，由此計算出直線和的斜率，可計算出的值，進而可求得的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，橢圓的上焦點為、，由橢圓的定義可得，可得，，因此，所求橢圓的方程為；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，則，得，直線的斜率為，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，，，因此，.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中定值問題的求解，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）時，在上單調(diào)遞增，時，在上遞減，在上遞增．（2）．【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得結(jié)論．【詳解】（1）函數(shù)定義域是，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；時，令得，時，，遞減，時，，遞增，綜上所述，時，在上單調(diào)遞增，時，在上遞減，在上遞增．（2）易知，由函數(shù)單調(diào)性，若有唯一零點，則或．當(dāng)時，，，從而只需時，恒成立，即，令，，在上遞減，在上遞增，∴，從而．時，，，令，由，知在遞減，在上遞增，，∴．綜上所述，的取值范圍是．【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)零點個數(shù)與不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，不等式恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．這又可通過導(dǎo)數(shù)求解．19、（1）的最小正周期為：；函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）.【解析】

（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合二倍角的正弦公式、輔助角公式把函數(shù)的解析式化簡成余弦型函數(shù)解析式形式，利用余弦型函數(shù)的最小正周期公式和單調(diào)性進行求解即可；（2）由（1）結(jié)合，求出的大小，再根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理和基本不等式進行求解即可.【詳解】（1）的最小正周期為：；當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）因為，所以設(shè)邊上的高為，所以有，由余弦定理可知：（當(dāng)用僅當(dāng)時，取等號），所以，因此邊上的高的最大值.【點睛】本題考查了正弦的二倍角公式、誘導(dǎo)公式、輔助角公式，考查了余弦定理、三角形面積公式，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運算能力.20、（1）；（2）【解析】

（1）由三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運算可得，結(jié)合范圍，可求，進而可求的值．（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求的值，由正弦定理可求得的值．【詳解】解：（1）由，得，因為，所以，可得：．（2）中，，所以.所以：，由正弦定理，得，解得，【點睛】本題主要考查了三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運算，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）見解析；（1）見證明【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（1）問題轉(zhuǎn)化為證ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，根據(jù)xlnx≤x（x﹣1），問題轉(zhuǎn)化為只需證明當(dāng)x＞0時，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】（1），，當(dāng)，，當(dāng)，，在上遞增，在上遞減，在取得極大值，極大值為，無極大值.（1）要證f（x）+1＜ex﹣x1．即證ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，先證明lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣x+1，則h′（x）＝，易知h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”，故xlnx≤x（x﹣1），ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1，故只需證明當(dāng)x＞0時，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），則k′（x）＝ex﹣4x+1，令F（x）＝k′（x），則F′（x）＝ex﹣4，令F′（x）＝0，解得：x＝1ln1，∵F′（x）遞增，故x∈（0，1ln1]時，F(xiàn)′（x）≤0，F(xiàn)（x）遞減，即k′（x）遞減，